Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2021-2022

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2021 - 2022
Môn:Toán – Lớp: 9 THCS
 Thời gian làm bài: 150 Phút. 
Đề thi gồm: 01 trang.
Câu 1. (3,0 điểm)
1) Cho là các số tự nhiên thỏa mãn Tính tổng 
2) Chứng minh rằng với mọi số dương và thay đổi thỏa mãn ta luôn có 
Câu 2. (5,0 điểm) 
1) Cho phương trình với là tham số. 
a) Giải phương trình với 
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân biệt.
2) Giải hệ phương trình 
Câu 3. (3,0 điểm) 
1) Cho đa thức với là các số hữu tỷ và thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức 
2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn 
Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác vuông tại có là đường cao. Lấy là một điểm thuộc miền trong của tam giác sao cho đi qua trung điểm của Gọi theo thứ tự là giao điểm của với đường thẳng và Qua kẻ đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đường kính tại điểm ( và thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là ). Gọi là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn đường kính Chứng minh rằng: 
1) Tứ giác nội tiếp một đường tròn và 
2) Tam giác đồng dạng với tam giác và 
3) Ba điểm thẳng hàng.
Câu 5. (2,0 điểm) 
1) Trên một mặt bàn phẳng có 2021 đồng xu kích thước bằng nhau, mỗi đồng xu có hai mặt trong đó có một mặt màu xanh và một mặt màu đỏ, đồng thời tất cả các đồng xu đều ngửa mặt màu xanh lên trên mặt bàn. Thực hiện trò chơi sau đây: mỗi lượt chơi phải đổi mặt 10 đồng xu nào đó trên mặt bàn. Hỏi sau 2022 lượt chơi có thể nhận được tất cả 2021 đồng xu trên mặt bàn đều ngửa mặt màu đỏ lên trên hay không? Hãy giải thích vì sao?
2) Xét tam giác có độ dài các cạnh là thay đổi và thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
------------Hết------------
Họ và tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:.................................................
Họ, tên và chữ ký của GT 1:..............................................Họ, tên và chữ ký của GT 2:........................