Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán học Lớp 8 - Năm 2021 (Có đáp án)

MÃ KÝ HIỆU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm 2021
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu 01 trang)
Câu 1  (4,0 điểm) : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
	a) x7 + x5 + 1 	b) a3 (c - b2) + b3(a – c2) + c3 (b – a2) + abc(abc – 1)
Câu 2  (4,0 điểm) : 
	a) Cho a2 + b2 + c2 = 2. Tính giá trị của biểu thức sau:
P = (2a + 2b – c)2 + (2b + 2c –a)2 + (2c + 2a – b)2
	b) Tính tổng các hệ số của đa thức: A(x) = (x2 – x + 3)2018 + (x2 – x + 1)2019
	c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 
B = 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz – 6x – 8y – 2z + 13
Câu 3  (4,0 điểm) : Giải các phương trình sau:
	a) (x + 3)(x+4)(x + 5)(x + 6) =120	
	b) 
Câu4  (6,0 điểm) :
Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chéo BD (P khác B và D). Gọi M là điểm đối xứng của C qua P.
	a) Chứng minh AM // BD.
	b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB. Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng.
	c) Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF và FA không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Câu 5 (2,0 điểm) :
	a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 1 + x + x2 + x3 = y3
	b) Chứng minh bất đẳng thức: 
---------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm 2021
MÔN: TOÁN LỚP 8
 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)
x7 + x5 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x2) + (x2 + x + 1) 
0,25
= x(x6 – 1) + x2 (x3 – 1) + (x2 + x + 1)
0,25
= x (x3 + 1)(x3 - 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
0,25
= x (x3 + 1) (x – 1)(x2 + x +1) + x2(x – 1)(x2 + x +1) + (x2 + x +1)
0,25
= (x2 + x + 1) [x (x3 + 1)(x – 1) + x2 (x – 1) + 1]
0,25
= (x2 + x + 1) [(x2 – x) (x3  + 1) + x3 – x2 + 1]
0,25
= (x2 + x +1) [x5 + x2 – x4 – x + x3 – x2 + 1]
0,25
= (x2 + x + 1) (x5 – x4 + x3 – x + 1)
0,25
b) (2,0 điểm)
a3 (c - b2) + b3(a – c2) + c3 (b – a2) + abc(abc – 1)
= a3c – a3b2 + b3(a – c2) + c3 (b – a2) + a2 b2c2 - abc
0,25
= (a3c – abc) + (- a3 b2 + a2b2c2) + b3(a – c2) + c3(b – a2)
0,25
= ac(a2 - b) - a2b2 (a – c2) + b3(a – c2) + c3(b – a2)
0,25
= ac(a2 - b) - a2b2 (a – c2) + b3(a – c2) - c3( a2 - b)
0,25
= [ac(a2 - b) - c3( a2 - b)] + [b3(a – c2)] - a2b2 (a – c2) ]
0,25
= c(a2 – b) (a – c2) + b2(a – c2) (b – a2) 
0,25
= c(a2 – b) (a – c2) - b2(a – c2) (a2 - b)
0,25
= (a2 – b) (a – c2) (c – b2)
0,25
Câu 2
(4,0 điểm
a) (1,5 điểm)
P = (2a + 2b – c)2 + (2b + 2c –a)2 + (2c + 2a – b)2
Ta có:
 P = (2a + 2b + 2c - 3c)2 + (2b + 2c + 2a – 3a)2 + (2c + 2a + 2b – 3b)2
0,25
Đặt x = a + b + c
Khi đó: P = (2x – 3c)2 + (2x – 3a)2 + (2x – 3b)2
0,25
= 4x2 – 12cx + 9c2 + 4x2 – 12xa + 9a2 + 4x2 – 12xb + 9b2
0,25
= 12 x2 – 12x(a + b + c) + 9 (a2 + b2 + c2 )
0,25
= 12x2 – 12x . x + 9 (a2 + b2 + c2 ) ( Thay a + b + c = x)
0,25
= 9 (a2 + b2 + c2 ) = 9 . 2 = 18 (Do a2 + b2 + c2 = 2)
Vậy P = 18
0,25
b) (1,0 điểm)
 A(x) = (x2 – x + 3)2018 + (x2 – x + 1)2019
Xét P(x) = (ax + b)n = a0 + a1x + a2x2 +a3x3 + + anxn
 P(1) = (a + b)n = a0 + a1 + a2 + a3 + + an (*)
0,25
Áp dụng (*) ta có tổng các hệ số của đa thức A(x) là:
A(1) = (12 – 1 + 3)2018 + (12 – 1 + 1)2019
0,25
= 32018 + 1
0,25
Vậy tổng các hệ số của đa thức A(x) là 32018 + 1
0,25
c) (1,5 điểm)
B = 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz – 6x – 8y – 2z + 13
Ta có :
B = (x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2xz + z2 ) + y2 + 2xz – 6x – 8y – 2z + 13
0,25
= [(x + y)2 – 4(x +y) + 4] + [(x + z)2 – 2 (x + z) + 1] +(y2 – 4y + 4) + 4
0,25
= (x + y - 2)2 + (x + z – 1)2 + (y – 2)2 + 4 
0,25
Vì (x + y - 2)2 0 với mọi x, y
 (x + z – 1)2 0 với mọi x, z
 (y – 2)2 0 với mọi y
0,25
Nên ta có (x + y - 2)2 + (x + z – 1)2 + (y – 2)2 + 4 4 với mọi x, y, z
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 4 
Dấu dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi
0,25
Câu 3
(4,0 điểm
a) (2,0 điểm)
Ta có : (x + 3)(x+4)(x + 5)(x + 6) =120 
 (x2 + 9x + 18)(x2 + 9x + 20) = 120 (*) 
Đặt t = x2 + 9x + 19 khi đó phương trình (*)
0,25
 (t – 1) (t + 1) = 120
0,25
 t2 – 1 = 120 t2 = 121
0,25
0,25
+) Với t = -11 ta có x2 + 9x + 19 = -11 x2 + 9x + 30 = 0 (1)
0,25
Vì x2 + 9x + 30 = với mọi x nên phương trình (1) vô nghiệm
0,25
+) Với t = 11 ta có có x2 + 9x + 19 = 11 x2 + 9x + 8 = 0 
 (x + 1) (x + 8) = 0 
0,25
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = - 1 ; x = - 8
0,25
b) (2,0 điểm)
0,25
0,25
0,25
 (*)
0,25
Vì nên (*)
0,25
x + 2022 = 0 
0,25
x = - 2022
0,25
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = - 2022
0,25
Câu 4
(6,0 điểm)
Hình vẽ đúng 
0,5
a) (1,5 điểm)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật ABCD
 OA = OB = OC = OD ( tính chất 2 đường chéo hình chữ nhật)
0,25
Vì điểm M đối xứng với điểm C qua điểm P nên ta có PC = PM
0,25
Xét CAM có : 
 OC = OA ( chứng minh trên)
0,25
 PC = PM ( Chứng minh trên)
0,25
OP là đường trung bình của CAM (theo định nghĩa đường trung bình của tam giác)
0,25
OP // AM (theo tính chất đường trung bình của tam giác)
Hay AM // BD (đpcm)
0,25
b) (2,0 điểm)
Gọi I là giao điểm của AM và EF
+) Xét tứ giác AEMF ta có:
0,25
Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
0,25
Hình chữ nhật AEMF có I là giao điểm của hai đường chéo nên
AI = IM = AM (theo tính chất đường chéo của HCN) (1)
0,25
+) Vì OP là đường trung bình của CAM nên ta có :
 OP // AM và OP = AM (theo tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra : OP //AI (Vì OP // AM, điểm I thuộc AM)
 OP = AI ( cùng = AM)
Do đó tứ giác AIPO là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành). Suy ra PI // AC 
0,25
 Kẻ ME //AB cắt AC tại K. Ta có 
 ( Cùng bằng ODA)
Nên AE là phân giác của KAM, mặt khác AE KM
0,25
AKM cân nên E là trung điểm của KM do đó EI là đường trung bình của AMK
 EI// OA hay EI //AC 
0,25
Ta có: IP // AC; IE //AC ( theo cminh trên)
Suy ra 3 điểm P, E, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơclit)
Mặt khác ta lại có 3 điểm E, I, F thẳng hàng 
Suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng (đpcm)
0,25
c) (2,0 điểm)
Xét ABD và FAM có :
0,25
 ( Cùng bằng EAM)
0,25
ABD FAM (g – g)
0,25
 (tính chất hai tam giác đồng dạng)
0,25
Vì AB, AD là các cạnh của hình chữ nhật ABCD nên không đổi
0,25
Tỉ số không đổi
0,25
Tỉ số không đổi
0,25
Vậy tỉ số độ dài của 2 đoạn thẳng MF và FA không phụ thuộc vào vị trí của điểm P
0,25
Câu 5
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 1 + x + x2 + x3 = y3
+) Với x = 0 thì y = 1 
0,25
+) Với x = - 1 thì y = 0
0,25
+) Với x > 0 thì x3< y3< (x + 1)3 (Vô lý)
0,25
+) Với x < - 1 thì (x+1)3< y3< x3 (Vô lý)
Vậy phương trình có nghiệm là (x,y) = 
0,25
b) (1,0 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức: 
Áp dụng bất đẳng thức Cosi x2 + y2 2xy, dấy ‘‘=’’ xảy ra khi x = y
Ta có : 
0,25
0,25
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có :
0,25
0,25
Lưu ý : 
Học sinh làm bài các cách khác nhau mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
Bài hình không có hình vẽ thì không chấm.
-------------------Hết--------------------