Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi toán 11 năm học : 2015 – 2016 thời gian làm bài : 180 phút

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 11 
NĂM HỌC : 2015 – 2016 
Thời gian làm bài : 180 phút 
Câu 1. (2.0 điểm) Cho dãy số  nu xác định bởi 
 
1
*
1
3
2 1
,
1 1 2
n
n
n
u
u
u n N
u

 

 
   
. Tính 
2017u . 
Câu 2. (1.5 điểm) Tìm *n N thỏa mãn : 1 2 3 20161 2 3 ... nP P P nP P      , với nP là số 
các hoán vị của tập hợp có n phần tử. 
Câu 3. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình : 
 
2 2 2
3
2 . 2
3
. 2 4
x y
x x y
y
x y
y x y x
y
 
  



  


Câu 4. (1.5 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SC vuông góc với mặt phẳng  ABC và tam 
giác ABC vuông tại B. Biết , 3AB a AC a  và góc giữa hai mặt phẳng    ,SAB SAC 
bằng  với 
13
sin
19
  . Tính độ dài SC theo a. 
Câu 5. (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có 
2 2CD AB AD  . Gọi E là điểm thuộc đoạn AB sao cho 3AB AE , điểm F thuộc đoạn 
BC sao cho tam giác DEF cân tại E. Biết  2;4E , đường thẳng EF có phương trình 
2 8 0x y   và đỉnh D thuộc đường thẳng 3 8 0x y   . Tìm tọa độ các đỉnh của hình 
thang ABCD. 
Câu 6. (1.0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 6a b c   . Tìm giá trị lớn 
nhất của biểu thức : 
 
   
5 9 8
4 3 5 4 3 5
abc ab bc ca
Q
a b b c c a
 

  
------------------ HẾT ------------------ 
THÁNG 04 NĂM 2016 
 ĐÁP ÁN KHẢO SÁT HSG TOÁN 11 
THÁNG 04 NĂM 2016 
CÂU NỘI DUNG VẮN TẮT ĐIỂM 
Câu 1 
Cho dãy số  nu xác định bởi 
 
1
*
1
3
2 1
,
1 1 2
n
n
n
u
u
u n N
u

 

 
   
 Tính 
2017u . 
Chứng minh được : tan 2 1
8

  
Ta được : 1
tan
8
1 .tan
8
n
n
n
u
u
u





Chứng minh bằng qui nạp được  tan 1
3 8
nu n
  
   
 
Vậy 2017 tan 2016. tan 3
3 8 3
u
   
    
 
2.0 
Câu 2 Tìm *n N thỏa mãn : 1 2 3 20161 2 3 ... nP P P nP P      , với nP là số các hoán 
vị của tập hợp có n phần tử. 
Ta có         *1 1! 1 ! 1 !. 1 1 .k k kP P k k k k k P k N            
Áp dụng đẳng thức trên, ta có 
2 1 1
3 2 2
4 3 3
1
1
2
3
...................
n n n
P P P
P P P
P P P
P P nP
 
 
 
 
Suy ra : 1 1 2 3 20161 2 3 ... 2015n nP P P P nP P n          
1.5 
Câu 3 
Giải hệ phương trình : 
   
 2 2 2
3
2 . 2 1
3
. 2 4 2
x y
x x y
y
x y
y x y x
y
 
  



  


ĐK : 
3
0, 0
x y
y
y

  
Hệ 
2
1
2. . 1 3. 2. 1
1
1 3. 2 1 4. .
x x x
y y y y
x x x
y y y y
 
    
 
 
 
    
 
 Đặt 
1
x
a
y
b
y




 

 , ta có hệ 
 
 
  
2
2
2 1 3 2 1
1 3 2 4 1
2 1 . 1 3 2 2 4
2 1 1 3 2 0
1 2
1 3 2
a b a a
a a ab
a b a a a ab
a b a a
a b
a a
    

   
      
     
 
 
 
 
2
1 2 1 2
x
a b x y
y y
        thay vào  1 được 
 
 
 3 2 3 22
. 1 2 2 2. 1 1
y yy
y y y
y y y
 
          
2
2
0
2 2
4. 7. 0
2 7
4
2
8 14
11 11
y
yy y
yy y
y
y x o
y x

  
    
  

  

   

Thử lại chỉ có    ; 0;2x y  thỏa mãn 
 
21 3 4
1 3 2 1
0
a a
a a a x y
a
  
      

Thay vào  1 được  2 2 4 4x x x y      
Kết luận : Hệ đã cho có hai nghiệm        ; 0;2 , ; 4;4x y x y  
1.5 
Câu 4 Cho hình chóp S.ABC có SC vuông góc với mặt phẳng  ABC và tam giác 
ABC vuông tại B. Biết , 3AB a AC a  và góc giữa hai mặt phẳng 
   ,SAB SAC bằng  với 
13
sin
19
  . Tính độ dài SC theo a. 
1.5 
Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB. Ta chứng minh được 
)(),( CHKSASABCK  . Suy ra CHK vuông tại K và KHSA . 
Do đó CHK  . Đặt 0 xSC . Trong tam giác vuông SAC ta có 
.
3
3111
22
22
2
222 xa
xa
CH
CSCACH 
 
Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có .
2
2
22
22
2
xa
xa
CK

 
 
 
2 22
2 2 2
2 313 13 13
sin
19 19 193 2
6
a xCK
CH a x
x a


    

 
Vậy 6SC a 
Câu 5 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có 
2 2CD AB AD  . Gọi E là điểm thuộc đoạn AB sao cho 3AB AE , điểm F 
thuộc đoạn BC sao cho tam giác DEF cân tại E. Biết  2;4E , đường thẳng 
EF có phương trình 2 8 0x y   và đỉnh D thuộc đường thẳng 
3 8 0x y   . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD. 
C A
S
B
H
K
1.5 
Gọi P là điểm đối xứng với D qua A. Do BA AD AP  nên DBP 
vuông tại B, DBC vuông tại B, suy ra P, B, C thẳng hàng. Vì 
EP ED EF  nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp PDF 
AED DFP DEBF   nội tiếp 090DEF DBF   
DE EF  
Phương trình  : 2 6 0 2;2DE x y D     
2 2 2 2 210 2DE AD AE AE AE     
   2;8 3 , 2 1;5A a a AE A   
 
 
2 4;2
2 4; 4
EB EA B
DC AB C
  
  
Câu 6 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 6a b c   . Tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức : 
 
   
5 9 8
4 3 5 4 3 5
abc ab bc ca
Q
a b b c c a
 

  
Đặt 
, , 0
3 4 5
, , 3 4 5
6
x y z
x y z
a b c
x y z


    
  

   
9 8 5
3 2
3 4 4 5 5 3
x y za b cQ
x y y z z x
a b b c c a
 
 
 
     
     
   
  
   
  
3 3 2
3. .
21 3
3.
2
1 1 3 2
2
x y z
Q
y z x y x z
x y x z
Q
y z x y x z
x y y z z x
 
 
  
   
   
   
 
   
   
1.0 
A
B
D C
P
E
F
1 1 1 3 3 2 2
8
1 3 4 5 1 3 3
.6
8 8 4 16
x y y z z x
Q
x y z
 
      
 
 
       
 
 Dấu = xảy ra khi      
3 5
; ; 2;2;2 ; ; ;2;
2 2
x y z a b c
 
    
 
Vậy 
3
16
maxQ  đạt được khi    ; ; 2;2;2a b c 