Đề thi học sinh giỏi môn thi: Toán (khối 8) thời gian:120 phút

Phòng GD & ĐT Long Mỹ
Trường THCS Lương Tâm
--------------oo0oo--------------
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn Thi: TOÁN (KHỐI 8)
Thời gian:120 Phút
------------c&d------------
Bài 1: (2,5 điểm) Rút gọn biểu thức
Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng
a)	 chia hết cho 226 với n 
b)	 với mọi số thực và .
Bài 3: (2,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)	
b)	
Bài 4: (2 điểm) Tìm để đa thức chia hết cho đa thức 
Bài 5: (2 điểm) Tính 
Bài 6: (3 điểm) Giải phương trình
a)	 
b)	 
Bài 7: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, với AM là đường trung tuyến. Tia phân giác của góc AMBcắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt AC tại E.
Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
Chứng minh DE // BC.
Với điều kiện nào của ∆ABC thì ∆MDE là tam giác vuông cân.
Cho AB = 6 cm; AC = 8 cm.
Tính độ dài AM
Tính diện tích tam giác ∆DEM 
-------------Hết-------------
ĐÁP ÁN
Bài 1: (2,5 điểm) Rút gọn biểu thức
=	(0,5 đ)
=	(0,5 đ)
=	
=	(0,25 đ)
=	(0,25 đ)
=	
=	(0,25 đ)
=	(0,25 đ)
=	(0,25 đ)
=	(0,25 đ)
Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng
a)	 chia hết cho 226 với 
Ta có:
	= 	 ( Với )	(0,25 đ)
	= 	
	= 	(0,25 đ)
	= 	
Hay: = 	(0,25 đ)
Suy ra: chia hết cho 226 với (đpcm)	(0,25 đ)
b)	 với mọi số thực và .
Ta có: 	= 
	= 	(0,25 đ)
Vì với mọi số thực và .	(0,25 đ)
	(0,25 đ)
Vậy với mọi số thực và (đpcm)	(0,25 đ)
Bài 3: (2,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)	 	= 	(0,25 đ)
	= 	(0,25 đ)
	= 	(0,25 đ)
	= 	(0,25 đ)	
b)	
=	(0,25 đ)
=	(0,25 đ)
=	(0,25 đ)
=	
=	(0,25 đ)
=	(0,25 đ)	
=	
=	(0,25 đ)
Bài 4: (2 điểm) Tìm để đa thức chia hết cho đa thức 
_
(1,25 đ)
_
_
Để đa thức chia hết cho đa thức 
 thì dư hay .	(0,5 đ)
Vậy khi thì đa thức chia hết cho đa thức .	(0,25 đ)
Bài 5: (2 điểm) Tính 
Ta có:
	(0,25 đ)
Hay 	 	(0,25 đ)
Tương tự: 
	.
	.	(0,25 đ)
	.
Suy ra:
 (0,25 đ)
=	
=	(0,25 đ)
=	(0,25 đ)
=	(0,25 đ)
=	(0,25 đ)
Bài 6: (3 điểm) Giải phương trình
a)	 
(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,5 đ)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 5 ; 6 }
b)	 ĐKXĐ 	`	(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,25 đ)
Ta thấy các giá trị của biến x vừa tìm được đều thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có tập nghiệm l 
Bài 7: (6 điểm) 
D
E
M
B
A
C
(0, 5 đ)
a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
Tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
	Ta có:
	(0,25 đ)
Suy ra: MAB cân tại M, MAC cân tại M.	(0,25 đ)
Xét tam giác cân MAB có
AMD =BMD
 MDAB
 AMD = 	(0,25 đ)
Xét tam giác cân MAC có
AME=CME
 MEAC
 AEM = 	(0,25 đ)
Tam giác ABC vuông tại A
 BAC =	(0,25 đ)
Tứ giác AEMD có
AMD = 
AEM = 
BAC =
Suy ra: tứ giác AEMD là hình chữ nhật. (đpcm)	(0,25 đ)
b) Chứng minh DE // BC.
Xét tam giác cân MAB có
AMD =BMD
 AD = BD 	(0,25 đ)
Xét tam giác cân MAC có
AME =CME
 AE = CE 	(0,25 đ)
Từ (1) và (2) DE là đường trung bình của tam giác ABC	(0,25 đ)
Suy ra: DE // BC (đpcm)	(0,25 đ)
c) Với điều kiện nào của ∆ABC thì ∆MDE là tam giác vuông cân.
Tứ giác AEMD là hình chữ nhật nên ∆MDE vuông tại M	(0,25 đ)
∆MDE là tam giác vuông cân
 ME = MD	
 AD = AE Vì (AEMD là hình chữ nhật)	(0,25 đ)
 = Vì (D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC)
 AC = AB	(0,25 đ)
∆ABC là tam giác vuông cân. 	
Vậy ∆ABC là tam giác vuông cân thì ∆MDE là tam giác vuông cân.	(0,25 đ)
d) Cho AB = 6 cm; AC = 8 cm.
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC ta có:
	(0,5 đ)
Tính độ dài AM
Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên
	(0,25 đ)
Vậy 	(0,25 đ)
Tính diện tích tam giác ∆DEM 
(0,25 đ)
(0,25 đ)
 Với 	(0,25 đ)
Vậy 	(0,25 đ)
-------------Hết-------------
Chú ý: học sinh có thể giải bằng phương pháp khác