Chuyên đề : Phương pháp về các tọa độ trong mặt phẳng

Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng 
GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 1
y 
u


u


1M 
M2 
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
A. LÝ THUYẾT 
1. Tọa độ 
1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị ,i j

 

( )1i j= =
 
 . 
2. ( ); u xu x y i y j=⇔ +
 
 
 
 ; M(x;y)⇔ 1 2OM OMOM xi y j+ == +

 
 

 

3. Tọa độ của vectơ: cho ( ; ), ( '; ')u x y v x y
 
 
a. '; 'u v x x y y= ⇔ = =

 

 b. ( )'; 'u v x x y y± = ± ±
 
 
c. ( ; )ku kx ky=
 d. . ' 'u v xx yy= +
 
 
e. ' ' 0u v xx yy⊥ ⇔ + =

 

 f. 2 2u x y= +


,
2 2v x y′ ′= +


g. ( )cos , .
.
u v
u v
u v
=

 


 


 
 . 
4. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB) 
a. ( );B A B AAB x x y y= − −


 b. ( ) ( )2 2B A B AAB x x y y= − + − 
c. G là trọng tâm tam giác ABC ta có: 
GA GB GC O+ + =

 
 
 

, 
3
OA OB OCOG + += ⇒

 
 



 xG= 3
A B Cx x x+ + ; yG= 3
A B Cy y y+ +
d. M chia AB theo tỉ số k: MA k MB= ⇒

 

 ;
1 1
A B A B
M M
x kx y ky
x y
k k
− −
= =
− −
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; .
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y+ += = 
 e) Tứ giác ABCD là hình bình hành 
 AB DC=
 
 
 h) Tính chất đường phân giác : 
Gọi AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và ngoài của góc A (D∈ BC; E∈ BC), ta có: 
ABDB DC
AC
= −

 

 ; ABEB EC
AC
=

 

k) Diện tích ∆ : 
 * vôùi : AB


 = (x1;y1), AC


 = ( x2;y2) thì S = 
1
2
 | x1y2 – x2y1| 
* Công thức khác: 1 1 sin ( )( )( )
2 2 4a
abcS ah ab C pr p p a p b p c
R
= = = = = − − − 
 (Với a, b, c là ba cạnh, ah là đường cao thuộc cạnh a, 1 ( )2p a b c= + + , R và r lần lượt là bán 
kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ∆ ABC) 
 g/ u
→
 cuøng phöông vôùi 'u
→
 ⇔ 
'
'
x x
y y
 = xy’ – x’y = 0 
- A,B,C phân biệt thẳng hàng khi 1 1
2 2
x yAB k AC
x y
= ⇒ =

 

, với AB


 = (x1;y1), AC


 = ( x2;y2), k 0≠ 
x o i


j


M 
Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng 
GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 2
II. Phương trình đường thẳng 
1. Một đường thẳng ∆ được xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp tuyến 
( );n A B=
 hoặc một vectơ chỉ phương ( );u a b=
 ta có thể chọn ( );u a B b A= = = −
 
* Phương trình tổng quát ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y Ax By C− + − = ⇒ + + = . 
* Phương trình tham số: 0
0
x x at
y y bt
= +

= +
 , ( )t R∈ . ( )0 0( ) ;M M x at y bt∈ ∆ ⇔ + + 
* Phương trình chính tắc : 0 0 ( . 0)x x y y a b
a b
− −
= ≠ 
* Phương trình đường thẳng qua M(x0;y0) có hệ số góc k : ( )0 0y k x x y= − + . 
* Đường thẳng d // d’ : ax + by + c = 0 thì PT d có dạng : ax + by + m = 0(m khác c) 
* Đường thẳng d ⊥ d’ : ax + by + c = 0 thì PT d có dạng : - bx + ay + m = 0 
* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ), B(x B ;y B ): A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
* Cho đường thẳng d : ax + by + c = 0 và 2 điểm A(x A ;y A ), B(x B ;y B ). 
+) Nếu (a.xA + b.yA + c). (a.xB + b.yB + c) > 0 thì A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d 
+) Nếu (a.xA + b.yA + c). (a.xB + b.yB + c) < 0 thì A và B nằm khác phía so với đường thẳng d 
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. 
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 1 1 1 2 2 2 2: 0 ; : 0a x b y c a x b y c∆ + + = ∆ + + = ; 
ta xét số nghiệm của hệ phương trình : 1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
+ + =

+ + =
 (I) 
+) Hệ (I) có nghiệm duy nhất (x0;y0) thì 1 2∆ ∩ ∆ tại M(x0;y0) 
+) Hệ (I) vô nghiệm thì 1 2/ /∆ ∆ +) Hệ (I) vô số nghiệm thì 1 2∆ ≡ ∆ 
 Chú ý: Nếu a2b2c2 0≠ thì : 
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
) ; ) / / ; )a b a b c a b c
a b a b c a b c
+ ∆ ∩ ∆ ⇔ ≠ + ∆ ∆ ⇔ = ≠ + ∆ ≡ ∆ ⇔ = = 
3. Khoảng cách từ một điểm M(xM;yM) đến một đường thẳng ∆: 0Ax By C+ + = là: 
( )
2 2
,
M MAx By Cd M
A B
+ +
∆ =
+
. 
Hoặc dựng đường thẳng qua M vuông góc cắt ∆ tại H thì ( ),d M MH∆ = 
 Chú ý : +) Nếu d trùng d’ thì d(d;d’) = 0 +) Nếu d // d’ thì d(d;d’) = d(M;d’) với M thuộc d 
4. Góc trong mặt phẳng. 
* Góc A trong tam giác ABC : cosA .cos( ; )
.
AB ACAB AC
AB AC
= =

 


 

*Góc giữa hai đường thẳng 1 2và∆ ∆ của (I) có VTPT 1 2n và n
→ →
được tính theo công thức: 
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 2 2 2
1 2 1 21 2
| . | | |
cos( , ) cos( , )
.| || |
n n a a b b
n n
a a b bn n
→ →
→ →
→ →
+∆ ∆ = = =
+ +
 hoặc tính theo VTCP thay n


 bằng u


* Góc giữa 2 đường ( ∆ ): y = k 1 x + b và ( ∆ ’) : y = k 2 x + b’ là: tan 2 1
1 2
( ; ')
1 .
k k
k k
−∆ ∆ =
+
*) PT hai đường phân giác của các góc tạo bởi : 1 1 1 1: 0d A x B y C+ + = ; 2 2 2 2: 0d A x B y C+ + = là: 
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
= ±
+ +
a 
n 
∆ 
Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng 
GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 3
III. Phương trình đường tròn 
Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r. 
Phương trình: 
Dạng 1: ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = . 
Dạng 2: 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = , điều kiện 2 2 0a b c+ − > và 2 2r a b c= + − .Tâm I(a;b) 
* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 
* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M . 
Tiếp tuyến tại điểm M(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có VTPT IM


 . Từ đó viết được PTTT. 
3. Điều kiện để đường thẳng ∆: 0Ax By C+ + = (1) tiếp xúc với đường tròn (C) là: 
( )
2 2
,
Aa Bb C
d I r r
A B
+ +
∆ = =
+
 Chú ý : 
+) Đường thẳng ∆ không cắt đường tròn (C) 
 ( )
2 2
,
Aa Bb C
d I r r
A B
+ +
∆ > >
+
+) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt 
 ( )
2 2
,
Aa Bb C
d I r r
A B
+ +
∆ <
+
IV. Elip 
1. Phương trình chính tắc: 
2 2
2 2 1
x y
a b
+ = , (a>b>0). 
2. Các yếu tố: 2 2 2c a b= − , a> c>0.,a>b>0 
+) Tiêu cự: F1F2=2c 
+) Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b. 
+) Hai tiêu điểm ( ) ( )1 2;0 , ;0F c F c− . 
+) Bốn đỉnh: 2 đỉnh trên trục lớn ( ) ( )1 2;0 , ;0A a A a− , 2 đỉnh trên trục bé ( ) ( )1 20; , 0;B b B b− . 
+) Tâm sai: 1ce
a
= < . 
+) Bán kính qua tiêu điểm: M( 0 0;x y )thuộc (E) thì 1 1 0
2 2 0
MF r a ex
MF r a ex
= = +

= = −
3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A2a2+B2b2=C2. hoặc dùng điều kiện 
nghiệm kép của ph trình hoành độ hoặc tung độ giao điểm. 
x 
y 
F 2 F 1 
B 2 
B 1 
A 2 A 1 
O 
M 
(C) 
r 
∆ 
I 
M 
Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng 
GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 4
I 
B. BÀI TẬP CƠ BẢN về ĐƯỜNG THẲNG 
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC∆ có A(-6; - 3); B(-4;3); C(9;2). 
a) Viết pt các cạnh của ABC∆ . ĐS : AB: 3x – y + 15 = 0. BC : x + 13y – 35 = 0. AC : x – 3y – 3= 0 
b) Viết phương trình đường cao BH, đường trung tuyến CM của tam giác ABC. 
c) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC của tam giác ABC. 
d) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. Đs : x – y + 3 = 0 
Bài 2. Lập PT các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh AB, BC, CA lần lượt là : 
M(2;1); N(5;3); P(3;4). 
Bài 3. (CĐSP Hà Nội 05) Cho ∆ ABC có A(1;2), đường trung tuyến BM : 2x + y + 1 =0, đường 
phân giác trong CD : x + y – 1 =0. Hãy Viết PT cạnh BC. ĐS : BC : 4x + 3y + 4 =0 
Bài 4. (CĐ Bến Tre 05) Viết PT các cạnh của ∆ ABC biết A(4;-1), PT một đường cao, một đường 
trung tuyến vẽ từ cùng 1 đỉnh lần lượt là (d1) : 2x – 3y + 12 = 0, (d2) : 2x + 3y = 0. 
ĐS : 3x + 7y – 5 =0, 3x + 2y – 10 =0, 9x + 11y + 5 = 0 
Bài 5. (CĐSP Vĩnh Long 05) Cho ∆ ABC biết A(1;3) và 2 đường trung tuyến xuất phát từ B và C 
lần lượt có PT x – 2y + 1 = 0 và y – 1 =0. Lập PT các cạnh của ∆ ABC. 
ĐS : BC : x – 4y – 1 =0, AB : x – y + 2 =0, AC : x – 2y – 7 =0 
Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 đi qua điểm A(4;1). 
a) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A và vuông góc d. 
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d. c) Tìm điểm đối xứng với A qua d. 
Bài 6’. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1∆ : x + 2y – 6 = 0 và 2∆ : x – 3y + 9 = 0. 
a) Tính góc tạo bởi 1∆ và 2∆ . b) Tính khoảng cách từ M(5;3) đến 1∆ và 2∆ . 
c) Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi 1∆ và 2∆ . 
Bài 7. Cho 2 điểm A(-2;0) , B(1;1) và đường thẳng d : x + 3y – 3 = 0 
a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và tạo với d một góc 450 
b) Viết phương trình đường thẳng d1 qua A và cách B một khoảng bằng 2 2 
c) Viết phương trình đường thẳng d2 qua M(4;-3) và cách đều 2 điểm A, B 
Bài 8. Cho ∆ ABC có A(3;0) và PT 2 đường cao BB’ : 2x + 2y – 9 = 0, CC’: 3x – 12y – 1=0. Viết 
PT các cạnh của ∆ ABC. Đs : AC : x – y – 3 = 0. AB : 4x + y – 12 = 0. BC : 4x + 5y – 20 = 0. 
Bài 9. Cho hình thoi ABCD có đỉnh A(0;1), BD : x + 2y – 7 = 0, AB : x + 3y – 3 = 0. Viết PT các 
cạnh và đường chéo còn lại của hình thoi ABCD. 
Đs : AC : 2x – y + 1 = 0, CD : x + 3y – 17 =0, BC : 9x + 13y – 83 = 0, AD : 9x + 13y – 13 = 0 
Bài 10. (KD-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của 
cạnh AB . Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là : 7x – 2y – 3 =0 
và 6x – y – 4 =0 . Viết phương trình đường thẳng AC. Đs : 3x – 4y + 5 = 0 
Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao : 1 0CH x y− + = , phân 
giác trong : 2 5 0BN x y+ + = .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC 
Hướng dẫn: +) ( 4;3)AB BN B∩ = − +) Lấy A’ đối xứng A qua BN thì 'A BC∈ . '( 3; 4)A⇒ − − 
+) BC: 7 25 0x y+ + = => 13 9( ; )
4 4
C − − +)Suy ra: 1 1 450 45( ; ). .3 2. .
2 2 4 4ABC
S d A BC BC= = = 
Bài 12. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 
1 : 3 0d x y− − = và 2 : 6 0d x y+ − = . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm 
toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Đs : (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) 
Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm (1 / 2;0)I . Đường thẳng AB : x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD 
và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó. 
Đs : ( 2;0), (2;2)A B− , (3;0), ( 1; 2)C D − − 
Bài 14. ĐH KA 2009 (chuẩn) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có 
điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và 
trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : 5 0.x y∆ + − = Viết phương trình đường thẳng AB. 
 ĐS: AB: y−5=0; x−4y+19=0 
Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng 
GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 5
C. BÀI TẬP CƠ BẢN về TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM 
Phương pháp giải ; (theo tác giả Nguyễn Tất Thu – Sách chuyên đề HH 10) 
+) Về phương diện hình học : Để xác định tọa độ 1 điểm, ta chứng minh điểm đó thuộc 2 hình 
(H) : f(x;y) = 0 và (H’) : g(x;y) = 0. Khi đó tọa độ điểm cần tìm là nghiệm của hệ ( ; ) 0( ; ) 0
f x y
g x y
=

=
+) Về phương diện đại số : Để xác định tọa độ 1 điểm là bài toán đi tìm 2 ẩn. Do đó, ta cần xác 
định được 2 phương trình chứa 2 ẩn và giải hệ này ta tìm được tọa độ điểm cần tìm. Khi thiết lập 
phương trình, ta cần lưu ý : tích vô hương cho ta 1 PT, 2 đoạn thẳng bằng nhau cho ta 1 PT, 2 
vectơ bằng nhau cho ta 2 PT và nếu điểm M thuộc d : ax + by + c = 0( 0a ≠ ) thì M( ;bm c m
a
− − ), 
lúc này tọa độ M chỉ còn 1 ẩn và ta chỉ cần tìm 1 PT (pp tham số hóa) 
Bài 1. Tìm A thuộc Ox cách B(2;-3) một khoảng bằng 5 ĐS : A(-2;0), A(6;0) 
Bài 2. Tìm C thuộc Oy cách D(-8;13) một khoảng bằng 17 ĐS : C(0;-2), C(0;28) 
Bài 3. Tìm M thuộc Oy cách đều 2 điểm A(-1;3) và B(1;4) ĐS : M(0;7/2) 
Bài 4. Cho A(2;1), B(3;-1), C(-2;3). Tìm E∈Oy để ABEC là hình thang có 2 đáy AB và CE. Tìm 
K= AC BE∩ ĐS : E(0;-7), K(6;5) 
Bài 4’. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC∆ có A(2;3); B(-2;2); C(1;-1). 
a) Chứng minh ABC∆ cân tại A. b) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 
c) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông tại A. 
Bài 4’’. Cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2). C/M ∆ ABC vuông cân tại B. Tính diện tích tam giác ABC. 
Bµi 5. Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng 3/2 vµ 
träng t©m thuéc ®−êng th¼ng ∆ : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C. §s: C(-2; 10) hoÆc C(1;-4) 
Bài 6.Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng :3 4 4 0x y∆ − + = . 
 Tìm trên ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC 
 bằng15. Đs : A(0;1) và B(4;4). 
Bài 7. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi (1;1) , ( 2;5)A B − , ®Ønh C n»m trªn ®−êng 
th¼ng 4 0x − = , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng 2 3 6 0x y− + = . TÝnh diÖn tÝch 
tam gi¸c ABC. §s : (4; 2)C = . S = 15/2 
Bµi 8. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi (2; 1) , (1; 2)A B− − , träng t©m G cña tam 
gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng 2 0x y+ − = . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC =13,5 . 
§s : Víi 1(6; 4)G − ta cã 1(15; 9)C − , víi 2( 3; 1)G − − ta cã 2 ( 12;18)C − 
Bài 9. Cho đường thẳng (∆) có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2); B (3;4). 
Tìm điểm M∈(∆) sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất. Đs : M ( )26 /15; 2 /15− 
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng : d1: x+y +3=0, d2: x−y −4=0, 
d3: x−2y =0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường 
thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. ĐS: M(−22;−11), (2;1). 
Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC 
biết trực tâm (1;0)H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2)K , trung điểm cạnh AB là (3;1)M . 
Đs : ( ) : 2 4 0,AC x y− + = ( ) :3 8 0AB x y− − = , ( ) : 3 4 2 0.BC x y+ + = 
Bài 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, 
đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của 
hình chữ nhật. Đs : A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 
Bài 13. Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh 
AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường 
cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. Đs : ( ) ( )0; 4 ; 4;0B C− − hoặc ( ) ( )6;2 ; 2; 6B C− − . 
Bài 14. ĐH KA 2004 : Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0 ; 2), B( )1;3 −− . Tìm tọa độ trực 
tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. ĐS: ( ) ( )1;3,1;3 −− IH 
Bài 15. ĐH KB 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc d : 
x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6. ĐS: ( )7;3 ,( 43 /11; 27 /11)− − 
Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng 
GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 6
Bài 16. ĐH KD 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC∆ có các đỉnh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) với 
0≠m . Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC∆ theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. 
Bài 17. ĐH KA 2005:Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x – y = 0 , d2: 2x + y – 1 = 0. 
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết 21; dCdA ∈∈ và B, D thuộc trục hoành. 
ĐS: A(1;1), B(0;0), C(1;−1), D(2;0) hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;−1), D(0;0) 
Bài 18. Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường 
thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x−y+2=0 và đường 
cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y−1=0. ĐS: C(-10/3;3/4) 
Bài 19. Cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x+y−2=0, d2: x+y−8=0. Tìm tọa độ các điểm B và 
C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho ∆ ABC vuông cân tại A. ĐS: B(−1;3), C(3;5) OR B(3;−1), C(5;3) 
Bài 20. Cho tam giác ABC có AB=AC,  090BAC = . Biết M(1;−1) là trung điểm cạnh BC và 
( )2 / 3;0G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A(0;2), B(4;0), C(−2;−2) 
Bài 21.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm ( )1/ 2;0I , phương 
trình đường thẳng AB là x−2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có 
hoành độ âm. ĐS: A(−2;0), B(2;2), C(3;0), D(−1;−2) 
Bài 22. Cho đường thẳng d : x – 2y + 2 = 0 và 2 điểm A(0;6), B(2;5). Tìm M trên d sao cho MA + 
MB nhỏ nhất . Đs : M(11/4; 19/8) 
Bài 23. Cho 4 điểm A(1;0), B(-2;4), C(-1;4) , D(3;5) và đường thẳng d : 3x – y – 5 = 0. Tìm M 
thuộc d sao cho 2 tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau. Đs : (7/3;2), (-9;-32) 
Bài 24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục 
tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x −2y+3=0. ĐS:A(2;0), B(0;4). 
Bài 25. Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3 3 0x y− − = , các đỉnh 
A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam 
giác ABC. ĐS: 7 4 3 6 2 3;
3 3
G
 + +
  
 
 hoặc 4 3 1 6 2 3;
3 3
G
 
− − − −
  
 
D. BÀI TẬP CƠ BẢN về ĐƯỜNG TRÒN 
Bài 1.Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình sau : 
a) ( ) ( ) 412 22 =++− yx b) ( ) ( ) 313 22 =−++ yx 
c) 036422 =−−−+ yxyx d) 026422 =+−++ yxyx 
e) 014522 22 =++−+ yxyx f) 016477 22 =−+−+ yxyx 
g) 01222 =−−+ xyx h) 122 =+ yx 
Bài 2. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau : 
a) (C) có tâm I(1 ;-3) và bán kính R=7. b) (C) có tâm I(1;3) đi qua điểm A(3;1). 
c) (C) có đường kính AB với A(1;1) , B(7;5) d) (C) có tâm I(-2;0) và tx với d: 2x + y – 1=0. 
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường tròn (C): (x−1)2+(y−2)2=4 
và đường thẳng d: x−y−1=0. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua 
đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’). ĐS: A(1;0), B(3;2) 
LOẠI 1 : Đường tròn đi qua 3 điểm hoặc đường tròn đi qua 2 điểm và thỏa đk khác  
Bài 1. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm M(1;-2), N(1 ;2), P(5 ;2). 
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(−2;−2) và C(4;−2). Gọi 
H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương 
trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. ĐS: x2+y2−x+y−2=0 
Bài 3. a. Cho ABC∆ có AB : x + y – 2 = 0, AC : 2x + 6y – 3 =0, M(-1;1) là trung điểm BC. Viết 
PT đường tròn ngoại tiếp ABC∆ Đs : x2 + y2 – x + 3y- 65/8 =0 
b. Lập PT đường tròn qua A(1 ;-2) và các giao điểm của d : x – 7y + 10 = 0 với (C) : x2 + y2 – 
2x+4y–20= 0. 
Bài 4. Viết PT đường tròn (T) đi qua 2 điểm A(-1 ;2) ; B(-2 ;3) và có tâm ở trên d : 3x – y + 10 = 0. 
Bài 5: Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường tròn 
đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d). Đs : x2 + (y - 1)2 = 2 
Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng 
GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 7
LOẠI 2 : Đường tròn tiếp xúc đường thẳng hoặc đường tròn khác 
Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc 
với hai đường thẳng d1 : x + y + 4 = 0, d2 : 7x – y + 4 = 0. 
Bài 2.Viết PT đ/tròn có tâm là g/điểm của d1 : x – 3y + 1 = 0 và d2: x + 4= 0 đồng thời t/xúc với d : 
x + y–1=0. 
Bài 3. a. Viết phương trình đường tròn đi qua M(2 ;1) đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ. 
b. Viết PT đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) : x2 + y2 – 
12x – 4y + 36 = 0. Đs : (x – 2)2 + (y – 2)2 =4 ; (x – 18)2 + (y – 18)2 = 24 ; (x – 6)2 +(y +6)2 = 36 
Bài 4. Cho A(-1 ;1) và đ/thẳng d : x – y + 1 - 2 = 0. Viết PT đường tròn qua A, qua gốc O và tiếp 
xúc với d. Đs : x2 + (y – 1)2 = 1 ; (x+1)2 + y2 = 1 
Bài 5. Cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại 
điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5. 
ĐS: (C1): (x−2)2+(y−1)2=1 hoặc (x−2)2+(y−7)2=49 
Bài 6. Viết phương trình đường tròn đi qua A(4 ;2) và tiếp xúc với 2 đường thẳng d1 ; x – 3y – 2 =0 
và d2 : x – 3y + 8 = 0 . Đs : (x -1)2 + (y – 3)2 = 10 ; (x – 29/5)2 + (y – 23/5)2 = 10 
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2−2x−2y+1=0 và đường thẳng 
d: x−y+3=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán 
kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). ĐS: M1(1;4), M2(−2;1) 
Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 
12 = 0. Tìm toạ độ tâm và bk đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy. 
Hướng dẫn: Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0) 
Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) . Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) 
Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3 
Bài 9. Cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 4 3 4 0x y x+ + − = . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập 
phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. 
Hướng dẫn: A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ , 'I IA∈ => I’( 2 3 ;2 2t t + ), 
2 ' 1 / 2 '( 3;3)AI I A t I= ⇔ = =>

 

 . (C’): ( ) ( )2 23 3 4x y− + − = 
LOẠI 3 : Viết PT tiếp tuyến – Cát tuyến với đường tròn 
Bài 1. Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến với (T) biết : 
a) tiếp điểm A(-1 ;0). b) tiếp tuyến đó // d : 2x–y=0. 
c) tiếp tuyến đó ⊥ d’ : 4x – 3y + 1 = 0. d) tiếp tuyến đi qua B(3 ;-11). 
e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (T). 
Bài 2. Viết PT tiếp tuyến chung của 2 đ/tròn: (T1) : x2 + y2 –10x = 0,(T2) : ( ) ( )2 22 1 25x y+ + − = . 
Đs : x + 7y – 5 25 2± = 0 
Bài 2’.Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( ) 2 21 : 4 5 0C x y y+ − − = và 
( ) 2 22 : 6 8 16 0.C x y x y+ − + + = Lập phương trình tiếp tuyến chung của ( )1C và ( )2 .C 
Hướng dẫn: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2: 0;2 , 3; : 3; 4 , 3.C I R C I R= − = 
Gọi tiếp tuyến chung của ( ) ( )1 2,C C là 2 2: 0( 0)Ax By C A B∆ + + = + ≠ 
∆ là tiếp tuyến chung của ( ) ( )1 2,C C ( )( )
( )
( )
2 2
1 1
2 22 2
2 3 1;
; 3 4 3 2
B C A Bd I R
d I R A B C A B
  + = +∆ = 
⇔ ⇔ ∆ =
− + = + 
Từ (1) và (2) suy ra 2A B= hoặc 3 2
2
A BC − += 
Trường hợp 1: 2A B= . Chọn 1 2 2 3 5 : 2 2 3 5 0B A C x y= ⇒ = ⇒ = − ± ⇒ ∆ + − ± = 
Trường hợp 2: 3 2
2
A BC − += . Thay vào (1) ta tính được A theo B rồi chọn như TH 1 
Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng 
GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 8
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) 2 2 4 4 6 0x y x y+ + + + = và đường 
thẳng : 2 3 0x my m∆ + − + = với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt 
I tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn I: (x−1)2+(y+2)2=9 và đường thẳng d: 
3x−4y+m=0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, 
PB tới I (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. ĐS: m=19, m=−41 
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đương tròn I: x2+y2−2x−6y+6=0 và điểm M(−3;1). 
Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến I. Viết phương trình đường thẳng T1T2. 
ĐS : T1T2 : 2x+y−3=0 
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn I: x2 + y2 – 2x – 2my + m2 – 24 = 0 có 
tâm I và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn I tại hai điểm 
phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12. 
Hướng dẫn : +) Đường tròn I có tâm I(1; m), bán kính R = 5. 
+) Gọi H là trung điểm của dây cung AB => IH là đường cao của ∆ IAB. 
+) IH = 
2
| 5 |( , )
16
md I
m
∆ =
+
, 
2 2
2
20
16
AH IA IH
m
= − =
+
+) 12IABS∆ = ⇔ 2IH. 12 25 | | 3( 16) 3; 16 / 3AH m m m m= ⇔ = + ⇔ = ± = ± 
Bµi 7. Cho ®−êng trßn I: x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 vµ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh x + y + m = 0. 
T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi 
®−êng trßn I (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. 
H−íng dÉn: (C) cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®−îc 2 tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn vµ 
AB AC⊥ => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 3 3 2IA⇒ =
51
3 2
72
mm
m
= −− 
⇔ = ⇔ 
=
Bµi 8. Cho hai đường tròn 2 2( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + = 2 2( ') : 4 – 5 0C x y x+ + = cùng đi qua 
M(1; 0). Viết PT đường thẳng qua M cắt 2 đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB. 
Hướng dẫn: + Gọi tâm và bán kính của I, (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và 1, ' 3R R= = , đường 
thẳng (d) qua M có phương trình 2 2( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b− + − = ⇔ + − = + ≠ . 
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM. 
2 2 2 22 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= ⇔ − = − ( ) ( )2 21 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d⇔ − = − , .IA IH> 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
94 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35a bd I d d I d
a b a b
⇔ − = ⇔ − =
+ +
2 2
2 2
36 35a b a b
a b
−
⇔ = ⇔ = ±
+
Chọn 1 6b a= ⇒ = ± . Kiểm tra đk IA IH> ,thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả. 
LOẠI 4 : Xác định điểm nhờ đường tròn 
Bài 1: (D – 2009) Cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1 có tâm I. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho 
 030IMO = với O là gốc tọa độ. Đs : (3/2; 3 /2) ; (3/2; - 3 /2) 
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): (x−2)2+y2=4/5 và hai đường thẳng 
∆1: x−y=0, ∆2: x−7y=0. Viết PT đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1, ∆2 và có tâm K 
thuộc đường tròn (C). ĐS: ( )8 / 5;4 / 5 , 2 2 / 5K R = 
Bài 3. (đề 2010) Cho 2 đường thẳng d1: 3 0x y+ = và d2: 3 0x y− = . Gọi (T) là đường tròn tiếp 
xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương 
trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 / 2 và điểm A có hoành độ dương. 
Hướng dẫn: +) C/m 1 2,d d tạo với Oy góc 030 . Từ đó :  0 060 ; 30AOB ACB= = 
+) 2 21 3 3 3 2 2 1. 1; . ; 1
2 2 2 2 3 3 3ABC
S AB BC AB AB AB OA AB A∆
 
= = ⇒ = ⇒ = = = ⇒ − 
 
+) 4 22 ; 2
3 3
OC OA C  = = ⇒ − − 
 
. Phương trình (T) đường kính AC : 
2 21 3 1
22 3
x y   + + + =  
  
I 
A B 
∆ 
H 
5