Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi thi tỉnh năm học 2015 - 2016 môn toán 9 thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THI TỈNH
NĂM HỌC 2015-2016
Môn Toán 9 
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Câu 1. (2,5 điểm): 
a) Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của khi m thay đổi.
b) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thõa mãn . Chứng minh rằng: là số hữu tỉ
c) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: là số hữu tỉ
Câu 2. (3,0 điểm): 
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3. (1,0 điểm): Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính .
Câu 4. (2,0 điểm): Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O AB). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB (P A, B và khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P).
a) C/m rằng: và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn
b) C/m rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua một điểm cố định khi P di động.
Câu 5. (2,0 điểm): 
a) Cho a1, a2, a3, ...a45 là 45 số tự nhiên thỏa mãn a1< a2< a3< ...<a45 130. Đặt dj = aj+1 – aj,
(j = 1,2,...44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu dj xuất hiện ít nhất 10 lần.
b) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn:. 
Chứng minh rằng: 
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung
Điểm
1a
Ta có nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.
1
Theo định lí viet, ta có , suy ra 
 khi 
1b
 Từ giả thiết suy ra 
0,75
Suy ra là số hữu tỉ
1c
Đặt suy ra 
0,75
Áp dụng câu 2a) suy ra là số hữu tỉ.
2a
đk: Phương trình tương đương với 
1,5
Đặt ta được phương trình hoặc
Với ta được (vô nghiệm)
Với ta được suy ra 
2b
Đk: Hệ tương đương với 
1,5
Đặt ta được hệ 
Với ta được (thoả mãn điều kiện) 
3
Kẻ tại F, tại G. 
Theo giả thiết 
1,0
Mà và 
 Suy ra 
Do đó 
4a
1,0
A
O
N
C
D
B
P
Q
E
H
Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến 
chung của (O) với (C), (D) tại A, B 
tương ứng.
 Suy ra 
Ta có
, 
suy ra NAQB nội tiếp (1).
Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B
cùng nằm trên một đường tròn.
Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên
 một đường tròn.
4b
Ta có ,
suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm
 trên một đường tròn.
1,0
Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua 
các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định.
5
 (1)
1,0
0,5
Nếu mỗi hiệu xuất hiện không quá 10 lần thì 
 mâu thuẫn với (1).
Vậy phải có ít nhất một hiêụ xuất hiện không ít hơn 10 lần 
Ta có .
Suy ra
Đặt 
suy ra 
Suy ra 
0,5