Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2013 môn thi : Toán thời gian làm bài : 120 phút

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2013
Môn thi : Toán 
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP)
Thời gian làm bài :120 phút 
Câu 1(2,5 điểm) 
1.Cho biểu thức 
 với a>0 ; b>0 ab.
 Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
2.Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thức 
Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) : 
 ( tham số m 0).
	1.Chứng minh rằng với m0 đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 
	2. Gọi là giao điểm của (d) và (P).Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 3 (1,5 điểm) Giả sử a,b,c là các số thực a b sao cho hai phương trình có nghiệm chung và 2 phương trình có nghiệm chung. Tính a+b+c.
Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AA1;BB1;CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H.Các đường thẳng A1C1 và AC cắt nhau tại điểm D, gọi X là giao điểm thức hai của đường thẳng BD với đường tròn (O) 
1.Chứng minh rằng DX.DB=DC1.DA1
2.Gọi M là trung điểm cạnh AC .Chứng minh DH BM
Câu 5: (1 điểm) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn 
Chứng minh rằng x=y=z
----------------------------------Hết-----------------------------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh
Bộ giáo dục đào tạo	 cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	 Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2013
Môn thi: 	TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút 
----------------------------------------
Cõu 1 (2,5 điểm)
1.Cho cỏc số thực a, b,c thỏa món đồng thời hai đẳng thức sau 
i. 
ii.
Chứng minh rằng a=b=c
2.Cho cỏc số thực dương a,b thỏa món 
Chứng minh bất đẳng thức 
Cõu 2 (2 điểm)Tỡm tất cả cỏc cặp số hữu tỷ (x;y) thỏa món hệ phương trỡnh
Cõu 3 (1điểm) Với mỗi số nguyờn dương n,kớ hiệu Sn là tổng n số nguyờn tố đầu tiờn 
( S1=2;S2=2+3; S3=2+3+5.) .Chứng minh rằng trong dóy số S1; S2; S3.. khụng tồn tại hai số hạng liờn tiếp đều là số chớnh phương. 
Cõu 4 (2,5điểm) Cho tam giỏc khụng cõn ABC nội tiếp đường trũn (O) ,BD là phõn giỏc gúc BAC.Đường thẳng BD cắt (O) tại điểm thứ hai E .Đường trũn (O1) đường kớnh DE cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai F
1.Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD đi qua trung điểm của cạnh AC
2.Biết tam giỏc ABC vuụng tại B gúc BAC=600 và bỏn kớnh đường trũn (O) bằng R .Tớnh bỏn kớnh đường trũn (O1) theo R
Cõu 5(1điểm) Độ dài ba cạnh của tam giỏc ABC là ba số nguyờn tố .Chứng minh rằng diện tớch của tam giỏc ABC khụng thể là số nguyờn
Cõu 6(1điểm) Cho a1,a2;.a11 là cỏc số nguyờn dương lớn hơn 2 đụi một khỏc nhau và thỏa món a1+a2+.+a11=407 tồn tại hay khụng số nguyờn dương n sao cho tổng cỏc số dư của cỏc phộp chia n cho 22 số a1,a2;.a11 , 4a1,4a2;.4a11 bằng 2012.
----------------------------------Hết-----------------------------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh
Trường đại học sư phạm hà nội
đề thi tuyển sinh
Vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2013
Môn thi : Toán 
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP)
Câu 1(2,5 điểm) 
1.Cho biểu thức 
 với a>0 ; b>0 ab.
 Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
2.Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thức 
Hướng dẫn
Cõu 1:
a) 
b)
Ta cú 
Từ a+b+c=0 ta cú 
Thay vào (*) Ta cú ĐPCM
Cỏch khỏc
Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) : 
 ( tham số m 0).
	1.Chứng minh rằng với m0 đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 
	2. Gọi là giao điểm của (d) và (P).Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Hướng dẫn
Cõu 2 
Ta cú tọa độ giao (d) và (P) là nghiệm của hệ PT
Xột PT(*) cú 
Phương trỡnh (*) luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với 0
Vậy cắt tại 2 điểm phõn biệt
2.
Ta cú 
Áp dụng định lý Viet: thay vào M ta cú 
Min(M)= khi 
Câu 3 (1,5 điểm)Giả sử a,b,c là các số thực a b sao cho hai phương trình có nghiệm chung và 2 phương trình có nghiệm chung. Tính a+b+c.
Hướng dẫn
Cõu 3:
Gọi là nghiệm chung của phương trỡnh (1) và (2)
Từ (1),(2)
Vỡ 
CMTT :
Nếu (vụ lý) 
Ta cú :
Từ (5), (6) 
Từ (1) , (3) 
Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AA1;BB1;CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H.Các đường thẳng A1C1 và AC cắt nhau tại điểm D, gọi X là giao điểm thức hai của đường thẳng BD với đường tròn (O) 
1.Chứng minh rằng DX.DB=DC1.DA1
2.Gọi M là trung điểm cạnh AC .Chứng minh DH BM
Hướng dẫn
a)Ta cú tứ giỏc là cỏc tứ giỏc nội tiếp 
d) Ta thấy :theo a) suy ra là cỏc tứ giỏc nội tiếp 
là tứ giỏc nội tiếp 
Kẻ đường kớnh BL.
Ta cú : ( chắn nửa đường trũn) mà 
( chắn nửa đường trũn) mà 
là hỡnh bỡnh hành.
Vỡ M là trung điểm AC là trung điểm LH
mà ( chắn nửa đường trũn) mà thẳng hàng 
hay thẳng hàng.Nờn H là trực tõm tam giỏc BDM nờn 
Câu 5: (1 điểm) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn 
Chứng minh rằng x=y=z
Hướng dẫn
Nếu xy>z VP dương VT õm vụ lớ 
Nếu xz>y VP dương VT õm vụ lớ 
Vậy x=y=z
Cỏch khỏc Giả sử 
Ta cú :
Vỡ 
Mà 
 Vậy 
Cỏch khỏc Đặt Ta cú hệ 
vai trũ x,y z bỡnh đẳng
Giả sử vỡ Ta cú 
Mặt khỏc, 
 Suy ra (*) xảy ra khi a=b=c, suy ra x=y=z.
Trường đại học sư phạm hà nội
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2013
Môn thi: 	TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Cõu 1 (2,5 điểm)
1.Cho cỏc số thực a, b,c thỏa món đồng thời hai đẳng thức sau 
i. 
ii.
Chứng minh rằng a=b=c
2.Cho cỏc số thực dương a,b thỏa món 
Chứng minh bất đẳng thức 
Hướng dẫn
Ta cú : 
Nếu thỏa món 2 điều kiện
Nếu 
Vỡ 
CMTT : 
Ta cú : 
Dấu = xảy ra khi thay vào 2 điều kiện trờn thỡ vụ lý
Vậy 
Áp dụng BĐT Bunhiacopxiki cho 2 dóy : và 
Ta cú :
Vỡ 
Cõu 2 (2 điểm)Tỡm tất cả cỏc cặp số hữu tỷ (x;y) thỏa món hệ phương trỡnh
Hướng dẫn
Nếu khụng là nghiệm của phương trỡnh
Nếu . Đặt ta cú hệ phương trỡnh mới 
Vậy 
Cõu 3 (1điểm) Với mỗi số nguyờn dương n,kớ hiệu Sn là tổng n số nguyờn tố đầu tiờn 
( S1=2;S2=2+3; S3=2+3+5.) .Chứng minh rằng trong dóy số S1; S2; S3.. khụng tồn tại hai số hạng liờn tiếp đều là số chớnh phương. 
Hướng dẫn
Ký hiệu là số nguyờn tố thứ . Giả sử tồn tại 
Ta cú : vỡ là số nguyờn tố và 
(Vụ lý)
Cõu 4 (2,5điểm) Cho tam giỏc khụng cõn ABC nội tiếp đường trũn (O) ,BD là phõn giỏc gúc BAC.Đường thẳng BD cắt (O) tại điểm thứ hai E .Đường trũn (O1) đường kớnh DE cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai F
1.Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD đi qua trung điểm của cạnh AC
2.Biết tam giỏc ABC vuụng tại B gúc BAC=600 và bỏn kớnh đường trũn (O) bằng R .Tớnh bỏn kớnh đường trũn (O1) theo R
Hướng dẫn
 CM : FKCA là hỡnh thang cõn
Ta cú : 
Mà là tứ giỏc nội tiếp là hỡnh thang cõn 
Ta lại cú : (chắn cung DF)
Mà (chắn cung BF) 
Ta cú : BD là phõn giỏc vỡ 
Mà (chắn nửa đường trũn)
Cõu 5(1điểm) Độ dài ba cạnh của tam giỏc ABC là ba số nguyờn tố .Chứng minh rằng diện tớch của tam giỏc ABC khụng thể là số nguyờn
Hướng dẫn
Gọi 3 cạnh của lần lượt là 
	Chu vi tam giỏc là 2p
Ta cú : 
Nếu 
Nếu 
Nếu vụ lý
Giả sử 
vỡ là 2 số nguyờn tố mà 
Áp dụng BĐT tam giỏc : Ta lại cú : 
Mõu thuẫn với điều giả sử ở trờn.
Nếu khụng chia hết cho 16 
Vậy khụng là số nguyờn
Cõu 6(1điểm) Cho a1,a2;.a11 là cỏc số nguyờn dương lớn hơn 2 đụi một khỏc nhau và thỏa món a1+a2+.+a11=407 tồn tại hay khụng số nguyờn dương n sao cho tổng cỏc số dư của cỏc phộp chia n cho 22 số a1,a2;.a11 , 4a1,4a2;.4a11 bằng 2012.
Hướng dẫn
Ta chứng minh khụng tồn tại thỏa món đề bài.
Giả sử ngược lại tồn tại số tự nhiờn , ta luụn cú tổng cỏc số dư trong phộp chia cho khụng thể vượt quỏ 407 – 11 = 396 và tổng cỏc số dư trong phộp chia cho khụng thể vượt quỏ 4.407 – 11 = 1617. Suy ra tổng cỏc số dư trong phộp chia cho khụng thể vượt quỏ 396 + 1617 = 2013. Kết hợp với giả thiết tổng cỏc số dư bằng 2012. Suy ra khi chia cho 22 số trờn thỡ cú 21 phộp chia cú số dư lớn nhất và phộp chia cú số dư nhỏ hơn số chia 2 đơn vị.
Suy ra tồn tại sao cho thỏa món điều kiện trờn. Khi đú 1 trong 2 số + 1 ; + 2 chi hết cho và số cũn lại chia hết cho . Suy ra điều này khụng đỳng. Vậy khụng tồn tại thỏa món đề ra.