Toán 9 – Ôn tập học kỳ II

CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hệ phương trình: 
(D) cắt (D’) 	 Hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất.
(D) // (D’) 	 Hệ phương trình vơ nghiệm.
(D) (D’) 	 Hệ phương trình cĩ vơ số nghiệm. 
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 .
Xác định giá trị của m để:
x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1).
Hệ (1) vơ nghiệm.
Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
Tìm m để hệ (1) cĩ nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1.
HD: 1. Khi m = – 1, hệ (1) cĩ nghiệm x = 1; y = 2.
	2a) Hệ (1) cĩ nghiệm x = 1 và y = 1 khi m = 2.
	2b) Hệ (1) vơ nghiệm khi: .
	 m = – 2: Hệ (1) vơ nghiệm. 
Hệ (1) cĩ nghiệm: x = ; y = .
Hệ (1) cĩ nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1 + = 1
 m2 + m – 2 = 0 .
Vậy khi m = 1, hệ( 1 cĩ nghiệm (x,y) thỏa: x + y = 1.
Bài tập 2: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ (1) khi k = 1.
Tìm giá trị của k để hệ (1) cĩ nghiệm là x = – 8 và y = 7.
Tìm nghiệm của hệ (1) theo k.
HD: 1. Khi k = 1, hệ (1) cĩ nghiệm x = 2; y = 1.
Hệ (1) cĩ nghiệm x = –8 và y = 7 khi k = – 3 .
Hệ (1) cĩ nghiệm: x = ; y = .
Bài tập 3: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 .
Xác định giá trị của m để:
x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1).
Hệ (1) vơ nghiệm.
Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
HD: 1. Khi m = – 7, hệ (1) cĩ nghiệm x = 4; y = – 1.
	2a) Hệ (1) cĩ nghiệm x = –1 và y = 4 khi m = .
	2b) Hệ (1) vơ nghiệm khi: m = – 2. 
3. Hệ (1) cĩ nghiệm: x = ; y = .
Bài tập 4: Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 .
Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm x = và y = .
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
HD: 1. Khi m = 3, hệ (1) cĩ nghiệm x = ; y = .
	2a) Hệ (1) cĩ nghiệm x = và y = khi m = .
	2b) Hệ (1) vơ nghiệm khi: m = –2. 
Hệ (1) cĩ nghiệm: x = ; y = .
Bài tập 5 : Cho hệ phương trình (1)
Giải hệ phương trình (1) khi m = –1.
Tìm m để hệ (1) cĩ nghiệm (x; y) thỏa .
HD: 	1. Khi m = –1, hệ(1) cĩ nghiệm: x = 13 và y = – 9.
	2. Tìm:
Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 .
Theo đề bài: m < 8.
Bài tập 6: Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = – 1.
Với giá trị nào của m thì hệ pt cĩ nghiệm (x; y) thỏa .
HD: 	1. Khi m = – 1 , hệ pt cĩ nghiệm: x = 1 và y = – 4.
	2. Tìm:
Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = – 9 – 5m .
Theo đề bài: – 3 < m < – 1 .
Bài tập 7: Cho hệ phương trình : (1)
Giải hệ (1) khi m = 1.
Xác định giá trị của m để hệ (1):
Cĩ nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đĩ theo m.
Cĩ nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2.
HD:	1. Khi m = 1, hệ (1) cĩ nghiệm: x = – 2 ; y = 1.
	2a) Khi m 0, hệ (1) cĩ nghiệm: .
	2b) m = .
Bài tập 8 : Cho hệ phương trình : ( m là tham số) (I).
Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng.
Tính giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) cĩ nghiệm duy nhất và tính nghiệm duy nhất đĩ theo m. 
HD:	a) Khi m = – 2, hệ (I) cĩ nghiệm: x = ; y = .
	b) 
Hệ (I) cĩ nghiệm duy nhất khi m 4.
Khi đĩ hệ(I) cĩ nghiệm duy nhất: ;
CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM
CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a 0)
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Hàm số y = ax2(a0): 
Hàm số y = ax2(a0) cĩ những tính chất sau:
Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
Nếu a 0.
Đồ thị của hàm số y = ax2(a0):
Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hồnh. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a0):
Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
Dựa và bảng giá trị vẽ (P).
2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) và (D): y = ax + b:
Lập phương trình hoành đợ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm sớ bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Giải pt hoành đợ giao điểm:
+ Nếu > 0 pt có 2 nghiệm phân biệt (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu = 0 pt có nghiệm kép (D) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu < 0 pt vơ nghiệm (D) và (P) khơng giao nhau.
3. Xác định sớ giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) và (Dm) theo tham sớ m:
Lập phương trình hoành đợ giao điểm của (P) và (Dm): cho 2 vế phải của 2 hàm sớ bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Lập (hoặc) của pt hoành đợ giao điểm.
Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0 giải bất pt tìm m.
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt tìm m.
+ (Dm) và (P) khơng giao nhau khi < 0 giải bất pt tìm m.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho hai hàm sớ y = có đờ thị (P) và y = -x + m có đờ thị (Dm).
Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng mợt hệ trục tọa đợ vuơng góc Oxy. Xác định tọa đợ các giao điểm của chúng.
Xác định giá trị của m để:
(Dm) cắt (P) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1.
(Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
(Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. 
HD: 	1. Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) và (– 4 ; 8).
	2a). m = .
	2b) = 1 + 2m > 0 .
	2c) m = tọa độ tiếp điểm (-1 ; ).
Bài tập 2: Cho hai hàm sớ y = – 2x2 có đờ thị (P) và y = – 3x + m có đờ thị (Dm).
Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng mợt hệ trục tọa đợ vuơng góc Oxy. Xác định tọa đợ các giao điểm của chúng.
Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm cĩ hồnh độ bằng .
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
HD: 	1. Tọa độ giao điểm: ( ;) và (1 ; – 2).
	2a). m = – 2.
	2b) m < .
	2c) m = tọa độ tiếp điểm ().
Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 cĩ đồ thị (P).
Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuơng gĩc..
Gọi A() và B(2; 1).
Viết phương trình đường thẳng AB.
Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).
Tìm điểm trên (P) cĩ tổng hồnh độ và tung độ của nĩ bằng – 6.
HD:	2a). Đường thẳng AB cĩ phương trình y = = 3x – 5.
2b). Tọa độ giao điểm: (1;– 2) và (; ).
3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta cĩ: xM + yM = – 6.
	 Mặt khác: M(xM; yM) (P) yM = – 2 nên: xM + yM = – 6 xM + (– 2) = – 6
 – 2 + xM + 6 = 0 .
Vậy cĩ 2 điểm thỏa đề bài: M1(2; – 8 ) và M2().
Bài tập 4: Cho hàm sớ y = x2 có đờ thị (P) và y = – 2x + có đờ thị (D).
 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc.
 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hồnh độ và tung độ của điểm đĩ bằng – 4.
HD:	2. Tọa độ giao điểm: (; ) và (1 ; ).
	3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta cĩ: xM + yM = – 4.
	 Mặt khác: M(xM; yM) (P) yM = nên: xM + yM = – 4 xM +() = – 4
 + xM + 4 = 0 .
Vậy cĩ 2 điểm thỏa đề bài: M1() và M2(2; – 6).
Bài tập 5: Cho hàm sớ y = x2 có đờ thị (P) và y = x + có đờ thị (D).
 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc.
Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
 Gọi A là điểm (P) và B là điểm (D) sao cho . Xác định tọa độ của A và B.
HD: 	2. Tọa độ giao điểm: () và ( ).
	3. Đặt xA = xB = t.
A(xA; yA) (P) yA = = t2.
B(xB; yB) (D) yB = xB + = t + 
Theo đề bài: 11.t2 = 8.( t + ) .
Với t = 2 .
Với t = .
Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuơng gĩc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.
Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2.
Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.
Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
HD: 	1. Phương trình đường thẳng AB: y = x .
	2. Tọa độ giao điểm: (1; –2) và (; ).
Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuơng gĩc Oxy.
Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và cĩ hệ số gĩc k.
Viết phương trình đường thẳng (D).
Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hồnh độ của B là 1.
HD: 	2a). 
Phương trình đường thẳng (D) cĩ dạng tổng quát: y = ax + b.
(D) cĩ hệ số gĩc k (D): y = kx + b.
(D) đi qua A(–2; –1) –1 = k.( –2) + b b = 2k – 1.
Phương trình đường thẳng (D): y = kx + 2 k – 1.
2b) 
Điểm B(xB; yB) (P) B(1; – 2).
(D) đi qua B(1; –2) nên: –2 = k.1 +2k – 1 k = .
Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 cĩ đồ thị (P) và y = x + 2 cĩ đồ thị (D).
Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
Gọi A là điểm thuộc (D) cĩ hồnh độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) cĩ hồnh độ bằng – 2. Xác định tọa độ của A, B.
Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.
HD:	1. Tọa độ giao điểm: (2; 4) và (–1; 1).
	2. Tọa độ của A(5; 7) và B(– 2 ; 4)
	3. 
I(xI, yI) Oy I(0: yI).
IA + IB nhỏ nhất khi ba điểm I, A, B thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng AB: y = x + .
I(xI, yI) đường thẳng AB nên: yI = .0 + = I(0; )
Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 cĩ đồ thị (P) và y = x – 2 cĩ đồ thị (D).
Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phương pháp đại số.
Gọi A là một điểm thuộc (D) cĩ tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) cĩ hồnh độ bằng – 1. Xác định tọa độ của A và B.
Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hồnh sao cho MA + MB nhỏ nhất.
HD:	a) Tọa độ giao điểm: (2; – 4) và (–1; 1).
	b) Tọa độ của A(3; 1) và B(– 1 ; – 1).
	c) 
yA = 1 > 0, yB = – 1 < 0 A, B nằm khác phía đối với trục Ox do đĩ MA + MB nhỏ nhất khi M, A, B thẳng hàng M là giao điểm của AB với truc Ox.
Đường thẳng AB cĩ dạng: y = ax + b. Đường thẳng AB đi qua hai điểm A, B 
 Đường thẳng AB: y = x – .
Tọa độ M là nghiệm của hệ pt: .
Vậy: M(1; 0).
Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2.
Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc Oxy. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (D), xác định tọa độ của A, B.
Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).
CMR: Tam giác AOB là tam giác vuơng.
HD:	1. Tọa độ giao điểm: (1; 1)và (– 2; 4).
	2. Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên trục Ox, ta cĩ:
OHA vuơng tại H SOHA = OH.OA = .1. 1 = (cm2).
OKB vuơng tại K SOKB = OK.KB = .2. 4 = 4 (cm2).
Gọi I là giao điểm của (D) với trục Ox yI = 0 xI = 2 I(2; 0).
IKB vuơng tại K SIKB = BK.KI = .4. 4 = 8 (cm2).
SOAB = SIKB – (SOHA + SOKB ) = 8 – ( + 4) = 3,5 (cm2).
3. 
Phương trình đường thẳng OA: y = a’x (D’).
(D’) đi qua A(1; 1) a = 1 (D’): y = x.
(D) cĩ a = – 1 và (D’) cĩ a’ = 1 a. a’ = – 1 (D) (D’)
 OA AB OAB vuơng tại A.
--------------------------------------------------------------------------------------------
CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a0) (1)
	a) Nhẩm nghiệm:
a + b +c = 0 pt (1) cĩ 2 nghiệm:.
a – b +c = 0 pt (1) cĩ 2 nghiệm:.
b) Giải với : 
Nếu b = 2b’ b’ == (b’)2 – ac.
Nếu > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: ; 
Nếu = 0 phương trình cĩ nghiệm kép: .
Nếu < 0 phương trình vơ nghiệm.
c) Giải với :
	Tính : = b2 – 4ac.
Nếu > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: ; 
Nếu = 0 phương trình cĩ nghiệm kép: .
Nếu < 0 phương trình vơ nghiệm.
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:
	a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) thì ta cĩ:.
	b) Định lý đảo: Nếu 
 u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P 0).
* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:
Tổng bình phương các nghiệm: = S2 – 2P.
Tổng nghịch đảo các nghiệm: .
Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: .
Bình phương của hiệu các nghiệm: = S2 – 4P.
Tổng lập phương các nghiệm: = S3 – 3PS
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) .	b).	c) 	 d) 
	Giải:
	Phương trình cĩ = 1 > 0 pt cĩ 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): .
	a) = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74.
	b) = .
	c) = 122 – 4.35 = 4.
d) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468.
3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc vào tham số).
* Phương pháp giải: 
Tìm điều kiện để phương trình đã cho cĩ nghiệm (; hoặc a.c < 0).
Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình .
Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P Đĩ là hệ thức độc lập với tham số.
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số). 
CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m.
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm khơng phụ thuộc vào m.
Giải:
Phương trình (1) cĩ = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + 9 = (2m – 3)2 0, m.
Vậy phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): 
 2S + 4P = -1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm.
4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nĩ:
* Phương pháp giải: 
Nếu 2 số u và v c ĩ: u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (*).
Giải pt (*):
+ Nếu > 0 (hoặc > 0) pt (*) cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Vậy hoặc .
+ Nếu = 0 (hoặc = 0) pt (*) cĩ nghiệm kép x1 = x2 = . Vậy u = v =.
+ Nếu < 0 (hoặc < 0) pt (*) vơ nghiệm. Vậy khơng cĩ 2 số u, v thỏa đề bài.
Ví dụ 1: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28
Giải:
 	Theo đề bài u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 x2 – 11x + 28 = 0(*)
	Phương trình (*) cĩ = 9 > 0 .
	Vậy: hay 
Ví dụ 2: Cho hai số a = +1 và b = 3 – . Viết phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm là a và b.
	Giải:
a + b = (+1) + (3 – ) = 4.
a.b = (+1). (3 – ) = 2.
Suy ra: a, b là 2 nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 x2 – 4x + 2 = 0: Đây là pt cần tìm.
5. Chứng minh phương trình bậc hai luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biến đổi đưa về dạng : = (A B)2 + c > 0, m (với c là một số dương) 
Kết luận: Vậy phương trình đã cho luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m.
6. Chứng minh phương trình bậc hai luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biến đổi đưa về dạng : = (A B)2 0, m.
Kết luận: Vậy phương trình đã cho luơn nghiệm với mọi tham số m.
7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biện luận:
+ Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt khi: > 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình cĩ nghiệm kép khi = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình vơ nghiệm khi < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình cĩ nghiệm khi 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
	* Phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	* Phương pháp giải:
Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c.
Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức:
	* Phương pháp giải:
Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c
Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = – 2.
CMR: Phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m.
HD:	1. Khi m = –2, ta cĩ phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt cĩ a – b + c = 1 –5 + 4 = 0 
	Vậy khi m = – 2, phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4.
	2. = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0, .
	3. Hệ thức: 2S + P = – 6 2(x1 + x2) + x1x2 = – 6.
Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = 3.
CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m.
HD:	1. Khi m = 3, ta cĩ phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt cĩ a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0 .
	Vậy khi m = 3, phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3.
	2. = (m – 1)2 0, .
	3.
ĐK để pt (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > 0 |m – 1| > 0 .
Hệ thức: S – P = 1 x1 + x2 – x1x2 = 1.
Bài tập 3 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
Giải phương trình (1) khi m = 2.
CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
HD: 	1. Khi m = 2, phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = .
	2. = (2m – 3)2 0, .
	3.
ĐK để pt (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: (2m – 3)2 > 0 |2m – 3| > 0 .
Hệ thức: 2S + 4P = 1 2( x1 + x2) + 4 x1x2 = 1.
Bài tập 4 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)
Giải phương trình (1) khi m = 5.
CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
Tìm m để phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu.
HD: 	1. Khi m = 5, phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 7.
	2. = (m – 2)2 0, .
	3. 
ĐK để pt (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: (m – 2)2 > 0 |m – 2| > 0 .
Hệ thức: S – P = 1 x1 + x2 – x1x2 = 1.
	4. Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(2m – 3) < 0 m < 
Bài tập 5 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = 0 (1).
Tìm m để:
Pt (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt.
Pt (1) cĩ một nghiệm là – 2.
Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0.
HD:	1a.
Phương trình (1) cĩ = 1 – 2m.
Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt khi > 0 1 – 2m > 0m < .
1b. Pt (1) cĩ một nghiệm là – 2 khi: (– 2)2 –2(m – 1)(–2) + m2 = 0 m2 + 4m = 0 .
Vậy khi m = 0 hoặc m = – 4 thì pt (1) cĩ một nghiệm là – 2.
2. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 
	Ta cĩ: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 + 4(x1 + x2) + 4 
	 = (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + 4
	 = 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 8m – 8 + 4 = 0 (đpcm).
Bài tập 6 :
	Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = –2.
CMR: , phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức:
A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) khơng phụ thuộc vào m.
HD: 	1. Khi m = –2 x1 = ; x2 =.
	2. = m2 + m + 5 = > 0, .
	3. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 
	Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2
	= (2m + 2) – 2(m – 4) = 10.
	Vậy A = 10 khơng phụ thuộc vào m.
Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). 
Giải phương trình (1) khi m = – 2.
CMR: Với mọi m, phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A = theo m.
Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). 
Giải phương trình (1) khi m = –1.
CMR: Với mọi m, phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu.
Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc và m.
Tìm m để = 10.
HD:	1. Khi m = –1 x1 = ; x2 = .
	2. = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + 4 > 0, .
	3. Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(2m – 7) < 0 m < .
	4. Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 2(x1 +x2) – x1x2 = 5.
	5. = 10 m2 – 6m + 5 = 0 m = 1 hoặc m = 5.
Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1). 
Giải phương trình (1) khi m = –1. 
Tìm m để:
Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) cĩ hai nghiệm trái dấu.
Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11.
HD:	1. Khi m = –1 x1 = 1 ; x2 = –3 .
	2a. Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt khi = –4m > 0 m < 0.
	2b. Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(4m + 1) < 0 m < .
	2c. Tổng các bình phương hai nghiệm của pt (1) bằng 11 = 11 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 11
2 – 8m = 11 m = .
Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1).
Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm kép và tính nghiệm kép đĩ.
Trong trường hợp phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà khơng phụ thuộc m.
HD: 	a)
Phương trình (1) cĩ nghiệm kép = 0 m2 – 9 = 0 .
Khi pt (1) cĩ nghiệm kép x1 = x2 = = m + 1.
Khi m = 3 x1 = x2 = 4.
Khi m = – 3 x1 = x2 = – 2 .
b)
Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi > 0 m2 – 9 > 0 .
Hệ thức: S – P = – 8 x1 + x2 – x1x1 = – 8 hay: x1x1 – (x1 + x2) = 8.
----------------------------------------------------------------------------------------
CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TỐN
 BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Các bước giải:
Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình):
Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn;
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ;
 Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập được.
Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu của bài.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập1: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên cĩ hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
HD: 	
Gọi x là chữ số hàng chục (x N, 0 < x 9).
Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y N, x 9)
Số cần tìm cĩ dạng = 10x + y
Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta cĩ pt: x – y = 2 	(1)
Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới: =100x +10y + x = 101x +10y
Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta cĩ phương trình:
 (101x + 10y) – (10x + y) = 682 91x + 9y = 682 (2).
Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: 
Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK) số cần tìm là 75.
Bài tập 2: Cĩ hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đĩ.
HD: 
Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y N)
Theo đề bài ta cĩ hệ pt: 
Giải hệ ta được: (thỏa ĐK) hai số cần tìm là 34 và 25.
Bài tập 3: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên cĩ hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nĩ bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
HD: 
Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x N, 0 < x 9)
Chữ số hàng đơn vị: 10 – x 
Số đã cho cĩ dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10
Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)
Theo đề bài ta cĩ phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 x2 – 2 = 0
Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)
Vậy số cần tìm là 28.
Bài tập 4: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật cĩ chu vi là 280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích của nĩ tăng thêm 144m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật.
HD: 
Nửa chu vi hình chữ nhật: = 140 (m).
Gọi x (m) là chiều dài của hình chữ nhật (0 < x < 140).
Chiều rộng của hình chữ nhật là 140 – x (m).
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x(140 – x) (m2).
Khi giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ nhật mới cĩ diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2)
 Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta cĩ phương trình:
(x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144 5x = 430 x = 86 (thỏa ĐK)
Vậy hình chữ nhật cĩ chiều dài 86m và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m).
Bài tập 5: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chu vi là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nĩ tăng thêm 50m2. Tính diện tích của khu vườn ban đầu.
HD: 
Chiều dài là 100m và chiều rộng là 60m.
Diện tích khu vườn: 6 000 m2.
Bài tập 6: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật cĩ chu vi 160cm và cĩ diện tích 1500m2. Tính các kich thước của nĩ.
HD: 
Nửa chu vi hình chữ nhật: = 80 (m).
Gọi x (m) là một kích thước của hình chữ nhật (0 < x < 80).
Kích thước cịn lại của hình chữ nhật là 80 – x (m).
Diện tích của hình chữ nhật là x(80 – x) (m2).
Vì diện tích hình chữ nhật là 1500m2 nên ta cĩ phương trình:
x(80 – x) = 1500 x2 – 80x + 1500 = 0 
Giải pt trên ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận).
Vậy hình chữ nhật cĩ các kích thước là 30m và 50m.
Bài tập 7: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật cĩ chu vi là 340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường.
HD: 
Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170)
Vì sân trường cĩ chu vi 340m nên ta cĩ phương trình: 2(x + y) = 340 x + y = 170 (1).
Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta cĩ pt: 3x – 4y = 20 (2).
Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: 
Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK).
Bài tập 8: Cho một tam giác vuơng. Nếu tăng các cạnh gĩc vuơng lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm2. Tình hai cạnh gĩc vuơng của tam giác.
HD:
Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh gĩc vuơng (x > 5, y > 5).
Theo đề bài ta cĩ hệ pt: 
 Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK).
Vậy độ dài hai cạnh gĩc vuơng là 20cm và 25cm.
Bài tập 9: Cho tam giác vuơng cĩ cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm2. Tìm độ dài các cạnh gĩc vuơng.
HD: 
Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh gĩc vuơng (0 < x, y < 5).
Vì tam giác cĩ cạnh huyền 5cm nên ta cĩ pt: x2 + y2 = 25 (1).
Vì tam giác cĩ diện tích 6cm2 nên ta cĩ pt: xy = 6 xy = 12 (2).
Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: 
 ( vì x, y > 0)
Giải hệ pt ta được hoặc (thỏa ĐK).
Vậy độ dài hai cạnh gĩc vuơng là 3cm và 4cm.
Bài tập 10: 	Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể khơng cĩ nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vịi thứ nhất trong 3 giờ và vịi thứ hai trong 4 giờ thì được bể nước. Hỏi mỗi vịi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể?
HD:
Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vịi 1, vịi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4).
Trong 1h, vịi 1 chảy được: (bể).
Trong 1h, vịi 2 chảy được: (bể).
Vì hai vịi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút = h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vịi cùng chảy được 
 bể, do đĩ ta cĩ pt: + = (1).
Vì vịi thứ nhất trong 3 giờ và vịi thứ hai trong 4 giờ thì được bể nước nên ta cĩ pt: + = (2).
Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: (I)
Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: (II).
Giải hệ (II), ta được: (thỏa ĐK).
Vậy: Vịi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vịi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.
Bài tập11: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể khơng cĩ nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vịi thứ nhất chảy một mình trong 10 phút và vịi thứ hai chảy một mình trong 12 phút thì chỉ được thể tích của bể nước. Hỏi mỗi vịi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?
HD: Vịi 1 chảy riêng đầy bể trong 120 phút = 2h, vịi 2 chảy riêng đầy bể trong 240 phút = 4h.
Bài tập 12: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể cạn (khơng cĩ nước) thì sau giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vịi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vịi thứ hai thì sau giờ nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vịi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
HD: 
Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vịi 1, vịi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > ).
Trong 1h, vịi 1 chảy được: (bể).
Trong 1h, vịi 2 chảy được: (bể).
Vì hai vịi nước cùng chảy trong giờ = h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vịi cùng chảy được bể, 
do đĩ ta cĩ pt: + = (1).
Vì lúc đầu chỉ mở vịi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vịi thứ hai thì sau giờ nữa mới bể nước nên ta cĩ pt: + = 1 (2).
Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: (I)
Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: (II).
Giải hệ (II), ta được: (thỏa ĐK).
Vậy: Vịi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.
Bài tập13: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa cĩ nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vịi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vịi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi mất bao lâu mới chảy đầy bể?
HD: 
Gọi x (h) là thời gian vịi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27).
Thời gian vịi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h).
Mỗi giờ vịi thứ nhất chảy được (bể).
Mỗi giờ vịi thứ hai chảy được (bể).
Vì hai vịi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vịi cùng chảy được bể, do đĩ nên ta cĩ pt:
 x2 – 63x + 486 = 0.
Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = 9 (loại).
Vậy: Vịi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vịi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h.
Bài tập 14: (HK II: 2008 – 2009 _ Sở GD&ĐT Bến Tre):
Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai mơ tơ khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
HD:
Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0).
Sau một giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB, do đĩ ta cĩ pt: x + y = 90 (1).
Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB: (h).
Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB: (h). 
Vì xe II tới A trước xe I tới B là 27 phút = h nên ta cĩ pt: – = (2)
Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: .
Giải pt (b)ta được: x1 = 40(nhận) ; x2 = 450 (loại).
Thế x = 40 vào (a) y = 50 (nhận).
Vậy:
Xe I cĩ vận tốc: 40 km/h.
Xe II cĩ vận tốc: 50 km/h.
Bài tập 15: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110 km. Hai mơ tơ khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
HD:
Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0).
Sau 2 giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB, do đĩ ta cĩ pt: 2x +2y =110 (1).
Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB: (h).
Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB: (h). 
Vì xe II tới A trước xe I tới B là 44 phút = h nên ta cĩ pt: – = (2)
Từ (1) và (2) ta cĩ hệ pt: .
Giải pt (b)ta được: x1 = 25(nhận) ; x2 = (loại).
Thế x = 25 vào (a) y = (nhận).
Vậy:
Xe I cĩ vận tốc: 40 km/h.
Xe II cĩ vận tốc: 50 km/h.
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa – Định lý 
 Hệ quả
Ký hiệu tốn học
Hình vẽ
1. Gĩc ở tâm: Trong một đường trịn, số đo của gĩc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
2. Gĩc n