Đề thi khảo sát học sinh khá giỏi lần 2 môn: Toán 10 năm học : 2015 - 2016 thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2 
Môn: TOÁN 10 
Năm học : 2015-2016 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề 
Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số 2 6= + −y x x (1) có đồ thị (P). 
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (1). 
b) Tìm m để đường thẳng (d): 2= +y x m cắt đồ thị (P) tại hai điểm A và B. Tìm tọa độ trung điểm 
của A và B. 
Câu 2 ( 2 điểm). 
a) Giải phương trình: 69 5 3
3
− = − +
−
x x
x
 . 
b) Giải bất phương trình: 2 4 5 3+ − ≤ +x x x . 
Câu 3 ( 1,5 điểm) 
a) Biết 2cos 2
3
=−α . Tính giá trị của biểu thức ( )( )2 21 3sin 1 4cosP α α= + − . 
b) Các góc trong tam giác ABC thỏa mãn: cosB cosCsin
sin sin
+
=
+
A
B C
 . Chứng minh tam giác ABC vuông. 
Câu 4 ( 1,5 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng 2 2:
1 2
 =− −∆ 
 = +
x t
y t
 và điểm M(3;1) 
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng ∆ . 
b) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ . 
c) Tìm điềm A nằm trên ∆ sao cho điểm A cách điểm M một khoảng bằng 13 . 
Câu 5 (1 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3;0) và trung điểm của BC là 
điểm I(6;1). Đường thẳng AH có phương trình 2 3 0+ − =x y . Gọi D, E lần lượt là chân các đương cao 
kẻ từ B và C. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng DE có phương trình 2 0− =x và 
điểm D có tung độ dương. 
Câu 6 (1 điểm). Giải hệ phương trình ( )
2 2 3
2 2
4 2 2 2 5
,
2 1
 + + − + − =
∈
 + = −
ℝ
x y xy x y x y
x y
x xy y
Câu 7 (1 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 2 3 20+ + ≥a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 3 9 4
2
= + + + + +Q a b c
a b c
 . 
 Hết. 
Họ và tên thí sinh:...SBD. 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN 2 MÔN TOÁN 10 NĂM HỌC 2015-2016 
Câu Hướng dẫn chấm Điểm 
1 
Cho hàm số 2 6= + −y x x (1) có đồ thị (P). 
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (1). 
- Chỉ đúng tập xác định và lập đúng bảng biến thiên 
- Vẽ đúng đồ thị 
0.5đ 
0.5đ 
b) Tìm m để đường thẳng (d): 2= +y x m cắt đồ thị (P) tại hai điểm A và B. Tìm 
tọa độ trung điểm của A và B. 
Xét pt hoành độ giao điểm: ( )2 26 2 ( 6) 0 2x x x m x x m+ − = + ⇔ − − + = 
- Pt (2) có 2 nghiệm 250
4
m⇔∆≥ ⇔ ≥− (*) 
- Gọi ( ) ( ) 1 11 1 2 2
2 2
2
; , ;
2
y x m
A x y B x y
y x m
 = +⇒
 = +
 và 1 2,x x là hai nghiệm của (2) 
Khi đó trung điểm I của AB có tọa độ 
( )
1 2
1 21 2
1
2 2
2 2 1 2
2 2 2
I
I
x x
x
x x my y my
 + = =
 + ++ + = = =
 hay I 1 1 2;
2 2
m +    
0.25đ 
0.25đ 
0.25đ 
0.25đ 
2 
a) Giải phương trình: 69 5 3
3
− = − +
−
x x
x
- Đ/k: 9
5
x≤ (*) 
- Pt ( )( ) 2
9
9 5 3 9
4 6 54 0
x
x x x
x x
 ≤⇒ − − = − ⇔
 − + =
9
9
9 2
2 3
3
x
x
x
x
x
 ≤   =⇔ ⇔  =
  =−  =−
Đối chiếu với đ/k thì phương trình có nghiệm 3x=− 
0.25đ 
0.25đ 
0.25đ 
0.25đ 
b) Giải bất phương trình: 2 4 5 3+ − ≤ +x x x 
Bpt 
( )
2
22
3 0
4 5 0
4 5 3
x
x x
x x x
 + ≥
⇔ + − ≥
 + − ≤ +
3
5
1
7
x
x
x
x
 ≥− ≤−⇔ ≥ ≥−
 1x⇔ ≥ . Vậy bpt có tập nghiệm [ )1;T = +∞ 
0.5đ 
0.25đ 
0.25đ 
3 
a) Biết 2cos 2
3
=−α . Tính giá trị của biểu thức ( )( )2 21 3sin 1 4cosP α α= + − 
- Ta có 1 cos 2 1 cos 21 3. 1 4.
2 2
P α α
  − +  = + −      
 = ( )
5 3
cos 2 3 2cos 2
2 2
α α
  − −  
 = ( )
5 1 3 3 21
2
  + + =  
- Vậy 21P= 
0.5đ 
0.25đ 
0.25đ 
b) Các góc trong tam giác ABC thỏa mãn: cosB cosCsin
sin sin
+
=
+
A
B C
 . Chứng minh tam 
giác ABC vuông. 
- Vì sinA 2sin cos
2 2
A A
= 
và 
cos2cos cos sin
cosB cosC 2 22 2 2
sin sin 2sin cos cossin
2 2 22 2
AB C B C A
B C B C AAB C
π
π
 + −  −  +  
= = =
 + −+  −   
- Do đó 2cosB cosCsin 2cos 1 cos 0
sin sin 2
AA A
B C
+
= ⇔ = ⇔ =
+
 090A ABC⇔ = ⇔∆ vuông tại A 
0.25đ 
0.25đ 
0.25đ 
0.25đ 
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng 
2 2
:
1 2
 =− −∆ 
 = +
x t
y t
 và điểm M(3;1) 
a)Viết pttq của đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng ∆ . 
Ta thấy ∆ có vtcp ( )1;1u = −

4 
Vì d song song với ∆ d⇒ có vtcp ( )1;1u = −

d⇒ có vtpt ( )1;1n=

Mà d đi qua M(3;1) ( ) ( ):1 3 1 1 0d x y⇒ − + − = hay : 4 0d x y+ − = 
0.25đ 
0.25đ 
b)Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ . 
 ∆ có pttq là: 1 0x y+ + = 
 Vì đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ ,do đó bán kính của 
(C) là 
 ( )
1
,
2
R d I= ∆ = 
 Vậy phương trình đường tròn (C) là: ( ) ( )2 2 11 1
2
x y− + + = 
0.25đ 
0.25đ 
c)Tìm điềm A nằm trên ∆ sao cho điểm A cách điểm M một khoảng bằng 13 . 
 Theo đầu bài thì: ( )2 2 ;1 2A t t− − + và 2 2
1
13 8 20 12 0 3
2
t
AM t t
t
 =−

= ⇔ + + = ⇔ 
 =−

 Vậy có hai điểm A có tọa độ lần lượt là: (0;-1) và 1 ; 2
2
 − −   
0.25đ 
0.25đ 
5 
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3;0) và trung điểm của 
BC là điểm I(6;1). Đường thẳng AH có phương trình 2 3 0+ − =x y . Gọi D, E lần 
lượt là chân các đương cao kẻ từ B và C. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, 
biết đường thẳng DE có phương trình 2 0− =x và điểm D có tung độ dương. 
H
A
B C
D
E
K
I
Gọi K là trung điểm của AH. Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm K và tứ giác 
BCDE nội tiếp đường tròn tâm I : 1 0IK DE IK y⇒ ⊥ ⇒ − = 
Khi đó ( ) ( )1;1 1;2K A⇒ − 
Gọi D( )2;a . Ta có KA=KD ( ) ( )2
3
5 1 1 2;3
1( )
a
a D
a l
 =
⇔ = + − ⇔ ⇒
 =−
Pt AC: 3 7 0x y− + = 
Pt BC: 2 11 0x y− − = 
( ) ( )8;5 , 4; 3C B⇒ − 
0.25đ 
0.25đ 
0.25đ 
0.25đ 
6 
Giải hệ phương trình ( )
2 2 3
2 2
4 2 2 2 5
,
2 1
 + + − + − =
∈
 + = −
ℝ
x y xy x y x y
x y
x xy y
( )2 3
2 2
2 2
4 2 2 5 2
2 1
4 2 5 2 (1)
2 1 0(2)
y x xy x y x y
x xy y
x y x y
x xy y
 + + − = − +⇔
 + = −
 − = − +⇔
 + − + =
 Đ/k: 2 0x y− ≥ 
 Pt (1) 2 4 2 5 0x y x y⇔ − + − − = 
Đặt 2 , 0t x y t= − ≥ . Khi đó ta tìm được 1 2 1t y x= ⇒ = − thay vào (2) ta tìm được 
0; 2x x= =− 
Vậy hệ pt có nghiệm: ( ) ( )0;1 ; 2; 5− − 
0.25đ 
0.25đ 
0.25đ 
0.25đ 
7 
Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 2 3 20+ + ≥a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức 3 9 4
2
= + + + + +Q a b c
a b c
. 
 Ta có: 4 4 3 42 . 4 3
4
a a a
a a a
 + ≥ = ⇒ + ≥  
 . Dấu = xẩy ra 2a⇔ = 
 Tương tự 9 1 96 3
2
b b
b b
 + ≥ ⇒ + ≥  
 . Dấu = xẩy ra 3b⇔ = 
16 1 168 2
4
c c
c c
 + ≥ ⇒ + ≥  
 . Dấu = xẩy ra 4c⇔ = 
( )
3 3 9 4 8 1
4 2 4 2
a b c
a b c
⇒ + + + + + ≥ 
0.25đ 
Mặt khác, do ( )32 3 20 5 2
4 2 4
a b c
a b c+ + ≥ ⇒ + + ≥ 
Từ (1) và (2) 3 9 4 13
2
Q a b c
a b c
⇒ = + + + + + ≥ . Dấu = xấy ra khi 2, 3, 4a b c= = = 
Vậy max 13 khi 2, 3, 4Q a b c= = = = 
0.25đ 
0.25đ 
0.25đ 
..HẾT..