Các Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán THCS

1CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN THCS
Chuyên đề 1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I- ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II- TÍNH CHẤT:
1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ
tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với
số mũ chẵn.
3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính
phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n  N).
4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính
phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N ).
5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
A- Dạng 1: CHỨNGMINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:
A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4y là số chính phương.
Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4y
= ( 2 2 2 2 45 4 )( 5 6 )x xy y x xy y y    
Đặt 2 25 5 ( )x xy y t t Z    thì
A = ( 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2)( ) ( 5 5 )t y t y y t y y t x xy y         
Vì x, y, z  Z nên 2 2 2 2, 5 , 5 5 5x Z xy Z y Z x xy y Z      
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Giải : Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n  Z). Ta có:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= ( 2 23 )( 3 2) 1 (*)n n n n   
Đặt 2 3 ( )n n t t N   thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n  N nên n2 + 3n + 1  N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.
2Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.
Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1
4
k (k + 1)(k + 2). 4= 1
4
k(k + 1)(k + 2).  ( 3) ( 1)k k  
= 1
4
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1
4
k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; . . .
- Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng trước và
đứng sau nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 44 ...488...89 = 44...488...8 + 1 = 44...4 . 10n + 8 . 11 ... 1 + 1
n chữ số 4 n - 1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1
= 4.
10 1 10 1
.10 8. 1
9 9
n n
n  
=
2 24.10 4.10 8.10 8 9 4.10 4.10 1
9 9
n n n n n     
=
2
2.10 1
3
n   
Ta thấy 2.10n + 1 = 200...01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3
n - 1 chữ số 0
=>
2
2.10 1
3
n     Z hay các số có dạng 44 ... 488 ... 89 là số chính phương.
Các bài tương tự:
Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương.
A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1
2n chữ số 1 n chữ số 4
B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8
2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7
2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8
D = 22499 . . .9100 . . . 09
n-2 chữ số 9 n chữ số 0
3E = 11 . . .155 . . . 56
n chữ số 1 n-1 chữ số 5
Kết quả: A=
2 2 2
10 2 10 8 2.10 7
; ;
3 3 3
n n n
B C
                  
D = (15.10n - 3)2 E =
2
3
210



 n
Bài 5: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là
một số chính phương.
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n +1, n + 2 ( n  N, n >2).
Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thể chia hết cho 5
=> 5. (n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương.
Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n  N và n >1
không phải là số chính phương.
n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]
= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
= n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
Với nN, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
Vậy (n - 1)2 n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương.
Bài 7: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn
vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một
số chính phương.
Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số
lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng
bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính
phương.
a và b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m  N).
=> a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
= 4 (k2 + k + m2 + m) + 2
=> a2 + b2 không thể là số chính phương.
Bài 9: Chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu tiên
thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương.
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không thể chia hết cho 4 (1)
a- Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m2 ( m  N).
Vì p chẵn nên p + 1 lẻ => m2 lẻ => m lẻ.
4Đặt m = 2k + 1 (k  N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 => p + 1 = 4k2 + 4k + 1
=> p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1)  4 mâu thuẫn với (1).
=> p + 1 không phải là số chính phương.
b- p = 2.3.5... là số chia hết cho 3 => p - 1 có dạng 3k + 2.
=> p - 1 không là số chính phương.
Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính
phương.
Bài 10: Giả sử N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số
chính phương.
a- 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1
Có 2N  3 => 2N - 1 = 3k + 2 (k  N)
=> 2N - 1 không là số chính phương.
b- 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N chẵn.
=> N lẻ => N không chia hết cho 2 và 2N  2 nhưng 2N không chia hết cho 4.
2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3 => 2N không là số chính phương.
c- 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 1
2N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N + 1 không chia cho 4 dư 1.
=> 2N + 1 không là số chính phương.
Bài 11: Cho a = 11 . . . 1 ; b = 100 . . . 05
2010 chữ số 1 2009 chữ số 0
Chứng minh 1ab  là số tự nhiên.
Giải: b = 100 . . . 05 = 100 . . . 0 - 1 + 6 = 99 . . . 9 + 6 = 9a + 6
2009 chữ số 0 2010 chữ số 0 2010 chữ số 9
 ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
 Naaab  13)13(1 2
B. DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3)
c) 13n + 3 d) n2 + n + 1589
Giải:
a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k  N)
 (n2 + 2n + 1) + 11 = k2  k2 – (n + 1)2 = 11  (k + n + 1)(k – n - 1) = 11
Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k + n
+ 1) (k - n - 1) = 11.1  k + n + 1 = 11  k = 6
k - n – 1 = 1 n = 4
5b) đặt n(n + 3) = a2 (n  N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2
 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
 (2n + 3)2 – 4a2 = 9
 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1  2n + 3 + 2a = 9  n = 1
2n + 3 – 2a = 1 a = 2
c) Đặt 13n + 3 = y2 (y  N)  13(n - 1) = y2 – 16
 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)
 (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13
 y = 13k  4 (với k  N)
 13(n - 1) = (13k  4)2 – 16 = 13k.(13k  8)
13k2 8k + 1
Vậy n = 13k2  8k + 1 (với k  N) thì 13n + 3 là số chính phương
d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m  N)  (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
 (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355
Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m +
2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28
Bài tương tự :
Tìm a để các số sau là những số chính phương
a) a2 + a + 43
b) a2 + 81
c) a2 + 31a + 1984
Kết quả: a) 2; 42; 13
b) 0; 12; 40
c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728
Bài 2 : Tìm số tự nhiên n  1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! +  + n! là một số chính phương.
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 33 là số chính phương
Với n  4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; ; n! đều tận
cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! +  n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số
chính phương.
Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3
Bài 3: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương.
Giả sử 2010 + n2 là số chính phương thì 2010 + n2 = m2 (m N )
6Từ đó suy ra m2 - n2 = 2010  (m + n) (m – n) = 2010
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m  2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2)  m + n và m – n là 2 số chẵn.
 (m + n) (m – n)  4 nhưng 2006 không chia hết cho 4
 Điều giả sử sai.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.
Bài 4: Biết x N và x > 2. Tìm x sao cho )1()2()1(.)1(  xxxxxxxx
Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: )1()2()1(
2  xxxxxx
Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương.
Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ
có thể tận cùng bởi một trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)
Do x là chữ số nên x  9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 < x  9 (2)
Từ (1) và (2)  x chỉ có thể nhận một trong các giá trị 5; 6; 7
Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thoả mãn đề bài, khi đó 762 = 5776
Bài 5: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.
Ta có 10  n  99 nên 21  2n + 1  199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được
2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Vậy n = 40
Bài 6: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính
phương thì n là bội số của 24
Vì n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương nên đặt n + 1 = k2, 2n + 1 = m2 (k, m N )
Ta có m là số lẻ  m = 2a + 1  m2 = 4a(a + 1) + 1
Mà )1(2
2
)1(4
2
12  aaaamn
 n chẵn  n + 1 lẻ  k lẻ  đặt k = 2b + 1 (với b N )  k2 = 4b(b+1) + 1
 n = 4b(b+1)  n  8 (1)
Ta có: k2 + m2 = 3n + 2  2 (mod3)
Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1
Nên để k2 + m2 2 (mod3) thì k2  1 (mod3)
m2  1 (mod3)
 m2 – k2  3 hay (2n + 1) – (n + 1)  3  n  3 (2)
Mà (8; 3) = 1 (3)
Từ (1), (2), (3)  n  24
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a  N) thì
72n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48)
2p. 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q  N ; p + q = n và p > q
 a + 48 = 2p  2p 2q = 96  2q (2p-q – 1) = 25.3
a – 48 = 2q
 q = 5 và p – q = 2  p = 7
 n = 5 + 7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
C.DẠNG 3 : TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một
đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gọi A = 2kabcd  . Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B = 2)1)(1)(1)(1( mdcba  với k, m  N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d = 9;1
 Ta có: A = 2kabcd 
B = 21111 mabcd  . Đúng khi cộng không có nhớ
 m2 – k2 = 1111  (m - k)(m + k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.
Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101
Do đó: m – k = 11  m = 56  A = 2025
m + k = 101 n = 45 B = 3136
Bài 2: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số
gồm 2 chữ số sau một đơn vị.
Đặt 2kabcd  ta có 1 cdab và k  N, 32  k < 100
Suy ra : 101cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10)  k + 10  101 hoặc k – 10  101
Mà (k – 10; 101) = 1  k + 10  101
Vì 32  k < 100 nên 42  k + 10 < 110  k + 10 = 101  k = 91
 abcd = 912 = 8281
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối
giống nhau.
Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b  N, 1  a  9; 0  b  9
Ta có: n2 = aabb = 11. ba0 = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1)
Nhận xét thấy aabb  11  a + b  11
Mà 1  a  9; 0  b  9 nên 1  a + b  18  a + b = 11
Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương
Bằng phép thử với a = 1; 2;; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn  b = 4
Số cần tìm là: 7744
8Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
Gọi số chính phương đó là abcd . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương
nên đặt abcd = x2 = y3 với x, y  N
Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương.
Ta có : 1000  abcd  9999  10  y  21 và y chính phương
 y = 16  abcd = 4096
Bài 5 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn
bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1  a  9; 0  b, c, d  9
abcd chính phương  d  9,6,5,4,1,0
d nguyên tố  d = 5
Đặt abcd = k2 < 10000  32  k < 100
k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5  k tận cùng bằng 5
Tổng các chữ số của k là một số chính phương  k = 45
 abcd = 2025
Vậy số phải tìm là: 2025
Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số
bở hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương
Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm là ab (a, b  N, 1  a, b  9)
Số viết theo thứ tự ngược lại ba
Ta có ab 2 - ba 2 = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2)  11  a2 – b2  11
Hay (a - b) (a + b)  11
Vì 0 < a – b  8, 2  a + b  18 nên a + b  11  a + b = 11
Khi đó: ab 2 - ba 2= 32 . 112 . (a – b)
Để ab 2 - ba 2 là số chính phương thì a – b phải là số chính phương do đó a – b = 1 hoặc
a – b = 4
Nếu a – b = 1 kết hợp với a + b = 11  a = 6, b = 5 , ab= 65
Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332
Nếu a – b = 4 kết hợp với a + b = 11  a = 7,5 loại
Vậy số phải tìm là 65
Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được
một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu.
(Kết quả: 1156)
Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số
của nó.
Gọi số phải tìm là ab với a, b  N, 1  a  9; 0  b  9
9Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3
 (10a +b)2 = (a + b)3
 ab là một lập phương và a + b là một số chính phương
Đặt ab = t3 (t  N), a + b = 12 (1  N)
Vì 10  ab  99  ab = 27 hoặc ab = 64
Nếu ab = 27  a + b = 9 là số chính phương
Nếu ab = 64  a + b = 10 không là số chính phương  loại
Vậy số cần tìm là ab = 27
Bài 9 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n - 1 ; 2n + 1 ; 2n + 3 (n  N)
Ta có : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11
Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 . a với a lẻ và 1  a  9
 12n(n + 1) = 11(101a – 1)
 101a – 1  3 2a – 1  3
Vì 1  a  9 nên 1  2a – 1 17 và 2a – 1 lẻ nên 2a – 1  15;9;3
 a  8;5;2
Vì a lẻ  a = 5  n = 21
3 số cần tìm là: 41; 43; 45
Bài 10 : Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng
lập phương các chữ số của số đó.
ab (a + b) = a3 + b3
 10a + b = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab
 3a (3 + b) = (a + b) (a + b – 1)
a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó
a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a
a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b
 a = 4, b = 8 hoặc a = 3, b = 7
Vậy ab = 48 hoặc ab = 37
10
Chuyên đề 2: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
1. Tìm nghiệm nguyên của Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Tuỳ từng bài cụ thể mà làm các cách khác nhau.
VD1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x + 3y = 11 (1)
Cách 1: Phương pháp tổng quát:
Ta có: 2x + 3y = 11
2
1
5
2
311  yyyx
Để phương trình có nghiệm nguyên
2
1 y nguyên
Đặt Zty 
2
1  y = 2t + 1
x = -3t + 4
Cách 2 : Dùng tính chất chia hết
Vì 11 lẻ  2x + 3y luôn là số lẻ mà 2x luôn là số chẵn  3y lẻ  y lẻ
Do đó : y = 2t + 1 với Zt
x = -3t + 4
Cách 3 : Ta nhân thấy phương trình có một cặp nghiệm nguyên đặc biệt là
x0 = 4 ; y0 = 1
Thật vậy : 2 . 4 + 3.1 = 11 (2)
Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta có :
2(x - 4) + 3(y - 1) = 0
 2(x -4) = -3(y -1) (3)
Từ (3)  3(y - 1)  2 mà (2 ; 3) = 1  y - 1  2
 y = 2t + 1 với Zt
Thay y = 2t + 1 vào (3) ta có : x = -3t + 4
Nhận xét : Với cách giải này ta phải mò ra một cặp nghiệm nguyên (x0, y0) của phương
trình ax + by = c ; cách này sẽ gặp khó khăn nếu hệ số a, b, c quá lớn.
Các bài tập tương tự : Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
a) 3x + 5y = 10
b) 4x + 5y = 65
c) 5x + 7y = 112
VD2 : Hệ phương trình.
Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau :
3x + y + z = 14 (1)
5x + 3y + z = 28 (2)
11
Giải : Từ hệ đã cho ta có : 2(x + y) = 14 vậy x = 7 - y (*)
Thay (*) vào (1) ta được z = 14 - y - 3x = 2y -7
Vì x > 0 nên 7 - y > 0  y 0 nên 2y - 7 > 0  y >
2
7
Vậy
2
7 < y < 7 và Zy  6;5;4 y
Giải tiếp hệ đã cho có 3 nghiệm (3; 4; 1); (2; 5; 3); (1; 6; 5)
Bài tập tương tự:
a) Tìm nghiệm nguyên của hệ
2x -5y = 5
2y - 3z = 1
b) Trăm trâu ăn trăm bó cỏ – trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, trâu già 3 con 1 bó. Tìm
số trâu mỗi loại.
c) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất chia cho 1000 dư 1 và chia cho 761 dư 8.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình, hệ phương trình bậc cao.
Phương pháp 1 : Dùng dấu hiệu chia hết để giải phương trình.
VD1: a) Tìm cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn phương trình
6x2 + 5y2 = 74 (1)
Cách 1 : Ta có : 6 (x2 - 4) = 5 (10 - y2) (2)
Từ (2)  6(x2 - 4)  5 và (6 ; 5) = 1  x2 - 4  5
 x2 = 5t + 4 với Nt
Thay x2 - 4 = 5t vào (2) ta có : y2 = 10 – 6t
Vì x2 > 0 và y2 > 0  5t + 4 > 0
10 - 6t > 0

3
5
5
4  t với Nt
 t = 0 hoặc t = 1
Với t = 0  y2 = 10 (loại)
Với t = 1  x2 = 9  x = 3
y2 = 4 y = 2
Vậy các cặp nghiệm nguyên là :........................
Cách 2 : Từ (1) ta có x2 + 1  5
0 < x2  12  x2= 4 hoặc x2 = 9
Với x2 = 4  y2 = 10 (loại)
Với x2 = 9  y2 = 4 (thoả mãn)
Vậy.....................
Cách 3 : Ta có :(1)  y2 chẵn
0 < y2  14  y2 = 4  x2 = 9
12
Vậy...............
VD2 : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên
a) x5 + 29x = 10(3y + 1)
b) 7x = 2y - 3z - 1
Giải : x5 - x + 30x = 10(3y+1)
VP  30 còn VT  30  phương trình vô nghiệm
Phương pháp 2: Phân tích một vế thành tích, một vế thành hằng số nguyên
VD1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
a) xy + 3x - 5y = -3
b) 2x2 - 2xy + x - y + 15 = 0
c) x2 + x = y2 - 19
Giải : a) Cách 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18
 (x – 5) (y + 3) = -18...
Cách 2 :
3
18
5
3
35


yy
y
x
b) Tương tự.
c) 4x2 + 4x = 4y2 - 76
 (2x + 1)2 - (2y)2 = -75...
Phương pháp 3 : Sử dụng tính chẵn lẻ (đặc biệt của chia hết)
VD2 : Tìm nghiệm nguyên.
x3 - 2y3 - 4z3 = 0
Giải :  x3 = 2(y3 + 2z3)
VP  2  x3 2  x  2 đặt x = 2k
8k3 = 2(y3 + 2z3)  4k3 = y3 + 2z3
 y3 = 4k3 - 2z3 = 2(2k3 - z3)
 y chẵn. Đặt y = 2t ta có :
8t3 = 2(2k3 - z3)  4t3= 2k3 - z3
 z3 = 2k3 - 4t3  z chẵn  z = 2m
 8m3 = 2(k3 - 2t3)  ......k chẵn.......
Phương pháp 4 : Phương pháp sử dụng tính chất của số chính phương
VD1 : Tìm nghiệm nguyên của.
a) x2 - 4xy + 5y2 = 169
b) x2 - 6xy + 13y2 = 100
Giải :
a) (x - 2y)2 + y2 = 169 = 0 + 169 = 25 + 144...
b) (x – 3y)2 + (2y)2 = 100 = 0 + 100 = 36 + 64 = ...
Phương pháp 5 : Phương pháp công thức nghiệm phương trình bậc 2
13
VD1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
a) 2x2 -2xy + x + y + 15 = 0
b) 5(x2 + xy + y2) = 7(x+2y) (đề thi học sinh giỏi tỉnh 2009 – 2010)
c) x(x + 1) = y (y + 1) (y2 + 2)
Phương pháp 6 : Phương pháp đặt ẩn phụ
VD: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
6
7
32
22
22
12
2
2
2
2



xx
xx
xx
xx (1)
Đặt y = x2 + 2x + 2 (y  Z)
(1)
6
7
1
1 

y
y
y
y  5y2 – 7y – 6 = 0
5
3
1 y (loại) ; y2 = 2 (thoả mãn)  x1 = 0; x2 = -2
Các bài tập tương tự:
a) x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3
b)
12
1
)1(
1
)2(
1
2
 xxx
* Một số phương pháp khác.
VD1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
2x2 + 4x = 19 -3y2
Giải :  4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2
(2x + 2)2 = 6 (7 - y2)
Vì (2x + 2)2  0  7 - y2  0  72 y
Mà y Z  y = 0 ; 1 ; 2 Từ đây ta tìm được giá trị tương ứng của x
3. Một số bài toán liên quan tới hình học.
a) Cho tam giác có độ dài của 3 đường cao là những số nguyên dương và đường tròn nội
tiếp tam giác đó có bán kính bằng 1(đ.v.đ.d). Chứng minh tam giác đó là tam giác đều
Giải: Gọi độ dài các cạnh và các đường cao tương ứng theo thứ tự là a; b; c và x; y; z. R là
bán kính đường tròn nội tiếp.
Ta có R = 1 x; y; z > 2 và giả sử x  y  z > 2
Ta có : ax = by = cz = (a + b+ c).1 (=2S)
Suy ra:
a
cba
x
 ;
c
cba
z
b
cba
y
 ;
cba
a
x 
1 ;
cba
b
y 
1 ;
cba
c
z 
1
 1111 
zyx
mà x  y  z > 2

xz
11  và
yz
11  nên
zzyx
3111 
14

z
3
1  3z  z = 3 Tương tự ta có: x = 3; y = 3  tam giác đó là tam giác đều
b) Tìm tất cả các hình chữ nhật với độ dài các cạnh là các số nguyên dương có thể cắt
thành 13 hình vuông bằng nhau sao cho mỗi cạnh của hình vuông là số nguyên dương
không lớn hơn 4 (đ.v.đ.d)
Giải : Gọi các cạnh hình chữ nhật cần tìm là a và b, cạnh hình vuông là c. Từ giả thiết hình
chữ nhật cắt thành 13 hình vuông nên phải có:
ab = 13c2 (1) với 0 < c  4 (2)
Từ (1) suy ra a hoặc b chia hết cho 13. Vì vai trò a, b như nhau ta có thể giả giả sử a chia
hết cho 13, tức là a = 13d
Thay vào (1) ta được : 13db = 13c2
Hay db = c2
Ta hãy xét các trường hợp có thể có của c.
Với c = 1, chỉ có thể: d = 1, b = 1, suy ra a = 13
Với c = 2, chỉ có thể: d = 1, b = 4, suy ra a = 13
d = 2, b = 2, suy ra a = 26
d = 4, b = 1, suy ra a = 52
Với c = 3, chỉ có thể: d = 1, b = 9, suy ra a = 13
d = 3, b = 3, suy ra a = 39
d = 9, b = 1, suy ra a = 117
Với c = 4, chỉ có thể: d = 1, b = 16, suy ra a = 13
d = 2, b = 8, suy ra a = 26
d = 4, b = 4, suy ra a = 52
d = 8, b = 2, suy ra a = 104
d = 16, b = 1, suy ra a = 208
Với 12 nghiệm của phương trình (1) chỉ có 4 trường hợp thoả mãn bài toán. Bài toán có 4
nghiệm. Ta tìm được 4 hình chữ nhật thoả mãn đề bài:
(a = 13, b = 1); (a = 26, b = 2); (a = 39, b = 3); (a = 52, b = 4)
15
Chuyên đề 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(Dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh)
I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
* Các phương pháp
1. Luỹ thừa khử căn
2. Đặt ẩn phụ
3. Dùng bất đẳng thức
4. Xét khoảng
II. ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP
A. Phương pháp luỹ thừa khử căn
1. Giải các phương trình
a) )1(2321  xx
Điều kiện: x
2
3
Với
2
3x PT (1) 43522321 2  xxxx
xxx 383522 2 






3
8
)2(48964)352(4 22
x
xxxx
PT (2) 052282  xx




)(26
)(2
Kotmx
tmx
Vậy PT đã cho có nghiệm x=2
b) )1()1()1(3 22  xxxx
ĐK: 1x
Với 1x PT (1) 112)1(3 22  xxxxxx
12442 2  xxxx 1222  xxxx
Do 1x nên 2 vế của PT này không âm vì vậy PT này
232324 48444 xxxxxxx 
04895 234  xxxx
0)1()2( 22  xxx




01
02
2 xx
x
2 x ™
16
c) 1222 33  xx (1)
Giải:
Pt (1)    1222 333  xx
1)22()2(.()22)(2(3222 333  xxxxxx
3 2 46231  xxx
)462(27331 232  xxxxx
010715951 23  xxx
0)10752)(1( 2  xxx




010752
1
2 xx
x








78326
78326
1
x
x
x
B. Phương pháp đặt ẩn phụ
(2) Giải các phương trình:
a) 3123  xx
Giải:
ĐK: 1x
Đặt ax 3 2 ; bx 1 ( 0b )
Ta có hệ PT




3
323
ba
ba
Suy ra 06623  aaa 0)6)(1( 2  aa
)/(31 mTxa 
Vậy phương trình nghiệm 3x
b. )1(552  xx
ĐK: 5x
Đặt : yx  5 ( )0y ta có hệ phương trình

 

5
5
2
2
xy
yx
0)()( 22  yxyx




01yx
yx
+)




05
0
5
2 xx
x
xxyx






2
211
0
x
x
2
211 x (Ko T/m)
+) 01  yx 015  xx
51  xx )1(5  xx
17





(*)512
01
2 xxx
x
PT (*) 042  xx







2
171
2
171
x
x
(ko t/m)
Vậy PT vô nghiệm
c) 6
2
4
).2(5)4)(2( 

x
x
xxx ; ĐK: 0
2
4 

x
x
Đặt )2)(4()2.(
2
4 2 

xxaax
x
x ; Ta có PT: 0652  aa ;  



6
1
a
a
+) 01861 2  xxa
0762  xx






23
)(
1
23
x
tmx
+) 036866 2  xxa
02862  xx 




)(373
373
tmx
x
Vậy pt có 2 nghiệm 373;23 x
C. áp dụng bất đẳng thức
(3) Giải các phương trình
a) 45224252642  xxxx (1) ĐK:
2
5x
Với Đk:
2
5x PT (1)  4152352  xx
Ta có: 4152352  xx
Đẳng thức xẩy ra






2
5
0)152)(352(
x
xx
 3
2
5  x
Vậy nghiệm của PT đã cho là 3
2
5  x
b) )1(271064 2  xxxx
Giải
ĐK 64  x
Trên TXĐ )64)(11(64 22 xxxx   264  xx
Lại có 22)5(2710 22  xxx
18
xxxx  6427102
Đẳng thức xẩy ra
5
64
5
64







 x
x
x
xx
Vậy PT (1) có nghiệm là x=5
c) Giải phương trình
211 22  xxxxxx
Giải
ĐK: 
 

01
01
2
2
xx
xx
áp dụng BĐT cô si cho các số không âm ta có






2
11
1).1(
2
11
1).1(
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
111 22  xxxxx
Ta có 122  xxx (Vì 0)1( 2 x )
211 222  xxxxxx
Đẳng thức xẩy ra 1 x ; Vậy pt có nghiệm là x=1
D. Xét khoảng
(4) Giải các PT
a) )1(353448 22  xxx
Giải
TXĐ: x
PT(1) 343548 22  xxx 34
3548
13
22


 x
xx
Thấy 1x là nghiệm của PT (1)
+) 1335481 22  xxx 2 2
13
1
48 35
4 3 1
x x
x
       
PT vô nghiệm
+) 1
4
3  x
133548 22  xx 2 2
13
1
48 35
4 3 1
x x
x
       
PT vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=1
b) 1235 3 46  xx (1)
19
Giải
Ta có:
1x thì 1; 64 xx
1x thì 1; 64 xx
+) Xét 1x 123;45 46  xx
3 46 235  xx
PT (1) vô nghiệm
Xet 1x týừng tự ta suy ra phýừng trỡnh vụ nghiệm
Thấy x= 1 hoặc x= -1 là nghiệm của PT (1)
Bài tập:
Giải các PT
(1) a) )(15)2(2 32 Bxx 
(b) )(917.17 22 Bxxxx 
(2) xxx  3.3 (A)
(3) 83124 22  xxx (D)
(4) )(13626 2 Cxxxx 
(5) )(231034 Axx 
(6) 08645.27 56105  xx (C)
III. Giải hệ phương trình
* Các phương pháp:
1. Phương pháp thế
2. Công thức trừ, nhân, chia các vế
3. Đặt ẩn phụ
4. Dùng bất đẳng thức.
IV. áp dụng các phương pháp.
A. Phương pháp thế.
1. Giải các hệ pgương trình
a)




2947
113
yx
yx
Giải
Hệ đã cho tương đương với




29)311(47
311
xx
xy




155
311
x
xy




2
3
y
x
Vậy hệ đã cho có nghiệm là: (x;y) = (3;2)
20
b) 
 

027624
065
2
22
yxyx
xyx
Giải
Hệ đã cho tương đương với




027624
0)3)(2(
2 yxyx
yxyx














027642
3
027620
2
2
2
yy
yx
yy
yx






































14
1271
14
1271
3
20
5493
20
3549
2
y
y
yx
y
y
yx





20
5493
10
5493
y
x
Hoặc





20
5493
10
5493
y
x





14
1271
14
12733
y
x
Hoặc





14
1271
14
12733
y
x
c) 
 

2004200320032003
222
3zyx
zxyzxyzyx
Giải:

 

)2(3
)1(
2004200320032003
222
zyx
zxyzxyzyx
Ta có:
PT (1) 0222222 222  zxyzxyzyx
0)()()( 222  xzzyyx
zyx 
Thế vào (2) ta có: 20042003 33 x
20032003 3x
3x
Do đó x= y=z = 3
Vậy nghiệm của hệ đã cho là:
(x;y;z) = (3;3;3)
B. Phương pháp cộng, trừ, nhân, chia các vế
21
(2) Giải các hệ phương trình
a) 




226
2235
yx
yx
Giải:
Hệ đã cho tương đương với:





226
4265
yx
yx





2235
666
yx
x
1
6
1
2
x
y
    
b) 
 

12
12
3
3
xy
yx
Giải:
Hệ đã cho tương đương với

 

0)(2
12
33
3
yxyx
yx

 

0)2)((
12
22
3
yxyxyx
yx




yx
yx 123
(do 0222  yxyx )




yx
xx 0123




yx
xxx 0)1)(1( 2


















yx
x
x
x
2
51
2
51
1




1
1
y
x
hoặc





2
51
2
51
y
x
hoặc





2
51
2
51
y
x
c)






9
4
1(
xzxz
zyzy
yxyx
trong đó 0,, zyx
Giải
Hệ đã cho tương đương với






10)1)(1(
5)1)(1(
2)1)(1(
xz
zy
yx
 








10)1)(1(
5)1)(1(
2)1)(1(
100)1)(1)(1( 2
xz
zy
yx
zyx
22








10)1)(1(
5)1)(1(
2)1)(1(
10)1)(1)(1(
xz
zy
yx
zyx







11
21
51
y
x
z







4
0
1
z
y
x
Vậy hệ đã cho có nghiệm là
(x;y;z)=(1;0;4)
C. Phương pháp đặt ẩn phụ
(3). Giải các hệ phương trình
a)
 

6
5
2233
22
xyyxyx
yyxx
Đặt: x-y=a; x+y =b
Hệ đã cho trở thành