Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm Toán 10 - Bài: Các định nghĩa vectơ (Có đáp án)

CHƯƠNG I: VECTƠ
§1 CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa vectơ: 
Hình 1.1
Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu : 
Vectơ còn được kí hiệu là: 
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 
2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ
- Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương 	
Hình 1.2
- Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.
Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ và cùng hướng còn và ngược hướng.
Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ.
Hình 1.3
3. Hai vectơ bằng nhau
- Độ dài đoạn thẳng gọi là độ dài véc tơ , kí hiệu .
Vậy .
- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành khi đó 
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ
1. Phương pháp giải.
Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa
Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác.
	A.12	B.13	C.14	D.16
Lời giải:
Hai điểm phân biệt, chẳng hạn ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là . Mà từ bốn đỉnh của ngũ giác ta có 6 cặp điểm phân biệt do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi cùng phương.
Lời giải
Nếu thẳng hàng suy ra giá của đều là đường thẳng đi qua ba điểm nên cùng phương. 
Ngược lại nếu cùng phương khi đó đường thẳng và song song hoặc trùng nhau. Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm nên hai đường thẳng và trùng nhau hay ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng phương với có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.
	A.5	B.6	C.7	D.8
b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng hướng với có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.
	A.3	B.4	C.6	D.5
c) Vẽ các vectơ bằng vectơ mà có điểm đầu .
Lời giải:
(Hình 1.4)
a) Các vectơ khác vectơ không cùng phương với là .
b) Các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với là.
Hình 1.4
c) Trên tia lấy điểm sao cho 
Khi đó ta có là vectơ có điểm đầu là và bằng vectơ .
Qua dựng đường thẳng song song với đường thẳng . Trên đường thẳng đó lấy điểm sao cho cùng hướng với và .
Khi đó ta có là vectơ có điểm đầu là và bằng vectơ .
Ví dụ 4: Cho hình vuông tâm cạnh . Gọi là trung điểm của , là điểm đối xứng với qua . Hãy tính độ dài của vectơ sau .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
(hình 1.5)
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ta có 
Suy ra .
Qua N kẻ đường thẳng song song với cắt tại .
Hình 1.5
Khi đó tứ giác là hình vuông và .
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ta có 
Suy ra .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.1: Cho ngũ giác . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác.
	A.20	B.12	C.14	D.16
Lời giải:
Bài 1.1 Hai điểm phân biệt, chẳng hạn ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là . Mà từ năm đỉnh của ngũ giác ta có 10 cặp điểm phân biệt do đó có 20 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 1.2: Cho hình bình hành có tâm là O. Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C, D, O
a) Bằng vectơ ; 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
b) Có độ dài bằng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.2: a) 
b) 
Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng.
a) Khi nào thì hai vectơ và cùng hướng ?
	A. A nằm trong đoạn BC	B. Nằm chính giữa BC	
	C. A nằm ngoài đoạn BC	D. Không tồn tại
b) Khi nào thì hai vectơ và ngược hướng ?
	A. A nằm trong đoạn BC	B. Nằm chính giữa BC	
	C. A nằm ngoài đoạn BC	D. Không tồn tại
Lời giải:
Bài 1.3: a) A nằm ngoài đoạn BC
b) A nằm trong đoạn BC
Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt.
a) Nếu thì có nhận xét gì về ba điểm A, B, C
	A. B là trung điểm của AC	B. B nằm ngoài của AC
	C. B nằm trên của AC	D. Không tồn tại
b) Nếu thì có nhận xét gì về bốn điểm A, B, C, D
	A. A, B, C, D thẳng hàng	B. ABCD là hình bình hành
	C.A, B đều đúng	D.A, B đều sai
Lời giải:
Bài 1.4 a) B là trung điểm của AC
b) A, B, C, D thẳng hàng hoặc ABCD là hình bình hành
Bài 1.5: Cho hình thoi có tâm . Hãy cho biết số khẳng định đúng ?
a) 	 
b) 	 
c) 
d) 	 
e) 	 
f) 
	A.3	B.4	C.5	D.6
Lời giải:
Bài 1.5: a) Sai	b) Đúng	c) Đúng	
d) Sai	e) Sai	f) đúng 
Bài 1.6: Cho lục giác đều tâm . Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho 
a) Bằng với 
	A. 	B. 	C. 	D. 
b) Ngược hướng với 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.6: a) 	 b) 
Bài 1.7: Cho hình vuông cạnh , tâm và M là trung điểm AB. 
Tính độ dài của các vectơ .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.7: (hình 1.40) Ta có ; 
Gọi E là điểm sao cho tứ giác là hình bình hành khi đó nó cũng là hình vuông
Ta có 
Hình 1.40
Bài 1.8: Cho tam giác đều cạnh và là trọng tâm. Gọi là trung điểm của . 
Tính độ dài của các vectơ .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.8: (Hình 1.41)Ta có 
Gọi M là trung điểm của 
Ta có 
Hình 1.41
Bài 1.9: Cho trước hai điểm phân biệt . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn .
	A. đường thẳng song song đoạn thẳng 
	B. đường trung trực của đoạn thẳng 
	C. đường vuông góc của đoạn thẳng 
	D.Không tồn tại
Lời giải:
Bài 1,9: Tập hợp điểm là đường trung trực của đoạn thẳng 
DẠNG 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng hoặc dựa vào nhận xét nếu tứ giác là hình bình hành thì và 
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khảng định nào sau đây đúng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
(hình 1.6)
Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác suy ra và (1).
Hình 1.6
Tương tự QP là đường trung bình của tam giác suy ra và (2).
Từ (1) và (2) suy ra và do đó tứ giác là hình bình hành
Vậy ta có 
Ví dụ 2: Cho tam giác có trọng tâm . Gọi là trung điểm của . Dựng điểm sao cho .Khẳng định nào sau đây đúng
a) 	A. 	B. 	C. 	D. 
b) Gọi là trung điểm của . Khẳng định nào sau đây là đúng
	A. .	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
(hình 1.7)
a) Vì là trung điểm của nên và cùng hướng với do đó hai vectơ , bằng nhau hay .
Hình 1.7
b) Ta có suy ra và .
Do đó cùng hướng (1).
Vì là trọng tâm tam giác nên , là trung điểm suy ra 
Vì vậy (2)
Từ (1) và (2) ta có .
Ví dụ 3: Cho hình bình hành . Trên các đoạn thẳng theo thứ tự lấy các điểm sao cho . Gọi là giao điểm của và là giao điểm của . Khẳng định nào sau đây là đúng?
	A. 	B. 	C.Cả A, B đúng	D.Cả A, B sai
Lời giải:
(hình 1.8)
Ta có , mặt khác song song với do đó tứ giác là hình bình hành
Suy ra .
Hình 1.8
Xét tam giác và ta có (giả thiết), (so le trong)
Mặt khác (đối đỉnh) và (hai góc đồng vị) suy ra .
Do đó (c.g.c) suy ra .
Dễ thấy cùng hướng vì vậy .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.10: Cho tứ giác . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khăng định nào sau đây đúng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.10: (Hình 1.42) Do M, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD nên MQ là đường trung bình của tam giác suy ra và (1).
Tương tự NP là đường trung bình của tam giác suy ra và (2).
Từ (1) và (2) suy ra và do đó tứ giác là hình bình hành
Vậy ta có .
Hình 1.42
Bài 1.11: Cho hình bình hành . Gọi lần lượt là trung điểm của ; là giao điểm của và là giao điểm của .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. 
	A. 	B. 	C.Cả A, B đều đúng	D.Cả A, B đều sai
Lời giải:
Bài 1.11: (Hình 1.43)
Ta có tứ giác là hình bình hành vì .
Suy ra .
Xét tam giác có là trung điểm của và do đó là trung điểm của . Tương tự xét tam giác suy ra được là trung điểm của 
Vì vậy từ đó suy ra 
Hình 1.43
Bài 1.12: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với . Từ C vẽ . Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
a) 
	A. 	B. 	
	C.Cả A, B đều đúng	D.Cả A, B đều sai
b) 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.12: (Hình 1.44) 
a) Ta có suy ra là hình bình hành
Ta có mà do đó là trung điểm 
Ta có và tứ giác là hình bình hành
Suy ra 
Hình 1.44
b) là trung điểm của và tứ giác là hình bình hành suy ra 
Bài 1.13: Cho tam giác có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B' là điểm đối xứng B qua OKhẳng định nào sau đây là đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.13: Ta có , 
Suy ra là hình bình hành do đó .