Giáo trình Đại số tuyến tính

MU. C LU. C
Mu.c lu. c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lo`.i no´i d¯a`ˆu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu.o.ng 0: Kieˆ´n thu´.c chuaˆ’n bi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§1. Taˆ.p ho.. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§2. Quan heˆ. va` A´nh xa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§3. Lu.. c lu.o.. ng cu’a taˆ.p ho.. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§4. Nho´m, Va`nh va` Tru.`o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§5. Tru.`o.ng soˆ´ thu.. c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§6. Tru.`o.ng soˆ´ phu´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§7. D- a thu´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Ba`i taˆ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chu.o.ng I: Khoˆng gian ve´cto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§1. Kha´i nieˆ.m khoˆng gian ve´cto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§2. D- oˆ.c laˆ.p tuyeˆ´n t´ınh va` phu. thuoˆ.c tuyeˆ´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§3. Co. so.’ va` soˆ´ chie`ˆu cu’a khoˆng gian ve´cto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§4. Khoˆng gian con - Ha.ng cu’a moˆ.t heˆ. ve´cto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§5. Toˆ’ng va` toˆ’ng tru.. c tieˆ´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§6. Khoˆng gian thu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Ba`i taˆ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chu.o.ng II: Ma traˆ.n va` A´nh xa. tuyeˆ´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§1. Ma traˆ.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§2. A´nh xa. tuyeˆ´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§3. Ha.t nhaˆn va` a’nh cu’a d¯o`ˆng caˆ´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§4. Khoˆng gian ve´cto. d¯oˆ´i ngaˆ˜u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Ba`i taˆ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1
Chu.o.ng III: D- i.nh thu´
.c va` heˆ. phu
.o.ng tr`ınh tuyeˆ´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§1. Ca´c phe´p theˆ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§2. D- i.nh thu´.c cu’a ma traˆ.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§3. A´nh xa. d¯a tuyeˆ´n t´ınh thay phieˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
§4. D- i.nh thu´.c cu’a tu.. d¯o`ˆng caˆ´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§5. Ca´c t´ınh chaˆ´t saˆu ho.n cu’a d¯i.nh thu´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
§6. D- i.nh thu´.c va` ha.ng cu’a ma traˆ.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§7. Heˆ. phu.o.ng tr`ınh tuyeˆ´n t´ınh - Quy ta˘´c Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§8. Heˆ. phu.o.ng tr`ınh tuyeˆ´n t´ınh - Phu.o.ng pha´p khu.’ Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 139
§9. Caˆ´u tru´c nghieˆ.m cu’a heˆ. phu.o.ng tr`ınh tuyeˆ´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Ba`i taˆ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Chu.o.ng IV: Caˆ´u tru´c cu’a tu.. d¯o`ˆng caˆ´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§1. Ve´cto. rieˆng va` gia´ tri. rieˆng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§2. Khoˆng gian con oˆ’n d¯i.nh cu’a ca´c tu.. d¯o`ˆng caˆ´u thu.. c va` phu´.c . . . . . . . . . . . 161
§3. Tu.. d¯o`ˆng caˆ´u che´o hoa´ d¯u.o.. c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
§4. Tu.. d¯o`ˆng caˆ´u luy˜ linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§5. Ma traˆ.n chuaˆ’n Jordan cu’a tu.. d¯o`ˆng caˆ´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Ba`i taˆ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Chu.o.ng V: Khoˆng gian ve´cto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§1. Khoˆng gian ve´cto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§2. A´nh xa. tru.. c giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
§3. Phe´p bieˆ´n d¯oˆ’i lieˆn ho.. p va` phe´p bieˆ´n d¯oˆ’i d¯oˆ´i xu´.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
§4. Va`i ne´t ve`ˆ khoˆng gian Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Ba`i taˆ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Chu.o.ng VI: Da.ng song tuyeˆ´n t´ınh va` da.ng toa`n phu
.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§1. Kha´i nieˆ.m da.ng song tuyeˆ´n t´ınh va` da.ng toa`n phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . 234
§2. D- u.a da.ng toa`n phu.o.ng ve`ˆ da.ng ch´ınh ta˘´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
2
§3. Ha.ng va` ha.ch cu’a da.ng toa`n phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
§4. Chı’ soˆ´ qua´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
§5. Da.ng toa`n phu.o.ng xa´c d¯i.nh daˆ´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Ba`i taˆ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Chu.o.ng VII: D- a. i soˆ´ d¯a tuyeˆ´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
§1. T´ıch tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
§2. Ca´c t´ınh chaˆ´t co. ba’n cu’a t´ıch tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
§3. D- a. i soˆ´ tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
§4. D- a. i soˆ´ d¯oˆ´i xu´.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
§5. D- a. i soˆ´ ngoa`i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Ba`i taˆ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Ta`i lieˆ.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
3
LO`
.
I NO´I D- A`ˆU
Theo do`ng li.ch su
.’ , moˆn D- a. i soˆ´ tuyeˆ´n t´ınh kho
.’ i d¯a`ˆu vo´.i vieˆ.c gia’ i va` bieˆ.n luaˆ.n
ca´c heˆ. phu
.o.ng tr`ınh tuyeˆ´n t´ınh. Ve`ˆ sau, d¯eˆ’ co´ theˆ’ hieˆ’u thaˆ´u d¯a´o caˆ´u tru´c cu’a taˆ.p
nghieˆ.m va` d¯ie`ˆu kieˆ.n d¯eˆ’ moˆ. t heˆ. phu
.o.ng tr`ınh tuyeˆ´n t´ınh co´ nghieˆ.m, ngu
.`o.i ta xaˆy
du.. ng nhu˜
.ng kha´i nieˆ.m tru`
.u tu.o.. ng ho
.n nhu. khoˆng gian ve´cto. va` a´nh xa. tuyeˆ´n t´ınh.
Ngu.`o.i ta cu˜ng co´ nhu ca`ˆu kha’o sa´t ca´c khoˆng gian vo´.i nhie`ˆu thuoˆ.c t´ınh h`ınh ho.c
ho.n, trong d¯o´ co´ theˆ’ d¯o d¯oˆ. da`i cu’a ve´cto
. va` go´c giu˜.a hai ve´cto.. Xa ho.n, hu.´o.ng
nghieˆn cu´.u na`y daˆ˜n to´.i ba`i toa´n phaˆn loa. i ca´c da.ng toa`n phu
.o.ng, va` toˆ’ng qua´t ho.n
phaˆn loa. i ca´c tenxo
., du.´o.i ta´c d¯oˆ.ng cu’a moˆ.t nho´m caˆ´u tru´c na`o d¯o´.
Nga`y nay, D- a. i soˆ´ tuyeˆ´n t´ınh d¯u
.o.. c u´
.ng du.ng va`o ha`ng loa.t l˜ınh vu
.
. c kha´c nhau,
tu`. Gia’ i t´ıch to´.i Hı`nh ho.c vi phaˆn va` Ly´ thuyeˆ´t bieˆ’u die˜ˆn nho´m, tu`
. Co. ho.c, Vaˆ. t ly´
to´.i Ky˜ thuaˆ. t... Vı` theˆ´, no´ d¯a˜ tro
.’ tha`nh moˆ.t moˆn ho.c co
. so.’ cho vieˆ.c d¯a`o ta.o ca´c
gia´o vieˆn trung ho.c, ca´c chuyeˆn gia baˆ.c d¯a. i ho.c va` treˆn d¯a. i ho.c thuoˆ.c ca´c chuyeˆn
nga`nh khoa ho.c co
. ba’n va` coˆng ngheˆ. trong taˆ´t ca’ ca´c tru
.`o.ng d¯a. i ho.c.
D- a˜ co´ ha`ng tra˘m cuoˆ´n sa´ch ve`ˆ D- a. i soˆ´ tuyeˆ´n t´ınh d¯u
.o.. c xuaˆ´t ba’n treˆn toa`n theˆ´
gio´.i. Chu´ng toˆi nhaˆ.n thaˆ´y co´ hai khuynh hu
.´o.ng chu’ yeˆ´u trong vieˆ.c tr`ınh ba`y moˆn
ho.c na`y.
Khuynh hu.´o.ng thu´. nhaˆ´t ba˘´t d¯a`ˆu vo´.i ca´c kha´i nieˆ.m ma traˆ.n, d¯i.nh thu´
.c va` heˆ.
phu.o.ng tr`ınh tuyeˆ´n t´ınh, ro`ˆi d¯i to´.i ca´c kha´i nieˆ.m tru`
.u tu.o.. ng ho
.n nhu. khoˆng gian
ve´cto. va` a´nh xa. tuyeˆ´n t´ınh. Khuynh hu
.´o.ng na`y de˜ˆ tieˆ´p thu. Nhu.ng no´ khoˆng cho
phe´p tr`ınh ba`y ly´ thuyeˆ´t ve`ˆ d¯i.nh thu´
.c va` heˆ. phu
.o.ng tr`ınh tuyeˆ´n t´ınh ba`˘ng moˆ.t
ngoˆn ngu˜. coˆ d¯o.ng va` d¯e.p d¯e˜.
Khuynh hu.´o.ng thu´. hai tr`ınh ba`y ca´c kha´i nieˆ.m khoˆng gian ve´cto
. va` a´nh xa.
tuyeˆ´n t´ınh tru.´o.c, ro`ˆi a´p du.ng va`o kha’o sa´t d¯i.nh thu´
.c va` heˆ. phu
.o.ng tr`ınh tuyeˆ´n
t´ınh. U
.
u d¯ieˆ’m cu’a phu.o.ng pha´p na`y la` d¯e`ˆ cao ve’ d¯e. p trong t´ınh nhaˆ´t qua´n ve`ˆ caˆ´u
tru´c cu’a ca´c d¯oˆ´i tu.o.. ng d¯u
.o.. c kha’o sa´t. Nhu
.o.. c d¯ieˆ’m cu’a no´ la` khi xe´t t´ınh d¯oˆ.c laˆ.p
4
tuyeˆ´n t´ınh va` phu. thuoˆ.c tuyeˆ´n t´ınh, thaˆ. t ra ngu
.`o.i ta d¯a˜ pha’i d¯oˆ´i ma˘. t vo´
.i vieˆ.c gia’ i
heˆ. phu
.o.ng tr`ınh tuyeˆ´n t´ınh.
Ca´ch tr`ınh ba`y na`o cu˜ng co´ ca´i ly´ cu’a no´. Theo kinh nghieˆ.m cu’a chu´ng toˆi th`ı
neˆn cho.n ca´ch tr`ınh ba`y thu´
. hai cho ca´c sinh vieˆn co´ kha’ na˘ng tu. duy tru`.u tu.o.. ng
toˆ´t ho.n va` co´ mu. c d¯ı´ch hu
.´o.ng to´.i moˆ. t ma˘. t ba`˘ng kieˆ´n thu´
.c cao ho.n ve`ˆ toa´n.
Cuoˆ´n sa´ch na`y d¯u.o.. c chu´ng toˆi bieˆn soa.n nha`˘m mu. c d¯ı´ch la`m gia´o tr`ınh va` sa´ch
tham kha’o cho sinh vieˆn, sinh vieˆn cao ho.c va` nghieˆn cu´
.u sinh ca´c nga`nh khoa ho.c
tu.. nhieˆn va` coˆng ngheˆ. cu’a ca´c tru
.`o.ng d¯a. i ho.c khoa ho.c tu
.
. nhieˆn, d¯a. i ho.c su
. pha.m
va` d¯a. i ho.c ky˜ thuaˆ. t. Cuoˆ´n sa´ch d¯u
.o.. c vieˆ´t treˆn co
. so.’ ca´c ba`i gia’ng ve`ˆ D- a. i soˆ´ tuyeˆ´n
t´ınh cu’a toˆi trong nhie`ˆu na˘m cho sinh vieˆn moˆ.t soˆ´ khoa cu’a tru
.`o.ng D- a. i ho.c Toˆ’ng
ho.. p (nay la` D- a. i ho.c khoa ho.c Tu
.
. nhieˆn) Ha` Noˆ. i va` cu’a moˆ.t soˆ´ tru
.`o.ng d¯a. i ho.c su
.
pha.m. D- a˘.c bieˆ.t, toˆi d¯a˜ gia’ng gia´o tr`ınh na`y trong 3 na˘m ho.c 1997-1998, 1998-1999,
1999-2000 cho sinh vieˆn ca´c nga`nh Toa´n, Co., Ly´, Hoa´, Sinh, D- i.a chaˆ´t, Kh´ı tu
.o.. ng
thuy’ va˘n... cu’a Chu.o.ng tr`ınh d¯a`o ta.o Cu
.’ nhaˆn khoa ho.c ta`i na˘ng, D- a. i ho.c khoa
ho.c Tu
.
. nhieˆn Ha` Noˆ. i.
Chu´ng toˆi cho.n khuynh hu
.´o.ng thu´. hai trong hai khuynh hu.´o.ng tr`ınh ba`y d¯a˜
no´i o.’ treˆn. Taˆ´t nhieˆn, vo´.i d¯oˆi chu´t thay d¯oˆ’i, cuoˆ´n sa´ch na`y co´ theˆ’ du`ng d¯eˆ’ gia’ng
D- a. i soˆ´ tuyeˆ´n t´ınh theo khuynh hu
.´o.ng tr`ınh ba`y thu´. nhaˆ´t.
Tu. tu.o.’ ng caˆ´u tru´c d¯u.o.. c chu´ng toˆi nhaˆ´n ma.nh nhu
. moˆ.t ma.ch ch´ınh cu’a cuoˆ´n
sa´ch. Moˆ˜i d¯oˆ´i tu.o.. ng d¯e`ˆu d¯u
.o.. c nghieˆn cu´
.u trong moˆ´i tu.o.ng quan vo´.i nho´m ca´c
phe´p bieˆ´n d¯oˆ’i ba’o toa`n caˆ´u tru´c cu’a d¯oˆ´i tu.o.. ng d¯o´: Kha’o sa´t khoˆng gian ve´cto
. ga˘´n
lie`ˆn vo´.i nho´m tuyeˆ´n t´ınh toˆ’ng qua´t GL(n,K), khoˆng gian ve´cto. Euclid va` khoˆng
gian ve´cto. Euclid d¯i.nh hu
.´o.ng ga˘´n lie`ˆn vo´.i nho´m tru.. c giao O(n) va` nho´m tru
.
. c giao
d¯a˘.c bieˆ.t SO(n), khoˆng gian Unita ga˘´n lie`ˆn vo´
.i nho´m unita U(n)... Keˆ´t qua’ phaˆn
loa. i ca´c da.ng toa`n phu
.o.ng phu. thuoˆ.c ca˘n ba’n va`o vieˆ.c qua´ tr`ınh phaˆn loa. i d¯u
.o.. c
tieˆ´n ha`nh du.´o.i ta´c d¯oˆ.ng cu’a nho´m na`o (tuyeˆ´n t´ınh toˆ’ng qua´t, tru
.
. c giao...).
Theo kinh nghieˆ.m, chu´ng toˆi khoˆng theˆ’ gia’ng heˆ´t noˆ. i dung cu’a cuoˆ´n sa´ch na`y
trong moˆ.t gia´o tr`ınh tieˆu chuaˆ’n ve`ˆ D- a. i soˆ´ tuyeˆ´n t´ınh cho sinh vieˆn ca´c tru
.`o.ng d¯a. i
5
ho.c, ngay ca’ d¯oˆ´i vo´
.i sinh vieˆn chuyeˆn nga`nh toa´n. Ca´c chu’ d¯e`ˆ ve`ˆ da. ng chuaˆ’n ta˘´c
Jordan cu’a tu.. d¯o`ˆng caˆ´u, da. ng ch´ınh ta˘´c cu’a tu
.
. d¯o`ˆng caˆ´u tru
.
. c giao, vieˆ. c d¯u
.a d¯o`ˆng
tho`.i hai da. ng toa`n phu
.o.ng ve`ˆ da. ng ch´ınh ta˘´c, d¯a. i soˆ´ tenxo
., d¯a. i soˆ´ d¯oˆ´i xu´
.ng va` d¯a. i
soˆ´ ngoa`i... neˆn du`ng d¯eˆ’ gia’ng chi tieˆ´t cho ca´c sinh vieˆn cao ho. c va` nghieˆn cu´
.u sinh
ca´c nga`nh Toa´n, Co. ho.c va` Vaˆ. t ly´.
Chu´ng toˆi coˆ´ ga˘´ng b`ınh luaˆ.n y´ ngh˜ıa cu’a ca´c kha´i nieˆ.m va` u
.u khuyeˆ´t d¯ieˆ’m
cu’a ca´c phu.o.ng pha´p d¯u.o.. c tr`ınh ba`y. Cuoˆ´i moˆ˜i chu
.o.ng d¯e`ˆu co´ pha`ˆn ba`i taˆ.p,
d¯u.o.. c tuyeˆ’n cho.n chu’ yeˆ´u tu`
. cuoˆ´n sa´ch noˆ’i tieˆ´ng “Ba`i taˆ.p D- a. i soˆ´ tuyeˆ´n t´ınh” cu’a
I. V. Proskuryakov. D- eˆ’ na˘´m vu˜.ng kieˆ´n thu´.c, d¯oˆ. c gia’ neˆn d¯o.c raˆ´t ky˜ pha`ˆn ly´ thuyeˆ´t
tru.´o.c khi la`m ca`ng nhie`ˆu ca`ng toˆ´t ca´c ba`i taˆ.p cuoˆ´i moˆ˜i chu
.o.ng.
Vieˆ.c su
.’ du.ng cuoˆ´n sa´ch na`y se˜ d¯a˘. c bieˆ.t thuaˆ.n lo
.
. i neˆ´u ngu
.`o.i d¯o.c coi no´ la` pha`ˆn
moˆ.t cu’a moˆ.t boˆ. sa´ch ma` pha`ˆn hai cu’a no´ la` cuoˆ´n D- a. i soˆ´ d¯a. i cu
.o.ng cu’a cu`ng ta´c
gia’ , do Nha` xuaˆ´t ba’n Gia´o du. c Ha` Noˆ. i aˆ´n ha`nh na˘m 1998 va` ta´i ba’n na˘m 1999.
Ta´c gia’ chaˆn tha`nh ca’m o.n Ban d¯ie`ˆu ha`nh Chu.o.ng tr`ınh d¯a`o ta.o Cu
.’ nhaˆn khoa
ho.c ta`i na˘ng, D- a. i ho.c Khoa ho.c tu
.
. nhieˆn Ha` Noˆ. i, d¯a˘. c bieˆ.t la` Gia´o su
. D- a`m Trung
D- o`ˆn va` Gia´o su. Nguye˜ˆn Duy Tieˆ´n, d¯a˜ ta.o mo. i d¯ie`ˆu kieˆ.n thuaˆ.n lo
.
. i d¯eˆ’ ta´c gia’ gia’ng
da.y cho sinh vieˆn cu’a Chu
.o.ng tr`ınh trong ba na˘m qua va` vieˆ´t cuoˆ´n sa´ch na`y treˆn
co. so.’ nhu˜.ng ba`i gia’ng d¯o´.
Ta´c gia’ mong nhaˆ.n d¯u
.o.. c su
.
. chı’ gia´o cu’a ca´c d¯oˆ. c gia’ va` d¯o`ˆng nghieˆ.p ve`ˆ nhu˜
.ng
thieˆ´u so´t kho´ tra´nh kho’i cu’a cuoˆ´n sa´ch.
Ha` Noˆ. i, 12/1999
6
Chu.o.ng 0
KIEˆ´N THU´
.
C CHUAˆ’N BI.
Nhieˆ.m vu. cu’a chu
.o.ng na`y la` tr`ınh ba`y du.´o.i da.ng gia’n lu
.o.. c nhaˆ´t moˆ.t soˆ´ kieˆ´n
thu´.c chuaˆ’n bi. cho pha`ˆn co`n la. i cu’a cuoˆ´n sa´ch: Taˆ.p ho
.
. p, quan heˆ., a´nh xa. , nho´m,
va`nh, tru.`o.ng, d¯a thu´.c... Tru.`o.ng soˆ´ thu.. c se˜ d¯u
.o.. c xaˆy du
.
. ng cha˘. t che˜ o
.’ §5. Nhu.ng
v`ı ca´c t´ınh chaˆ´t cu’a no´ raˆ´t quen thuoˆ.c vo´
.i nhu˜.ng ai d¯a˜ ho.c qua chu
.o.ng tr`ınh trung
ho.c phoˆ’ thoˆng, cho neˆn chu´ng ta vaˆ˜n no´i to´
.i tru.`o.ng na`y trong ca´c v´ı du. o
.’ ca´c tieˆ´t
§1 - §4.
1 Taˆ.p ho
.
. p
Trong tieˆ´t na`y, chu´ng ta tr`ınh ba`y ve`ˆ taˆ.p ho
.
. p theo quan d¯ieˆ’m cu’a “Ly´ thuyeˆ´t taˆ. p
ho.. p ngaˆy tho
.”.
Cu. theˆ’, taˆ.p ho
.
. p la` moˆ. t kha´i nieˆ.m “nguyeˆn thuy’”, khoˆng d¯u
.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa, ma`
d¯u.o.. c hieˆ’u moˆ.t ca´ch tru
.
. c gia´c nhu
. sau: Moˆ.t taˆ. p ho
.
. p la` moˆ. t su
.
. qua`ˆn tu. ca´c d¯oˆ´i
tu.o.. ng co´ cu`ng moˆ.t thuoˆ.c t´ınh na`o d¯o´; nhu˜
.ng d¯oˆ´i tu.o.. ng na`y d¯u
.o.. c go. i la` ca´c pha`ˆn
tu.’ cu’a taˆ.p ho
.
. p d¯o´. (Taˆ´t nhieˆn, moˆ ta’ no´i treˆn khoˆng pha’i la` moˆ. t d¯i.nh ngh˜ıa cu’a
taˆ.p ho
.
. p, no´ chı’ die˜ˆn d¯a.t kha´i nieˆ.m taˆ.p ho
.
. p qua moˆ.t kha´i nieˆ.m co´ ve’ ga`ˆn gu˜i ho
.n
la` “qua`ˆn tu. ”. Tuy vaˆ.y, ba’n thaˆn kha´i nieˆ.m qua`ˆn tu. la. i chu
.a d¯u.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa.)
Ngu.`o.i ta cu˜ng thu.`o.ng go. i ta˘´t taˆ.p ho
.
. p la` “taˆ.p”.
D- eˆ’ co´ moˆ.t soˆ´ v´ı du. , chu´ng ta co´ theˆ’ xe´t taˆ.p ho
.
. p ca´c sinh vieˆn cu’a moˆ.t tru
.`o.ng
d¯a. i ho.c, taˆ.p ho
.
. p ca´c xe ta’ i cu’a moˆ.t coˆng ty, taˆ.p ho
.
. p ca´c soˆ´ nguyeˆn toˆ´ ...
Ca´c taˆ.p ho
.
. p thu
.`o.ng d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u bo
.’ i ca´c chu˜. in hoa: A,B,C, ..., X, Y, Z...
Ca´c pha`ˆn tu.’ cu’a moˆ.t taˆ.p ho
.
. p thu
.`o.ng d¯u.o.. c ky´ hi.eˆu bo
.’ i ca´c chu˜. in thu.`o.ng:
a, b, c, ..., x, y, z... D- eˆ’ no´i x la` moˆ. t pha`ˆn tu
.’ cu’a taˆ.p ho
.
. p X, ta vieˆ´t x ∈ X va` d¯o.c la`
7
“x thuoˆ.c X”. Tra´i la. i, d¯eˆ’ no´i y khoˆng la` pha`ˆn tu
.’ cu’a X, ta vieˆ´t y 6∈ X, va` d¯o.c la`
“y khoˆng thuoˆ.c X”.
D- eˆ’ xa´c d¯i.nh moˆ.t taˆ.p ho
.
. p, ngu
.`o.i ta co´ theˆ’ lieˆ.t keˆ taˆ´t ca’ ca´c pha`ˆn tu
.’ cu’a no´.
Cha˘’ ng ha.n,
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Ngu.`o.i ta cu˜ng co´ theˆ’ xa´c d¯i.nh moˆ.t taˆ.p ho
.
. p bo
.’ i moˆ. t t´ınh chaˆ´t d¯a˘. c tru
.ng P(x) na`o
d¯o´ cu’a ca´c pha`ˆn tu.’ cu’a no´. Taˆ.p ho
.
. p X ca´c pha`ˆn tu
.’ x co´ t´ınh chaˆ´t P(x) d¯u.o.. c ky´
hieˆ.u la`
X = {x| P(x)},
hoa˘.c la`
X = {x : P(x)}.
Vı´ du. :
N = {x| x la` soˆ´ tu.. nhieˆn},
Z = {x| x la` soˆ´ nguyeˆn },
Q = {x| x la` soˆ´ hu˜.u ty’},
R = {x| x la` soˆ´ thu.. c}.
Neˆ´u mo. i pha`ˆn tu
.’ cu’a taˆ.p ho
.
. p A cu˜ng la` moˆ.t pha`ˆn tu
.’ cu’a taˆ.p ho
.
. p X th`ı ta no´i
A la` moˆ. t taˆ. p ho
.
. p con cu’a X, va` vieˆ´t A ⊂ X. Taˆ.p con A go`ˆm ca´c pha`ˆn tu.’ x cu’a X
co´ t´ınh chaˆ´t P(x) d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u la`
A = {x ∈ X| P(x)}.
Hai taˆ.p ho
.
. p X va` Y d¯u
.o.. c go. i la` ba`˘ng nhau neˆ´u moˆ˜i pha`ˆn tu
.’ cu’a taˆ.p ho
.
. p na`y
cu˜ng la` moˆ. t pha`ˆn tu
.’ cu’a taˆ.p ho
.
. p kia va` ngu
.o.. c la. i, tu´
.c la` X ⊂ Y va` Y ⊂ X. Khi
d¯o´ ta vieˆ´t X = Y .
Taˆ.p ho
.
. p khoˆng chu´
.a moˆ.t pha`ˆn tu
.’ na`o ca’ d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u bo
.’ i ∅, va` d¯u.o.. c go. i la`
taˆ. p roˆ˜ng. Ta quy u
.´o.c ra`˘ng ∅ la` taˆ.p con cu’a mo. i taˆ.p ho.. p. Taˆ.p ho.. p roˆ˜ng raˆ´t tieˆ.n
lo.. i, no´ d¯o´ng vai tro` nhu
. soˆ´ khoˆng trong khi la`m toa´n vo´.i ca´c taˆ.p ho
.
. p.
8
Ca´c phe´p toa´n ho.. p, giao va` hieˆ.u cu’a hai taˆ.p ho
.
. p d¯u
.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu
. sau.
Cho ca´c taˆ.p ho
.
. p A va` B.
Ho.. p cu’a A va` B d¯u
.o.. c ky´ hieˆ.u bo
.’ i A ∪B va` d¯u.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau
A ∪B = {x| x ∈ A hoa˘.c x ∈ B}.
Giao cu’a A va` B d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u bo
.’ i A ∩B va` d¯u.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau
A ∩B = {x| x ∈ A va` x ∈ B}.
Hieˆ. u cu’a A va` B d¯u
.o.. c ky´ hieˆ.u bo
.’ i A \B va` d¯u.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau
A \B = {x| x ∈ A va` x 6∈ B}.
Neˆ´u B ⊂ A th`ı A\B d¯u.o.. c go. i la` pha`ˆn bu` cu’a B trong A, va` d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u la` CA(B).
Ca´c phe´p toa´n ho.. p, giao va` hieˆ.u co´ ca´c t´ınh chaˆ´t so
. caˆ´p sau d¯aˆy:
Keˆ´t ho.. p: (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Giao hoa´n: A ∪B = B ∪ A,
A ∩B = B ∩ A.
Phaˆn phoˆ´i: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
Coˆng thu´.c De Morgan: X \ (A ∪B) = (X \ A) ∩ (X \B),
X \ (A ∩B) = (X \ A) ∪ (X \B).
Gia’ su.’ Ai la` moˆ. t taˆ.p ho
.
. p vo´
.i moˆ˜i i thuoˆ.c moˆ.t taˆ.p chı’ soˆ´ I (co´ theˆ’ hu˜
.u ha.n hay
voˆ ha.n). Khi d¯o´, ho
.
. p va` giao cu’a ho. taˆ.p ho
.
. p {Ai}i2I d¯u.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau:[
i2I
Ai = {x| x ∈ Ai vo´.i moˆ. t i na`o d¯o´ trong I},\
i2I
Ai = {x| x ∈ Ai vo´.i mo. i i ∈ I}.
Ta co´ da.ng toˆ’ng qua´t cu’a coˆng thu´
.c De Morgan:
X \ ([
i2I
Ai) =
\
i2I
(X \ Ai),
X \ (\
i2I
Ai) =
[
i2I
(X \ Ai).
9
Vieˆ.c su
.’ du.ng qua´ roˆ.ng ra˜i kha´i nieˆ.m taˆ.p ho
.
. p d¯a˜ daˆ˜n to´
.i moˆ. t soˆ´ nghi.ch ly´. Moˆ.t
trong soˆ´ d¯o´ la` nghi.ch ly´ Cantor sau d¯aˆy.
Ta no´i taˆ.p ho
.
. p X la` b`ınh thu
.`o.ng neˆ´u X 6∈ X. Xe´t taˆ.p ho.. p
X = {X| X la` taˆ.p b`ınh thu.`o.ng}.
Neˆ´u X ∈ X th`ı theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a X , no´ la` moˆ. t taˆ.p b`ınh thu.`o.ng. Do d¯o´, theo
d¯i.nh ngh˜ıa taˆ.p b`ınh thu
.`o.ng, X 6∈ X . Tra´i la. i, neˆ´u X 6∈ X , th`ı X la` moˆ. t taˆ.p khoˆng
b`ınh thu.`o.ng, va` do d¯o´ X ∈ X . Ca’ hai tru.`o.ng ho.. p d¯e`ˆu daˆ˜n to´.i maˆu thuaˆ˜n.
D- eˆ’ tra´nh nhu˜.ng nghi.ch ly´ loa. i nhu
. vaˆ.y, ngu
.`o.i ta se˜ khoˆng du`ng kha´i nieˆ.m taˆ.p
ho.. p d¯eˆ’ chı’ “nhu˜
.ng thu.. c theˆ’ qua´ lo´
.n”. Ta se˜ no´i “lo´.p taˆ´t ca’ ca´c taˆ. p ho
.
. p”, chu´
.
khoˆng no´i “taˆ. p ho
.
. p taˆ´t ca’ ca´c taˆ. p ho
.
. p”. Theo quan nieˆ.m na`y X chı’ la` moˆ. t lo´.p chu´.
khoˆng la` moˆ.t taˆ.p ho
.
. p. Vı` theˆ´, ta tra´nh d¯u
.o.. c nghi.ch ly´ no´i treˆn.
Pha`ˆn co`n la. i cu’a tieˆ´t na`y d¯u
.o.. c da`nh cho vieˆ.c tr`ınh ba`y so
. lu.o.. c ve`ˆ lu
.o.. ng tu`
. phoˆ’
bieˆ´n va` lu.o.. ng tu`
. to`ˆn ta. i.
Ta thu.`o.ng ca`ˆn pha’i pha´t bieˆ’u nhu˜.ng meˆ.nh d¯e`ˆ co´ da.ng: “Mo. i pha`ˆn tu
.’ x cu’a taˆ. p
ho.. p X d¯e`ˆu co´ t´ınh chaˆ´t P(x)”. Ngu.`o.i ta quy u.´o.c ky´ hieˆ.u meˆ.nh d¯e`ˆ d¯o´ nhu. sau:
∀x ∈ X, P(x).
Da˜y ky´ hieˆ.u treˆn d¯u
.o.. c d¯o.c la` “Vo´
.i mo. i x thuoˆ. c X, P(x)”.
Ky´ hieˆ.u ∀ d¯u.o.. c go. i la` lu.o.. ng tu`. phoˆ’ bieˆ´n.
Tu.o.ng tu.. , ta cu˜ng hay ga˘.p ca´c meˆ.nh d¯e`ˆ co´ da.ng: “To`ˆn ta. i moˆ. t pha`ˆn tu
.’ x cu’a
X co´ t´ınh chaˆ´t P(x)”. Meˆ.nh d¯e`ˆ na`y d¯u.o.. c quy u.´o.c ky´ hieˆ.u nhu. sau:
∃x ∈ X, P(x).
Da˜y ky´ hieˆ.u d¯o´ d¯u
.o.. c d¯o.c la` “To`ˆn ta. i moˆ. t x thuoˆ. c X, P(x)”.
Ky´ hieˆ.u ∃ d¯u.o.. c go. i la` lu.o.. ng tu`. to`ˆn ta. i.
Meˆ.nh d¯e`ˆ “To`ˆn ta. i duy nhaˆ´t moˆ. t pha`ˆn tu
.’ x cu’a X co´ t´ınh chaˆ´t P(x)” d¯u.o.. c vieˆ´t
nhu. sau:
∃!x ∈ X, P(x).
10
Lu.o.. ng tu`
. phoˆ’ bieˆ´n va` lu.o.. ng tu`
. to`ˆn ta. i co´ moˆ´i quan heˆ. quan tro.ng sau d¯aˆy.
Go. i P la` phu’ d¯i.nh cu’a meˆ.nh d¯e`ˆ P . Ta co´
∀x ∈ X,P(x) ≡ ∃x ∈ X,P(x),
∃x ∈ X,P(x) ≡ ∀x ∈ X,P(x).
Chu´ng toˆi d¯e`ˆ nghi. d¯oˆ. c gia’ tu
.
. chu´
.ng minh nhu˜.ng kha˘’ ng d¯i.nh treˆn xem nhu
. moˆ.t ba`i
taˆ.p.
2 Quan heˆ. va` A´nh xa.
T´ıch tru.. c tieˆ´p (hay t´ıch Descartes) cu’a hai taˆ.p ho
.
. p X va` Y la` taˆ.p ho
.
. p sau d¯aˆy:
X × Y = {(x, y)| x ∈ X, y ∈ Y }.
Tru.`o.ng ho.. p d¯a˘. c bieˆ.t, khi X = Y , ta co´ t´ıch tru
.
. c tieˆ´p X ×X cu’a taˆ.p X vo´.i ch´ınh
no´.
D- i.nh ngh˜ıa 2.1 Moˆ˜i taˆ.p con R cu’a taˆ.p ho.. p t´ıch X ×X d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t quan heˆ.
hai ngoˆi treˆn X. Neˆ´u (x, y) ∈ R th`ı ta no´i x co´ quan heˆ. R vo´.i y, va` vieˆ´t xRy.
Ngu.o.. c la. i, neˆ´u (x, y) 6∈ R th`ı ta no´i x khoˆng co´ quan heˆ. R vo´.i y, va` vieˆ´t xRy.
Cha˘’ ng ha.n, neˆ´u R = {(x, y) ∈ Z× Z| x chia heˆ´t cho y}, th`ı 6R2, nhu.ng 5R3.
D- i.nh ngh˜ıa 2.2 Quan heˆ. hai ngoˆi R treˆn X d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t quan heˆ. tu.o.ng d¯u.o.ng
neˆ´u no´ co´ ba t´ınh chaˆ´t sau d¯aˆy:
(a) Pha’n xa. : xRx, ∀x ∈ X.
(b) D- oˆ´i xu´.ng: Neˆ´u xRy, th`ı yRx, ∀x, y ∈ X.
(c) Ba˘´c ca`ˆu: Neˆ´u xRy, yRz, th`ı xRz, ∀x, y, z ∈ X.
11
Ca´c quan heˆ. tu
.o.ng d¯u.o.ng thu.`o.ng d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u bo
.’ i daˆ´u ∼.
Gia’ su.’ ∼ la` moˆ. t quan heˆ. tu.o.ng d¯u.o.ng treˆn X. Lo´.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan heˆ.
∼ cu’a moˆ.t pha`ˆn tu.’ x ∈ X d¯u.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. sau:
[x] = {y ∈ X| x ∼ y} ⊂ X.
Boˆ’ d¯e`ˆ 2.3 Gia’ su.’ ∼ la` moˆ. t quan heˆ. tu.o.ng d¯u.o.ng. Khi d¯o´, vo´.i mo. i x, y ∈ X, ca´c
lo´.p [x] va` [y] hoa˘. c tru`ng nhau, hoa˘. c ro`
.i nhau (tu´.c la` [x] ∩ [y] = ∅).
Chu´.ng minh: Gia’ su.’ [x] ∩ [y] 6= ∅. Ta se˜ chu´.ng minh ra˘`ng [x] = [y]. Laˆ´y moˆ.t
pha`ˆn tu.’ z ∈ [x] ∩ [y]. Ta co´ x ∼ z va` y ∼ z.
Do t´ınh d¯oˆ´i xu´.ng cu’a quan heˆ. tu
.o.ng d¯u.o.ng, x ∼ z ke´o theo z ∼ x. Gia’ su.’
t ∈ [x], tu´.c la` x ∼ t. Do t´ınh ba˘´c ca`ˆu, z ∼ x va` x ∼ t ke´o theo z ∼ t. Tieˆ´p theo,
y ∼ z va` z ∼ t ke´o theo y ∼ t. Ngh˜ıa la` t ∈ [y]. Nhu. vaˆ.y, [x] ⊂ [y]. Do vai tro`
nhu. nhau cu’a ca´c lo´.p [x] va` [y], ta cu˜ng co´ bao ha`m thu´.c ngu.o.. c la. i, [y] ⊂ [x]. Vaˆ.y
[x] = [y]. 2
Theo boˆ’ d¯e`ˆ na`y, neˆ´u y ∈ [x] th`ı y ∈ [x] ∩ [y] 6= ∅, do d¯o´ [x] = [y]. Vı` theˆ´, ta
co´ theˆ’ du`ng tu`. lo´.p tu.o.ng d¯u.o.ng d¯eˆ’ chı’ lo´.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a baˆ´t ky` pha`ˆn tu.’ na`o
trong lo´.p d¯o´. Moˆ˜i pha`ˆn tu.’ cu’a moˆ.t lo´
.p tu.o.ng d¯u.o.ng d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t d¯a. i bieˆ’u cu’a
lo´.p tu.o.ng d¯u.o.ng na`y.
De˜ˆ da`ng thaˆ´y ra`˘ng X la` ho.. p ro`
.i ra.c cu’a ca´c lo´
.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan heˆ. ∼.
(No´i ca´ch kha´c, X la` ho.. p cu’a ca´c lo´
.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan heˆ. ∼, va` ca´c lo´.p na`y
ro`.i nhau.) Ngu.`o.i ta cu˜ng no´i X d¯u.o.. c phaˆn hoa.ch bo
.’ i ca´c lo´.p tu.o.ng d¯u.o.ng.
D- i.nh ngh˜ıa 2.4 Taˆ.p ho
.
. p ca´c lo´
.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a X theo quan heˆ. ∼ d¯u.o.. c go. i
la` taˆ. p thu
.o.ng cu’a X theo ∼ va` d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u la` X/∼.
Vı´ du. 2.5 Gia’ su
.’ n la` moˆ. t soˆ´ nguyeˆn du
.o.ng baˆ´t ky`. Ta xe´t treˆn taˆ.p X = Z quan
heˆ. sau d¯aˆy:
∼= {(x, y) ∈ Z× Z| x− y chia heˆ´t cho n}.
12
Ro˜ ra`ng d¯o´ la` moˆ. t quan heˆ. tu
.o.ng d¯u.o.ng. Ho.n nu˜.a x ∼ y neˆ´u va` chı’ neˆ´u x va` y co´
cu`ng pha`ˆn du. trong phe´p chia cho n. Vı` theˆ´, Z/∼ la` moˆ. t taˆ.p co´ d¯u´ng n pha`ˆn tu.’ :
Z/∼= {[0], [1], ..., [n− 1]}.
No´ d¯u.o.. c go. i la` taˆ. p ca´c soˆ´ nguyeˆn modulo n, va` thu
.`o.ng d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u la` Z/n.
D- i.nh ngh˜ıa 2.6 Gia’ su
.’ ≤ la` moˆ. t quan heˆ. hai ngoˆi treˆn X. No´ d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t
quan heˆ. thu´
. tu.. neˆ´u no´ co´ ba t´ınh chaˆ´t sau d¯aˆy:
(a) Pha’n xa. : x ≤ x, ∀x ∈ X.
(b) Pha’n d¯oˆ´i xu´.ng: Neˆ´u x ≤ y va` y ≤ x th`ı x = y, ∀x, y ∈ X.
(c) Ba˘´c ca`ˆu: Neˆ´u x ≤ y, y ≤ z, th`ı x ≤ z, ∀x, y, z ∈ X.
Taˆ.p X d¯u
.o.. c trang bi. moˆ.t quan heˆ. thu´
. tu.. d¯u
.o.. c go. i la` moˆ. t taˆ. p d¯u
.o.. c sa˘´p. Neˆ´u
x ≤ y, ta no´i x d¯u´.ng tru.´o.c y, hay x nho’ ho.n hoa˘.c ba`˘ng y.
Ta no´i X d¯u.o.. c sa˘´p toa`n pha`ˆn (hay tuyeˆ´n t´ınh) bo
.’ i quan heˆ. ≤ neˆ´u vo´.i mo. i
x, y ∈ X, th`ı x ≤ y hoa˘.c y ≤ x. Khi d¯o´ ≤ d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t quan heˆ. thu´. tu.. toa`n
pha`ˆn (hay tuyeˆ´n t´ınh) treˆn X.
Cha˘’ ng ha.n, tru
.`o.ng soˆ´ hu˜.u ty’ Q la` moˆ. t taˆ.p d¯u
.o.. c sa˘´p toa`n pha`ˆn d¯oˆ´i vo´
.i quan
heˆ. thu´
. tu.. ≤ thoˆng thu.`o.ng. Moˆ.t v´ı du. kha´c: neˆ´u X la` taˆ.p ho.. p taˆ´t ca’ ca´c taˆ.p con
cu’a moˆ.t taˆ.p A na`o d¯o´, th`ı X d¯u
.o.. c sa˘´p theo quan heˆ. bao ha`m. D- aˆy khoˆng pha’i la`
moˆ. t thu´
. tu.. toa`n pha`ˆn neˆ´u taˆ.p A chu´
.a nhie`ˆu ho.n moˆ.t pha`ˆn tu
.’ .
Baˆy gio`. ta chuyeˆ’n qua xe´t ca´c a´nh xa. .
Ngu.`o.i ta thu.`o.ng moˆ ta’ ca´c a´nh xa. moˆ. t ca´ch tru
.
. c gia´c nhu
. sau.
Gia’ su.’ X va` Y la` ca´c taˆ.p ho
.
. p. Moˆ.t a´nh xa. f tu`
. X va`o Y la` moˆ. t quy ta˘´c d¯a˘. t
tu.o.ng u´.ng moˆ˜i pha`ˆn tu.’ x ∈ X vo´.i moˆ. t pha`ˆn tu.’ xa´c d¯i.nh y = f(x) ∈ Y . A´nh xa.
d¯o´ d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u bo
.’ i f : X → Y .
13
Taˆ´t nhieˆn moˆ ta’ no´i treˆn khoˆng pha’i la` moˆ. t d¯i.nh ngh˜ıa cha˘. t che˜, v`ı ta khoˆng
bieˆ´t theˆ´ na`o la` moˆ. t quy ta˘´c. No´i ca´ch kha´c, trong d¯i.nh ngh˜ıa no´i treˆn quy ta˘´c chı’
la` moˆ. t teˆn go. i kha´c cu’a a´nh xa. .
Ta co´ theˆ’ kha˘´c phu. c d¯ie`ˆu d¯o´ ba`˘ng ca´ch d¯u
.a ra moˆ.t d¯i.nh ngh˜ıa ch´ınh xa´c nhu
.ng
ho.i co`ˆng ke`ˆnh ve`ˆ a´nh xa. nhu
. sau.
Moˆ˜i taˆ.p con R cu’a t´ıch tru.. c tieˆ´p X × Y d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t quan heˆ. giu˜.a X va` Y .
Quan heˆ. R d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t a´nh xa. tu`. X va`o Y neˆ´u no´ co´ t´ınh chaˆ´t sau: vo´.i mo. i
x ∈ X co´ moˆ.t va` chı’ moˆ.t y ∈ Y d¯eˆ’ cho (x, y) ∈ R. Ta ky´ hieˆ.u pha`ˆn tu.’ duy nhaˆ´t
d¯o´ la` y = f(x). Khi d¯o´
R = {(x, f(x))| x ∈ X}.
A´nh xa. na`y thu
.`o.ng d¯u.o.. c ky´ hieˆ.u la` f : X → Y va` quan heˆ. R d¯u.o.. c go. i la` d¯o`ˆ thi.
cu’a a´nh xa. f .
Ca´c taˆ.p X va` Y d¯u
.o.. c go. i la`ˆn lu
.o.. t la` taˆ.p nguo`ˆn va` taˆ.p d¯ı´ch cu’a a´nh xa. f . Taˆ.p
ho.. p f(X) = {f(x)| x ∈ X} d¯u.o.. c go. i la` taˆ.p gia´ tri. cu’a f .
Gia’ su.’ A la` moˆ. t taˆ.p con cu’a X. Khi d¯o´, f(A) = {f(x)| x ∈ A} d¯u.o.. c go. i la` a’nh
cu’a A bo.’ i f . Neˆ´u B la` moˆ. t taˆ.p con cu’a Y , th`ı f
¡1(B) = {x ∈ X| f(x) ∈ B} d¯u.o.. c
go. i la` nghi.ch a’nh cu’a B bo
.’ i f . Tru.`o.ng ho.. p d¯a˘.c bieˆ.t, taˆ.p B = {y} chı’ go`ˆm moˆ.t
d¯ieˆ’m y ∈ Y , ta vieˆ´t d¯o.n gia’n f¡1(y) thay cho f¡1({y}).
D- i.nh ngh˜ıa 2.7 (a) A´nh xa. f : X → Y d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t d¯o.n a´nh neˆ´u vo´.i mo. i
x 6= x0, (x, x0 ∈ X) th`ı f(x) 6= f(x0).
(b) A´nh xa. f : X → Y d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t toa`n a´nh neˆ´u vo´.i mo. i y ∈ Y to`ˆn ta. i (´ıt
nhaˆ´t) moˆ. t pha`ˆn tu
.’ x ∈ X sao cho f(x) = y.
(c) A´nh xa. f : X → Y d¯u.o.. c go. i la` moˆ. t s