Ôn tập môn Toán lớp 11 - Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản 
và một số phương trình lượng giác thường gặp
	Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa va thì cần điều kiện để và có nghĩa.
Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản .
Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại.
 1.1-Phương trình lượng giác cơ bản
 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác .
1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản.
a) Giải và biện luận phương trình (1)
Do nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau
	Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm
	Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt.
-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m= . Ta có: 
	Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm 
Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt.
Ví dụ 1: Giải phương trình
 	Giải:
Ta nhận thấy không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt =
Khi đó ta có: 
Vậy phương trình có 2 họ ngiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Do nên 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
b) Giải và biện luận phương trình lượng giác 
Ta cũng đi biện luận (b) theo m
	Bước 1: Nếu phương trình vô nghiệm .
	Bước 2: Nếu ta xét 2 khả năng: 
-Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua của góc đặc biệt, giả sử góc. Khi đó phương trình có dạng
-Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua của góc đặc biệt khi đó 
đặt = .Ta có: 
Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm 
Ví Dụ Minh Hoạ.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Giải:
Do nên 
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải:
Vì và không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc sao cho 
Ta có: 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
 c) Giải và biện luận phương trình lượng giác 
 Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:
	Bước 1: Đặt điều kiện 
	Bước 2: Xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng
-Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm 
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
Giải :
Do nên ta có: 
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải: 
Điều kiện: 
Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt .
Từ đó ta có 
	Vậy phương trình có một họ nghiệm.
d) Giải và biện luận phương trình lượng giác 
Ta cũng đi biện luận theo 
 	Bước1: Đặt điều kiện 
 	Bước 2: Xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng
-Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1:
Giải phương trình sau: (1)
Giải:
	Điều kiện (*)
Ta có:
(1) 
 Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)
 Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Ta nhận thấy nên ta có 
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức.
1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp.
1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng 1: (1)
Cách giải: Đặt , điều kiện 
Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo , giải tìm chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm 
Dạng 2: (2)
Cách giải: Đặt điều kiện ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo , giải tìm rồi tìm 
Dạng 3: (3)
Cách giải: Điều kiện 
Đặt ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo , chú ý khi tìm được nghiệm cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không
Dạng 4: (4)
Cách giải: Điều kiện 
Đặt . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
	Giải:
Phương trình (1)
	Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
	Giải:
	 Điều kiện 
Ta có:
Ta thấy không thoả mãn điều kiện. Do đó (*)
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình: 
Bài 2 Giải phương trình: 
Bài 3: Giải phương trình: 
Bài 4: Giải phương trình: 
Bài 5: Giải phương trình: 
 Bài 6: Giải phương trình: 
Bài 7: Giải phương trình: 
Bài 8: Giải phương trình 
Bài 9: Giải phương trình 
1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với 
a)Định nghĩa: Phương trình trong đó a, b, c và được gọi là phương trình bậc nhất đối với 
b) Cách giải. 
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước 
Bước 1:Kiểm tra 
	-Nếu < phương trình vô nghiệm 
	-Nếu khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2
Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho , ta được
Vì nên tồn tại góc sao cho 
Khi đó phương trình (1) có dạng
Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải 
Cách 2: Thực hiện theo các bước 
Bước 1: Với thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không?
Bước 2: Với 
Đặt suy ra 
Khi đó phương trình (1) có dạng 
Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.
* Dạng đặc biệt:
 . 
 . .
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
 từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng , và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác .
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1)
	Giải :
Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho ta được
Đặt . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng
Vậy phương trình có 2 nghiệm 
Cách 2:-Ta nhận thấy là nghiệm của phương trình 
-Với . Đặt ,lúc đó 
Phương trình (1) sẽ có dạng 
Hay 
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 2: Giải phương trình 
 	Giải: 
Ta biến đổi phương trình (2)
 Ta có: 
Suy ra <
	Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau
Ví Dụ 3: Giải phương trình 
	Giải :
Cách 1:Thực hiện phép biến đổi 
(3) 
Đặt 
Phương trình (3) sẽ được viết thành 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.
Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt và ta cũng thu được nghiệm chẵn 
*Chú ý: Đối với phương trình dạng trong đó a, b, c, d thoả mãn >0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng số . Bằng phép chia cho ta có (*) hoặc
(*) trong đó là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 4: Giải phương trình: 
	Giải: 
(4) 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài tập: Giải các phương trình sau :
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với và .
a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với , là phương trình.
 (1) trong đó a, b, c, d 
b) Cách giải :
	Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử hoặc . Chẳng hạn nếu chia cho ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra:
 xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không?
Bước 2: Với chia cả hai vế cho lúc đó phương trình (1) trở thành 
	Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 
đưa phương trình đã cho về phương trình 
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải 
*Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát
 trong đó 
Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :
Bước 1: Kiểm tra xem có phải là nghiệm của phương trình hay không?
Bước 2: Nếu .Chia cả hai vế của phương trình trên cho ta sẽ được phương trình bậc n theo . Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình : (1)
	Giải: 
Cách 1: Phương trình (1)
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Cách 2: +) Thử với vào phương trình (1) ta có vô lí.
 Vậy không là nghiệm của phươngtrình.
	 +)Với Chia cả hai vế của phương trình cho ta được 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
* Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện
một số phép biến đổi thích hợp
Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2)
	Giải :
Ta nhận thấy có thể biểu diễn được qua . Luỹ thừa bậc ba biểu thức 
 ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải 
Phương trình (2)
+) Xét với . Khi đó phương trình có dạng 
mâu thuẫn 
	Vậy phương trình không nhận làm nghiệm
+) Với . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho ta được :
 .
Đặt phương trình có được đưa về dạng:
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình .
	Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm
*Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất.
Ví Dụ 3: Giải phương trình: (3)
	Giải :
Điều kiện 
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng :
	Chia cả hai vế của phương trình (3) cho ta được :
(do vô nghiệm) nên:
Phương trình (*)
	Vậy phương trình có một họ nghiệm 
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng 
Đặt ta được : 
	Vậy phương trình có một họ nghiệm 
Bài tập : 
Giải các phương trình sau :
1)
2)
3)
4) 
5)
6) 
7) 
8) 
9) 
1.2.4-Phương trình đối xứng đối với và .
a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với và là phương trình dạng 
 trong đó (1)
b) Cách giải:
Cách 1: Do nên ta đặt 
. Điều kiện 
Suy ra và phương trình (1) được viết lại: 
Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải 
Cách 2: Đặt thì 
 nên phương trình (1) trở thành
. Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải 
*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình bằng cách đặt và lúc đó 
Ví Dụ Minh Hoạ :
Ví Dụ 1: Giải phương trình 
	Giải:
Cách 1: Đặt điều kiện . Lúc đó 
Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng 
 Với không thoả mãn điều kiện nên 
(*)
Cách 2: Đặt . Khi đó phương trình có dạng 
 (*’)
Ta thấy không thoả mãn
 Do đó (*’)
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm
*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên
Bài toán 1: Giải phương trình 
Cách giải: Phương trình (1) có thể viết 
*Quy ước: Khi có nhiều dấu trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới
Ví Dụ 2: Giải phương trình 
	Giải: 
Điều kiện: 
Ta có (2)
Ta có (3)
(4) 
 (6)
Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình 
Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm.
Bài toán 2: Giải phương trình:
 với (1)
Cách giải:
Ta có: 
Đến đây chúng ta đã biết cách giải 
Tương tự cho phương trình 
Ví Dụ 3: Giải phương trình 
 (3)
	Giải:
 Điều kiện 
(3)
Giải (4)
Giải (5): Đặt (*)
Suy ra .
Phương trình (5) trở thành 
Kết hợp với điều kiện (*) thì bị loại
Với ta có 
Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình 
	Vậy phương trình có ba họ nghiệm 
Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2.
Ví dụ 4: Giải phương trình: 
Giải :
Ta có: 
Phương trình (1) có dạng 
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Ví Dụ 5: Giải phương trình: (2)
	Giải: 
Điều kiện: 
Phương trình (2)
(loại) 
Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện 
	Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Bài tập: 
Giải các phương trình sau:
1. 
2. 
3. 4. 
5. 6. 
7.	 8. 
9. 
10. 	 11. 	
1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng và .
* Phương trình có dạng 
Cách giải:
Bước 1: Đặt ẩn phụ 
đưa phương trình đã cho về dạng đại số 
Bước 2: Giải phương trình loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán 
Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x
Ví dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình 
	Giải: 
Phương trình (1) 
Đặt , phương trình (2) trở thành 
 hay 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Ví Dụ 2: Giải phương trình:
 (2)
Giải:
 Điều kiện 
Ta có: Phương trình (2) 
 (3)
Đặt , phương trình (3) có dạng
Với thì nên (4) 
Suy ra ( thoả mãn điều kiện(2)).
Vậy là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho 
Bài tập:Giải các phương trình sau:
1. 2.
3. 4. 
5. 6. 
7. 
1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG.
	Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp.
	Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau:
1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. 
	Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp. 
Ví Dụ: Giải phương trình (1)
 	Giải:
	 Điều kiện (*)
Khi đó (1)
Thay vào (*) xem có thoả mãn hay không ?
Suy ra không thoả mãn (*) . 
Vậy phương trình (1) vô nghiệm .
1.3.2-	Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác).
Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình.
Ví Dụ: Giải phương trình: (1)
	Giải: 
Điều kiện 
Khi đó phương trình (1) 
Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác. 
sin
cos
Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 
1.3.3- Phương pháp đại số.
 Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số.
* Ví Dụ: Giải phương trình: 
Giải: 
Điều kiện 
Khi đó (1)
Gía trị này là nghiệm của (1) nếu 
Điều này đúng vì là số lẻ còn là số chẵn 
Vậy nghiệm của phương trình là 
Bài tập:
 1: Tìm các nghiệm thuộc của phương trình
 2: Giải phương trình: 3: Giải phương trình:
 4: Giải phương trình: 5: Giải phương trình: 
 6: Giải phương trình: 
Chương II: Hệ thống một số phương pháp giải phương trình lượng giác
	Đứng trước một PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm thế nào để giải nó, vấn đề nảy sinh trong mỗi chúng ta là phải đưa phương trình về phương trình mà ta đã biết cách giải. Và để giải mỗi phương trình ta phải thực hiện các phép biến đổi theo hướng
	-Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một hàm 
	-Nếu phương trình chứa hàm lượnggiác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một cung.
	Dưới đây là một số phương pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toán khác nhau mà ta lựa chọn phương pháp cho phù hợp.
2.1 - Phương pháp biến đổi tương đương
Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải.
Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác	 Vì mối liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình .
Ví dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình 
	Giải:
 Nhận xét: Ta nhận thấy trong bài toán có 2 số hạng ta có thể sử dụng được công thức góc nhân ba
Ta có 
	Vậy phươngtrình có 2 họ nghiệm 
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải: 
Ta có: 
Tương tự ta cũng có 
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được 
Từ đó ta có : 
	Vậy phương trình có một họ nghiệm .
Ví dụ 3: Giải phương trình (1)
	Giải :
Ta có :
	Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
	Giải:
	Ta có :
Giải (*): ta có 
*Với loại do 
*Với xét với điều kiện 
Ta xét ta thấy có 1 giá trị là thoả mãn 
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất 
Nhận xét : Phương pháp biến đổi tương đương đòi hỏi phải sử dụng nhiều công thức lượng giác vì vậy việc nắm chắc các công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết sức cần thiết .
2.1- Phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp :
Có 2 loại đặt ẩn phụ 
	(1) Đặt ẩn phụ , đưa phương trình đã cho về phương trình mới dễ giải hơn 
	(2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số
Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có được một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn
Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau:
	+) Đổi biến dưới hàm lượng giác
	+) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ 
2.1.1- Đổi biến dưới hàm lượng giác 
Phương pháp:
Khi các biểu thức dưới hàm lượng giác có mối liên hệ đặc biệt : bù nhau, hơn kém nhau , biểu thức này gấp hai, ba lần biểu thức kia thường giải bằng phương pháp đổi biến 
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
Giải: 
Ta có 
Đặt . Lúc đó ta có 
Thế trở lại ẩn ta có 
(*)
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 
Ví dụ 2: Giải phương trình (1)
Ta nhận thấy có thể biểu diễn 
Như vậy phương trình đã được đưa về phương trình chứa các hàm lượng giác chỉ chứa 1 cung. Từ đây ta sử công thức nhân ba để biến đổi 
	Giải: 
Ta có: 
Đặt phương trình (2) sẽ trở thành 
 hay 
	Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
2.1.2- Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ.
Chú ý một số phương pháp đặt ẩn phụ của phương pháp đại số sau đây 
+Phương trình trùng phương 
Đặt 
+Phương trình bậc bốn 
Đặt 
+ Phương trình bậc bốn 
 với
Đặt 
+ Phương trình bậc bốn đối xứng 
Chia cả hai vế cho 
Đặt 
Ví dụ Minh Hoạ
Ví dụ1: Giải phương trình 
 (1)
Giải :
 Điều kiện 
 Ta có: (1)
Đặt (*)
Do đó 
Phương trình (1) trở thành (2)
 Do (*) nên ta có (2) . Lúc đó ta có
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Chú ý: Một số phương trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần ,nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ cả ẩn cũ và ẩn mới cung tồn tại trong phương trình. Bộ phận cũ còn lại ấy được xem là tham số của phương trình
Ví dụ 2: Giải phương trình 
 (1)
Giải:
Cách 1: Đặt phương trình (1) trở thành 
 Do nên phương trình (*) là phương trình bậc hai đối với 
 Do 
Do vậy (*)
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm 
Cách 2:
(2)
	Vậy phương trình có một họ nghiệm 
Ví dụ 3: Giải phương trình 
	Giải: 
 Đặt điều kiện khi đó ta có .
Từ (*) và (1) ta có hệ 
 Ta có 
 -Với thế vào (*) ta được 
-Với thế vào (*) ta được 
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm .
Ví dụ 4: Giải phương trình 
	Giải:
Cách 1: Viết lại phương trình
Đặt , điều kiện vì nên 
Khi đó phương trình có dạng 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Cách 2: 
Đặt 
Khi đó: 
Phương trình tương đương với 
 Khi đó u, v là nghiệm của phương trình: 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm . 
Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 
Ví dụ 5: Giải phương trình 
 (1)
Giải: 
Đặt , suy ra 
Phương trình (1) trở thành 
-Với ta có: 
Do nên (a) 
-Với ta có 
Ta nhận thấy , suy ra phương trình (b) vô nghiệm.
	Vậy phương trình có một họ nghiệm 
Ví dụ 6: Giải phương trình
 (1)
Giải:
 Đặt 
Phương trình (1) trở thành 
-Với loại 
-Với ta có (*)
Đặt phương trình (*) trở thành 
Đặt .Rõ ràng là hàm đồng biến trên . 
Mặt khác ta có suy ra là nghiệmduy nhất của phương trình (*)
 Với ta có 
Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm 
Nhận xét:
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được vận dụng khá linh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu thức đã cho về một số dạng phương trình lượng giác mà ta đã biết cách giải .Với ẩn phụ đã đặt ta nhất thiết phải tìm điều kiện của nó và lưu ý ta phải thử lại xem các nghiệm có thoả mãn điều kiện của phương trình hay không 
2.3- Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc
Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1:Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng các công thức 
*Hạ bậc đơn:
* Hạ bậc toàn cục
* Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng :
Ta có thể lựa chọn theo hai cách sau:
Cách 1: Ta có :
Cách 2: Ta có :
Chú ý: (+) Tuỳ thuộc bậc từng bài toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp . Chẳng hạn đối với phương trình bậc lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3) thông thường ta không đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc.
	(+) Với các nhân tử bậc cao hơn 3 ta phải hạ bậc dần dần.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
	Giải.
Phương trình được biến đổi dưới dạng
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình (1)
Giải.
Ta có: 
 (1) 
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: (2)
	Giải
Ta có: (2) 
Điều kiện
Bình phương hai vế của phương trình (3) ta có: 
Các giá trị thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi 
	Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm duy nhất.
Ví Dụ 4: Giải phương trình:
 (4)
	Giải: 
Ta có 
Ta có (5)
Lại có: 
Dâú đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc 
Bởi thế (6)
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Ví Dụ 5: Giải phương trình :
 (7)
	Giải: 
Điều kiện: 
Ta có:
.
Thay vào (7) ta thu được
	Vậy phương trình có 1 họ nghiệm 
Ví Dụ 6: Giải phương trình: (8)
	Giải: Ta có:
Do vậy (8) 
 (vô nghiệm ).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Nh ận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ ra rất hữu hiệu đối với có chứa các hạng tử bậc cao, khó giải .Vì vậy để có thể sử dụng tốt phương pháp này đòi hỏi học sinh cần nắm vững các công thức hạ bậc đã nêu ở trên, đồng thời phải sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt.
2.4- Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích 
	Có rất nhiều cách đưa phương trình lượng giác về phương trình tích ta có thể sử dụng các phép biến đổi các dạng như sau: 
Dạng 1: Biến đổi tổng hiệu thành tích
	Dạng 2: Biến đổi tích thành tổng
	Dạng 3: Lựa chọn phép biến đổi cho 
	Dạng 4: Phương pháp tách hệ số
	Dạng 5 : Phương pháp hằng số biến thiên
 Dạng 6: Phương pháp nhân
	Dạng 7: Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp
Ta đưa phương trình cần giải về dạng
trong đó các phương trình: là các phương trình có dạng chuẩn
Sau đây ta xét từng dạng
Phương pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích:
Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1)
	Giải:
Cách 1: Biến đổi tổng thành tích:
Ta có: (1)
 	Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
Cách 2: Biến đổi phương trình chứa một hàm lượng giác 
(1)
Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2)
 Giải: 
Ta có (2) 
	Vậy phương trình có 5 họ nghiệm .
Ví Dụ 3: Giải phương trình
 (3)
	Giải:
(3)
Giải (1) ta được 
Giải (2): Đặt (*) suy ra 
Khi đó phương trình có dạng 
Kết hợp với điều kiện (*) phương trình trên tương đương với
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm .
2.4.2- Phương pháp biến đổi tích thành tổng. 
Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1)
	Giải:
	 Ta có (1)
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Ví Dụ 2: Giảiphươngtrình:
 (2)
	Giải: 
	Ta có: 
Do vậy (2)
	Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
2.4.3- Lựa chọn phép biến đổi cho .
Ví Dụ 1: Giải phương trình : (1)
	Giải: 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
Nhận xét: Trong lời giải trên sở dĩ chúng ta lựa chọn phép biến đổi bởi hai nhân tử còn lại là ( có hệ số là 2) và (có hệ số là 1),thực hiện phép biến đổi để nhóm nhân tử chung đưa về phương trình dạng tích.
Như vậy trong trường hợp trái lại ta sẽ lựa chọn phép biến đổi 
Cụ thể ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 2: Giải phương trình (2)
Giải: 
Ta có: 
 	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Nhận xét: Như vậy chúng ta đã có đượcphương pháp suy luận trong việc lựa chọn 2 hướng biến đổi 
	Cuối cùng trong trường hợp hệ số đối xứng ta lựa chọn phép biến đổi 
Cụ thể ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 3: Giải phương trình: (1)
	Giải:
 Phương trình (1)
Giải (2): Ta được 
Giải (3): Ta đặt , suy ra 
Khi đó (3) có dạng:
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
2.4.4- Phương pháp tách hệ số.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
	Giải.
 Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Giải. Biến đổi phương trình về dạng
	Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Chú ý:Ta cũng có thể giải bằng phương pháp tách dần.
2.4.5- Phương pháp hằng số biến thiên.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
 (1) 
	Giải.
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau
Cách 1: Phương pháp hằng số biến thiên.
Đặt điều kiện 
Khi đó (1) có dạng 
Ta có ( do )
Do đó phương trình được chuyển thành
Cách 2: Phương pháp phân tích
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
	Giải.
Đặt 
Khi đó phương trình tương đương với 
-Với ta được 
-Với ta được 
Ta đoán được nghiệm và
 Vì VT là hàm đồng biến còn VP là hàm nghịch biến, do vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Nhưng phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
2.4.6- Phương pháp nhân.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải.
Điều kiện: . Nhân cả hai vế của phương trình (1) với ta có
 Các họ nghiệm trên thỏa mãn điều kiện.
 Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải.
+) Với ta được và 
Khi đó phương trình (2) có dạng: vô nghiệm.
+)Với (*)
Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 ta được 
2.4.7- Sử dụng các phép biến đổi.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải.
Biến đổi phương trình về dạng
	Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
	Giải.
Giải (1): Ta được 
Giải (2): Đặt 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)
	Giải.
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
2.5- Biến đổi phương trình lượng giác thành tổng các đại lượng không âm.
Phương pháp: Ta cần nhớ các đại lượng không âm trong lượng giác, bao gồm do đó để sử dụng phương pháp này giải PTLG ta thực hiện theo các bước sau.
	Bước 1: Biến đổi phhương trình ban đầu về dạng
	Bước 2: Dùng lập luận 
	Bước 3: Khi đó
	Bước 4: Giải hệ 
Ví Dụ Minh Họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
	Giải.
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
	Giải. Ta có:
	Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
	Giải.
Nhận xét: Ta nhận thấy phương trình trên có 4 hạng tử vậy thì ta có thể biến đổi phương trình về dạng tổng bình phương của hai biểu thức.
	Giải.
Ta có:
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình
	Giải.
Điều kiện: 
Cách 1:
 (mâu thuẫn)
	Vậy phương trình vô nghiệm.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta được
Do vậy 
 (mâu thuẫn).
	Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải phương trình
	Giải.Ta có 
Do vậy 
Từ (5) và (6) ta có:
 hoặc 
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm .
Chú ý: Với mọi làm có nghĩa ta luôn có
Ví dụ 6: Giải phương trình 
 (6) 
	Giải.
	Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Nhận xét: Để giải phương trình lượng giác bằng phương pháp này đòi hỏi ở học sinh phải có tư duy, nhận xét qua từng bài toán xem có thể đưa về hằng đẳng thức hoặc số hạng nào đó không âm. Với phương pháp này có tác dụng tích cực tới tư duy sáng tạo cho học sinh.
2.6- Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá.
Phương pháp: Xét phương trình (1)
Nếu và là một số nào đó thì phương trình trên tương đương với h ệ 
	Như vậy ta quy ước việc giải PTLG (1) về giải hệ PTLG (2). Để đánh giá phương trình ta dựa trên các dạng sau:
	Dạng 1: Tính chất của hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác.
	Dạng 2: PTLG dạng Pitago
	Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi.
	Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Bunhicôpski.
Sau đây ta đi xét từng dạng.
2.6.1- Tính chất của hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác. 
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
	Giải.
Ta có nhận xét 
	Do đó phương trình (1) tương dương với 
	Vậy phương trình có một họ nghiệm.
 Ví dụ 2: Giải phương trình:
 (2)
	Giải.
Giải (3) ta được 
Giải (4): Ta có nhận xét 
 VT = vô nghiệm
	Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Nhận xét: Hầu hết các phương trình lượng giác ở dạng ban đầu chúng ta chưa thể khẳng định được nó có thuộc loại đánh giá hay không. Tất cả chỉ được khẳng định sau những biến đổi lượng giác mà chúng ta đã biết.
 Ví dụ 3: Giải phương trình
 (3)
	Giải.
	Điều kiện 
Ta thấy 
Ta có (4)
Với ta có 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Từ (4) và (5) 
Do do đó (6)
Từ (*) và (**) ta suy ra là họ nghiệm của phương trình đã cho.
Phương trình lượng giác dạng Pitago.
Ví dụ 1: Giải phương trình 
	Giải:
 Ta có nhận xét :
VP=
	Mặt khác: 
Do đó: (1)
Như vậy bằng nhận xét và ta có thể giải bài toán một cách dễ dàng .
 Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải: Ta có:
Mặt khác ta cũng có:
Từ (a) và (b) 
Dấu “=” xảy ra 
Sử dụng bất đẳng thức Cosi:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải:
Cách 1: Sử dụng giải PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với 
Ta có: 
Lúc đó (1) 
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cosi
Ta có nhận xét 
Cộng vế với vế 
Do đó: (1) 
Ví dụ 2: Giải phương trình:
	Giải: 
	Điều kiện: 
+) Với phương trình đã cho trở thành 
Ta có: 
Dấu “=’’ xảy ra:
+) Với ta có 
 (Theo bất dẳng thức Cosi)
Mặt khác: thì 
Do đó: 
Dấu “=” xảy ra 
Hệ này vô nghiệm 
	Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm 
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Ví dụ 1: Giải phương trình 
 (1)
	Giải:
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm 
 Ví dụ 2: Giải phương trình :
	Giải: 
Điều kiện 
Ta có:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
Dấu “=” xảy ra 
 Hệ phương trình trên vô nghiệm . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2.7- Dùng phương pháp khảo sát hàm số
	 Phương pháp này ta dùng tính chất biến thiên ( đồng biến hay nghịch biến) và cực trị của hàm số để tìm nghiệm của phương trình. Để hiểu rõ hơn về vấn đề này ta xét một số ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Phương trình đã cho tương đương với 
Xét hàm số 
Bảng biến thiên
0 
0 
0 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra 
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
	Giải: 
	Ta có :