Đề ôn thi môn Toán Lớp 12 - Chương 4: Số phức - Chủ đề 4: Số phức có mođun nhỏ nhất, lớn nhất

CHỦ ĐỀ 4
SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT
* Một số công thức số phức vận dụng vào bài toán tìm min max số phức.
	1. 
	2.
	3. 
	4. 
 dấu bằng xảy ra khi với 
 dấu bằng xảy ra khi với 
 dấu bằng xảy ra khi với 
 dấu bằng xảy ra khi với 
	5. 
	6. 
	7. Cho .
	Ta có 
	8. Cho số phức z thỏa mãn thì 
	9. Cho . Khi đó 
	10. Cho số phức z thỏa mãn . Lúc này tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm là điểm I là điểm biểu diễn số phức . Lúc này 
	11. Cho số phức z thỏa mãn . Khi đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 
CÁC BỔ ĐỀ DÙNG TRONG SỐ PHỨC
Bổ đề 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho điểm và đường thẳng . Điểm di động trên đường thẳng sao cho độ dài nhỏ nhất. Tìm vị trí điểm .
Phương pháp: 
Gọi điểm là hình chiếu của điểm trên đường thẳng 
(điểm trùng điểm )
Bổ đề 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho điểm và đoạn thẳng . Điểm di động trên đoạn thẳng sao cho độ dài nhỏ nhất, lớn nhất. Tìm vị trí điểm .
Phương pháp: 
Trường hợp 1: điểm nằm trong đoạn 
Gọi điểm là hình chiếu của điểm trên đường thẳng 
(điểm trùng điểm )
(điểm trùng điểm )
Trường hợp 2: điểm nằm ngoài đoạn 
Gọi điểm là hình chiếu của điểm trên đường thẳng 
(điểm trùng điểm )
(điểm trùng điểm )
Bổ đề 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho hai điểm và đường thẳng . Điểm di động trên đường thẳng sao cho độ dài nhỏ nhất. Tìm vị trí điểm .
Phương pháp: 
Trường hợp 1: hai điểm nằm khác phía đối với đường thẳng 
Ta có: 
 suy ra điểm trùng điểm 
Trường hợp 2: hai điểm nằm cùng phía đối với đường thẳng 
Gọi điểm là điểm đối xứng cảu điểm qua đường thẳng 
Ta có: suy ra điểm trùng điểm 
Bổ đề 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm và đường tròn có tâm và bán kính. Điểm di động trên đường tròn . Tìm vị trí điểm sao cho độ dài nhỏ nhất và lớn nhất.
Phương pháp: 
+ Trường hợp 1: Điểm nằm ngoài đường tròn . 
 (điểm trùng điểm )
 (điểm trùng điểm )
+ Trường hợp 2: Điểm nằm trên đường tròn . 
 (điểm trùng điểm )
 (điểm trùng điểm )
+ Trường hợp 3: Điểm nằm trong đường tròn . 
 (điểm trùng điểm )
 (điểm trùng điểm )
Bổ đề 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm và đường tròn có tâm và bán kính không có điểm chung. Điểm di động trên đường tròn , điểm di động trên đường thẳng . Tìm vị trí điểm sao cho độ dài nhỏ nhất.
Phương pháp: 
điểm trùng điểm 
điểm trùng điểm 
Bổ đề 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm và đường tròn có tâm và bán kính. Đoạn là đường kính của đường tròn . Điểm di động trên đường tròn . Tìm vị trí điểm sao cho độ dài nhỏ nhất.
Phương pháp: 
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi điểm trùng điểm 
Bổ đề 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn có tâm và bán kính. Đoạn cố định nhận điểm làm trung điểm. Điểm di động trên đường tròn . Tìm vị trí điểm sao cho độ dài lớn nhất.
Phương pháp: 
Vì là đường trung tuyến nên: 
Dấu bằng xảy ra khi: 
 Hay điểm là giao điểm của đường tròn với đường tròn bán kính . 
Bổ đề 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn có tâm và bán kính. Điểm cố định, nằm miền trong đường tròn . Điểm di động trên đường tròn sao cho ba điểm thẳng hàng. Tìm vị trí điểm sao cho độ dài nhỏ nhất.
Phương pháp: 
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi: 
 Hay điểm là giao điểm của đường tròn với đường tròn bán kính . 
VẤN ĐỀ 1
MOĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CÓ TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ MỘT ĐƯỜNG THẲNG 
DẠNG 1
SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT
Bài toán: Cho số phức thoả mãn . Tìm GTNN của .
Phương pháp: 
Cách 1: Phương pháp hình học
	· Đặt là điểm biểu diễn của các số phức . 
	· Khi đó từ giả thiết suy ra hay tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường trung trực của đoạn 
	· Ta có: nhỏ nhất khi là hình chiếu của lên .
Cách 2: Phương pháp đại số: Biến đổi, tìm min bình thường hoặc dùng BĐT Bunhiacopski
Trong các số phức thỏa: biết rằng số phức có modul nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của là
	A..	B. .	C. .	D. 
Hướng dẫn giải
Phương pháp hình học
Cách 1: 
+ Xét điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện 
+ Từ chọn điểm . 
+ Từ ta có suy ra tập hợp điểm là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng 
+ Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng là 
, OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O trên ∆.
+ Gọi là hình chiếu của trên Phương trình là: 
+ Điểm là nghiệm hệ: 
Mà 
Cách 2: (các bạn tự vẽ hình)
+ Xét điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện 
+ Ta có : tập hợp điểm là đường thẳng là: 
+ Mà , OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O trên ∆.
+ Gọi là hình chiếu của trên Phương trình là: 
+ Điểm là nghiệm hệ: 
Mà 
Phương pháp đại số
Cách 1: 
Gọi với thì 
 + Ta có 
+ Mặt khác 
Vậy số phức cần tìm là 
Mà 
Cách 2: Dùng BĐT Bunhiacopski
Gọi với thì 
 + Ta có 
+ Theo BĐT Bunhiacopski ta có: 
Dấu xảy ra khi 
Giải và 
Vậy số phức cần tìm là 
Mà 
Chú ý: Các em xem thử cách nào phù hợp với kiến thức của mình nhé!!!
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
	A..	B..	C..	D..
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương pháp tự luận
Giả sử 
Suy ra khi 
Vậy 
Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện là đường thẳng .
Phương án A: có điểm biểu diễn nên loạiA.
Phương án B: có điểm biểu diễn nên loạiB.
Phương án D: có điểm biểu diễn nên loại	B.
Phương án C: có điểm biểu diễn 
Trong các sô phức thỏa điều kiện mô đun nhỏ nhất của số phức bằng:
	A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Giả sử số phức 
Theo đề 
Mà (thay vào)
Chọn A.
Trong các số phức thỏa mãn: thì số phức có modul nhỏ nhất là
	A..	B..	C..	D.
Hướng dẫn giải
Ta có 
Chọn B.
Trong các số phức thỏa mãn: thì số phức có modul nhỏ nhất là
	A..	B..	C..	D.
Hướng dẫn giải
Ta có 
Chọn D.
Cho số phức z thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
	A. .	B. .	C. .	D. 
Hướng dẫn giải
Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn nằm trên đường tròn (C) tâm I(2; −3) và bán kính R = .
Ta có |z| đạt giá trị nhỏ nhất Û điểm MÎ(C) và OM nhỏ nhất.
Ta có: OM OI – IM = OI – R = .
Dấu « = » xảy ra khi M là giao điểm của (C) và đoạn thẳng OI.
Vậy GTNN của là: .
Chọn A.
Trong các số phức thỏa mãn: , biết rằng số phức có modul nhỏ nhất. Khi đó, tỉ số bằng
	A..	B..	C..	D.
Hướng dẫn giải
Ta có 
Chọn B.
Trong các số phức thỏa: biết rằng số phức có modul nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của là
	A..	B..	C..	D.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó 
Ta có khi 
Đáp án D.
Cách 2: Gọi z=a+bi, khi đó 
ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi b=2, 
Đáp án D.
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức z có mô đun bé nhất.
	A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó 
Ta có: . Dấu bằng xảy ra khi a=b=2 z=2+2i 
Đáp án C
Cách 2: Gọi z=a+bi, khi đó 
Gọi 
Ta có: . Dấu bằng xảy ra khi a=b=2 z=2+2i 
Đáp án C.
Cho số phức thỏa . Giá trị nhỏ nhất của là
	A.	B.1	C.	D.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó 
2a+2b+2=0 b=-1-a
Ta có: . 
Dấu bằng xảy ra khi =>
Đáp án A
Cách 2: Gọi z=a+bi, khi đó 
2a+2b+2=0 a+b=-1.
Gọi 
Ta có: . Dấu bằng xảy ra khi 
Đáp án A
Trong số phức z thỏa mãn điều kiện , số phức z có mô đun bé nhất là:
	A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó 
Ta có: . Dấu bằng xảy ra khi 
Đáp án D
Cách 2: Gọi z=a+bi, khi đó 
Gọi 
Ta có: . 
Dấu bằng xảy ra khi 
Đáp án D.
Cho số phức thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Đặt .
Gọi .
.
Vậy tập hợp điểm của số phức .
.
Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
	A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Ta có: Khi 
Chọn C. 
Cho số phức thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Đặt . Xét không có số phức nào thỏa. Vậy 
.
Gọi .
.
Vậy tập hợp điểm của số phức .
.
Cho số phức thỏa mãn . Tìm để nhỏ nhất, biết là số thực. 
	A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Gọi 
Ta có 
Vì là số thực nên nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng . Gọi là điểm biểu diễn số phức . Modun của nhỏ nhất khi nhỏ nhất hay . Tìm được nên . 
Tìm số phức z thoả mãnlà số thực và môđun của z nhỏ nhất?
	A.z=2i	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z=a+bi, khi đó là số thực nên 
b+2a-2=0 ó b=2-2
Ta có: . Dấu bằng xảy ra khi 
Đáp án B
Cách 2: Gọi z=a+bi, khi đó là số thực nên 
b+2a-2=0 ó b+2a=2.
Gọi 
Ta có: . 
Dấu bằng xảy ra khi 
Đáp án B.
Tìm số phức z sao cho đạt giá trị nhỏ nhất?
	A.	B.	C.	D.
Giải
Ta có nên .
Vậy 
Cho số phức thỏa mãn hệ thức . Tìm các điểm biểu diễn số phức để ngắn nhất, với. Khi đó 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho số phức có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng thì số phức có modul nhỏ nhất là :
	A. .	B..	C. .	D. .
Cho số phức thỏa mãn: và đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị bằng
	A. .	B..	C. .	D. .
Trong các số phức thỏa: biết rằng số phức có modul nhỏ nhất. Khi đó, phương trình: có nghiệm là :
	A..	B. .	C. .	D. 
DẠNG 2
SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT
Bài toán: Cho số phức thoả mãn . Tìm GTNN của .
Phương pháp:
Cách 1: Phương pháp hình học
	· Đặt là điểm biểu diễn của các số phức . 
	· Khi đó từ giả thiết suy ra hay tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường trung trực của đoạn 
	· Ta có: nhỏ nhất khi là hình chiếu của lên .
Cách 2: Phương pháp đại số: Biến đổi, tìm min bình thường hoặc dùng BĐT Bunhiacopski
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức 
	A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Phương pháp hình học
Gọi 
	· Đặt là điểm biểu diễn của các số phức. 
	· Khi đó từ giả thiết suy ra hay tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường trung trực của đoạn 
	· Ta có: nhỏ nhất khi là hình chiếu của lên .
Cách 2: Phương pháp đại số:
Gọi .
Ta có: 
Ta có: 
 khi 
Chọn C.
Cho số phức thoả mãn . Gọi là số phức thoả mãn nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức là:
	A. .	B. .	C. .	D. .
 Hướng dẫn giải
Đặt lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức . 
Khi đó từ giả thiết suy ra , tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường trung trực của . 
 đi qua và có .
Gọi là điểm biểu diễn của số phức .
Ta có: . Do đó nhỏ nhất nhỏ nhất là hình chiếu vuông góc của lên .
Khi đó .
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình . 
Vậy .
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức 
	A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Gọi .
Ta có: 
Ta có: 
 khi 
Chọn C.
Cho các số phức thỏa mãn và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Đặt . 
Ta có 
Khi đó 
Suy ra . 
Chọn A. 
Cho các số phức , . Tìm điểm biểu diễn số phức , biết rằng trong mặt phẳng tọa độ điểm nằm trên đường thẳng và môđun số phức đạt giá trị nhỏ nhất.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Vì .
Điểm biểu diễn số phức , suy ra 
Ta có 
Suy ra 
Dấu xảy ra 
Chọn D. 
Cho số phức thỏa mãn . Tính môđun lớn nhất của số phức 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Gọi .
Ta có , suy ra .
Suy ra tập hợp các số phức thuộc đường thẳng 
Ta có Chọn B. 
DẠNG 3
SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT
Bài toán : Cho số phức thoả mãn . Tìm GTNN của .
Phương pháp: Đặt là các điểm biểu diễn số phức . Khi đó từ giả thiết suy ra , tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường trung trực của ; .
Trường hợp 1: nằm khác phía so với đường thẳng .
Ta có: . Dấu bằng xảy ra . Khi đó .
Trường hợp 2: nằm cùng phía so với đường thẳng .
Gọi là điểm đối xứng của .
Ta có: . Dấu bằng xảy ra khi .
Khi đó .
 Cho số phức thỏa mãn . Biết biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất tại . Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Giả sử .
Trên mặt phẳng tọa độ , gọi , , , , lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức , , , , .
Khi đó và .
Ta có nên nằm trên là đường trung trực của .
Phương trình đường thẳng : .
Dễ thấy nằm cùng một phía đối với đường thẳng .
Gọi là điểm đối xứng của qua . Khi đó 
Ta có nên đạt giá trị nhỏ nhất khi thẳng hàng hay cắt tại .
Phương trình đường thẳng : .
Suy ra 
Cho số phức z thỏa mãn: . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Đặt số phức cần tìm là: , 
Ta có , tức biểu diễn hình học của số phức thỏa mãn giả thiết là đường thẳng .
Từ Xét điểm A(0 ;-2) và B(5 ;-9) thì . Dễ thấy A, B cùng phía với đường thẳng , nên MA+MB nhỏ nhất bằng BA’ trong đó A’ đối xứng với A qua đường thẳng y=-x :
Ta dễ tìm được A’(2 ;0) dó đó P min = A’B =
Cho số phức thỏa mãn và đạt giá trị nhỏ nhất. Tính .
	A. .	B. .	C. .	D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: .
.
Xét trong mặt phẳng phức , xét các điểm với điểm biểu diễn số phức .
Ta có: . Vậy ta tìm sao cho .
Do khác phía so với đường thẳng .
Ta có: . Dấu xảy ra khi .
Cho số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của là:
	A. .	B..	C. .	D. .
Cho số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của là:
	A. .	B..	C. .	D. .
Cho số phức thỏa mãn: và đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tỉ số bằng
	A. .	B..	C. .	D. .
Cho số phức thỏa mãn: và đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị bằng
	A. .	B..	C. .	D. .
Cho số phức thỏa mãn: và đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị bằng
	A. .	B..	C. .	D. .
DẠNG 4
SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT
Bài toán: Cho số phức thoả mãn . Tìm GTNN của .
Phương pháp: Đặt lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức .
Khi đó từ giả thiết ta có: suy ra hay tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường trung trực của .
Gọi là trung điểm của .
Ta có: . 
Do đó là hình chiểu của lên . Khi đó .
Cho số phức thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức và .
.
Gọi (với là trung điểm của ).
Do đó là hình chiếu vuông góc của lên .
,.
Cho số phức thoả mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
	A. .	B. .	C. .	D. .