Kỳ thi olympic truyền thống 30 - 4 lần thứ 21 đề thi đề nghị môn: Toán ; lớp : 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH TIỀN GIANG
TRƯỜNG : THPT CHUYÊN TIỀN GIANG
	KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - 4 LẦN THỨ 21
	ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN ; LỚP : 11
Số Phách
Số phách
Câu hỏi 1: ( 4.0 điểm) Giải hệ phương trình sau:
Đáp án câu hỏi 1:
ĐÁP ÁN
Điểm
Điều kiện: 
0.25 đ
Nếu hệ phương trình vô nghiệm. Vậy: 
Tương tự: 
0.5 đ
Trừ hai phương trình theo từng vế, ta được: 
0.25 đ
Xét hàm số ta có:
0.5 đ
 liên tục và đồng biến trên 
Mà 
0.25 đ
Thay , vào phương trình thứ nhất, ta được : 
0.25 đ
Xét hàm số với ta có :
0.5 đ
Xét hàm số , với ta có :
, 
 liên tục và nghịch biến trên 
0.5 đ
Mà (do )
Ta có : nên 
0.5 đ
Dấu xảy ra khi 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình : 
0.5 đ
Câu hỏi 2: ( 4 điểm)
Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 > 0 và với mọi n = 1, 2, 
Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó. 
Đáp án câu hỏi 2:
ĐÁP ẤN
Điểm
Từ điều kiện x1 > 0 ta sẽ có :.
0.5 đ
Khi đó : .
0.5 đ
Ta có : , với 
Ta có : f’(x)=.
1,0 đ
Áp dụng định lý Lagrange ta có , n > 1.
1,0 đ
Nên .
1,0 đ
Câu hỏi 3: ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có trọng tâm G, nội tiếp đường tròn (O) và M là điểm nằm trong hình tròn đường kính OG. Gọi lần lượt là giao điểm thứ 2 của AM, BM, CM với (O).
Chứng minh .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Đáp án câu hỏi 3: 
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Giả sử R là bán kính của (O). Ta có: 
 Hình vẽ
.
Lại có: ( do ).
Tương tự, ta sẽ có: (*)
1 đ
Từ (*) ta có: 
1 đ
(Vì M nằm trong hình tròn đường kính OG nên )
1 đ
Do đó .
Dấu “=” xảy ra 
1 đ
Câu hỏi 4: ( 3 điểm)
Tìm tất cả các hàm số liên tục trên R và thỏa mãn :
Đáp án câu hỏi 4: 
ĐÁP ÁN
Điểm
Xét hàm 
Suy ra : liên tục trên R và 
0.5 đ
0.5 đ
Thay vào (2), ta được : 
Trong (2), cho , ta được : 
1.0 đ
Do (1) nên loại 
Suy ra : 
0.5 đ
Thử lại vào (2), ta thấy không thỏa
Vậy không có hàm số nào thỏa điều kiện bài toán.
0.5 đ
Câu hỏi 5: ( 3 điểm)
Cho dãy số 
Tìm tất cả các số nguyên tố p thỏa và 
Đáp án câu hỏi 5:
ĐÁP ÁN
Điểm
Ta có: 
0.5 đ
Suy ra , với 
0.5 đ
0.5 đ
Trước hết, ta chứng minh Bổ đề sau
“Cho p là số nguyên tố thỏa , nếu thì và ”
Thật vậy, giả sử , 
Theo Fermat: 
Mà 
 (vô lý)
Vậy và 
1.0 đ
Giả sử, và 
Nếu thì (vô lý)
Vậy 
0.5 đ
Câu hỏi 6: ( 3 điểm)
Tập hợp các số nguyên dương được tô bởi hai màu đen và trắng. Giả sử rằng, tổng của hai số khác màu luôn bị tô màu đen và có vô hạn số bị tô màu trắng.. Giả sử a là một số nguyên dương được tô màu trắng. Hỏi khi đó được tô màu gì?
Đáp án câu hỏi 6:
ĐÁP ÁN
Điểm
Do tập vô hạn và bị chặn dưới và do có vô hạn số tô màu trắng nên tồn tại số nguyên dương bế nhất bé nhất tô màu trắng, gọi số đó là p.
0.5 đ
Ta chứng minh: bất kỳ số nào tô màu trắng cũng là bội của p
Thật vậy, giả sử tồn tại số được tô màu trắng. Khi đó, ta phải có (do cách chọn p). Mà và k, p cùng màu trắng nên cũng phải có màu trắng.
0.5 đ
Tiếp tục như vậy, ta sẽ có , có màu trắng. Tức là r có màu trắng. Mà nên trái với cách chọn p. Hay k phải là bội của p. (1)
0.5 đ
Ta chứng minh: bất kỳ số nào là bội của p cũng đều được tô màu trắng.
Thật vậy, giả sử tồn tại số được tô màu đen. 
Khi đó: có màu đen.
 có màu đen
0.5 đ
Vậy tất cả các số lớn hơn k và là bội của p đều có màu đen. Mặt khác, theo (1) thì tất cả các số tô màu trắng đều là bội của p. Do đo, số lượng tô màu trắng là hữu hại (trái với giả thuyết)
0.5 đ
Do vậy, một số có màu trắng khi và chỉ khi số đó là bội của p. Mà a có màu trắng nên nên có màu trắng.
0.5 đ