Đề thi chọn học sinh giỏi thị xã duyên hải môn toán − khối 9 năm học 2015 − 2016 thời gian: 150 phút (không tính thời gian phát đề)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ DUYÊN HẢI
MÔN TOÁN − KHỐI 9
NĂM HỌC 2015 − 2016
Thời gian: 150 phút(không tính thời gian phát đề)
 ĐỀ:
 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 
 a) Rút gọn B
 b) Tìm giá trị của B khi 
 c) Tìm giá trị lớn nhất của B.
 Bài 2: (4 điểm) 
 a) giải phương trình: 
 b) Giải hệ phương trình: 
 Bài 3: (4 điểm) 
 Cho phương trình x2 − (3m + 1)x + 2m2 +m − 1 = 0 (x là ẩn số)
 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
 b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = x12 + x22 − 3x1x2.
 Bài 4: (2 điểm) Giải bất phương trình: 
 Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BB'. Chứng minh rằng: Tổng bình phương ba cạnh của tam giác bằng CB'2 + 2AB'2 + 3BB'2.
 Bài 6: (4 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M. Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E, I là trung điểm của DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K.
 a) Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
 b) Chứng minh 
 c) Chứng minh H là trung điểm của DK.
.......................Hết....................
HƯỚNG DẪN CHẤM 
MÔN TOÁN KHỐI 9
NĂM HỌC 2015-2016
Bài
Nội dung 
Điểm
Bài 1
a) Điều kiện xy ≠ 1; y ≠ − 1; x ≥ 0
0,5
0,5
0,5
0,5
b) Có 
Do đó 
0,5
0,5
c) Có 
 Vì x ≥ 0 . Do đó B lớn nhất khi B = 1 tại x = 1 
0,5
0,5
Bài 2
PT đã cho tương đương 
Vậy pt đã cho có nghiệm x=0
0,5
0,5
0,5
0,5
b) 
biểu thị z theo x và y từ pt (1): z = 12 – 2x + y
thế z vào pt(2) và pt(3) ta được:
Thế x = 3; y = -4 vào biểu thức z = 12 – 2x + y ta được z = 2
 Vậy hpt có nghiệm là (x;y;z) = (3; -4; 2)
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
 x2 − (3m + 1)x + 2m2 +m − 1 = 0 
a) Ta có: 
 với mọi m
 Vậy pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
0,5
1
0,5
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình
 Ta có: A = x12 + x22 − 3x1x2
 = (x1+ x2)2 − 5x1x2 
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là khi 
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
Biểu thức vế trái có nghĩa khi . Ta có
Lập bảng xét dấu
x
 -2 1 4
x + 2
x - 1
x – 4
VT
 - 0 + + + 
 - - 0 + +
 - - - 0 +
 - 0 + 0 - 0 +
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -2 hoặc 1 < x < 4
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
Bài 5
Ta có D ABC cân tại A nên AB = AC
 do đó AB2 = AC2 = AB'2 + BB'2
 BC2 = BB'2 + CB'2
 Þ AB2 + AC2 + BC2 = 2AB2 + BC2
 = 2AB'2 + 2BB'2 + BB'2 + CB'2
 = 2AB'2 + 3BB'2 + CB'2
Vậy 
AB2 + AC2 + BC2 = CB'2 + 2AB'2 + 3BB'2 
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Bài 6
Hình vẽ đúng cho 0,5
a) B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn:
 Ta có I là trung điểm của ED nên OI ^ ED
 Þ 
 Ta lại có (AB là tiếp tuyến)
 (AC là tiếp tuyến)
 I, B, C cùng nhìn OA dưới một góc vuông nên B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA.
0,25
0,25
0,25
0,25
b) 
 Do DK ^ BO nên DK // AB
 Þ (đồng vị) 
 mà (góc nội tiếp cùng chắn )
 Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
c) H là trung điểm của KD
 Theo câu a) ta có (góc nội tiếp cùng chắn )
 hay 
 mà ( đồng vị) 
 Þ 
 I. H cùng nhìn BC dưới một góc không đổi nên DHIC nội tiếp
 Þ 
 (góc nội tiếp cùng chắn ) 
 	Þ 
 Þ BE // HI ( cặp góc đồng vị bằng nhau)
 mà IE = ID (gt)Þ HK = HD
 Vậy H là trung điểm của KD. 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
* Mọi cách làm khác đúng vẫn cho đủ số điểm