Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 - 2016 đề thi môn : Toán thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC
PHÒNG GD&ĐT BÙ ĐĂNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN BÙ ĐĂNG
NĂM HỌC 2015-2016
Đề thi môn : Toán
Ngày thi: /1/2016
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1(5,0 điểm): 
1. Cho biểu thức:	. 
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A;
b) Tính giá trị của A, biết.
2. Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình: 
Bài 2(5,0 điểm): 
1. Giải hệ phương trình: 
2. Cho phương trình 
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm. 
Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H (.
1. Chứng minh tứ giác ; nội tiếp.
2. Chứng minh 
3. Chứng minh KA là phân giác của góc 
4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//MN.
Bài 4(2,0 điểm):
Cho tứ giác lồi có và không song song với nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Chứng minh rằng: 
Bài 5(3,0 điểm): 
1. Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh chia hết cho 6.
2. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của . 
- - - Hết - - -
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: 
Chữ ký của giám thị 1: .
Chữ ký của giám thị 2: .
HƯỚNG DẪN GIẢI-THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN BÙ ĐĂNG NĂM HỌC 2015-2016
Bài 
Nội dung
Điểm
1
(5đ)
a) Rút gọn .	
+) ĐK: 
0,50
+) 
0,50
0,75
b) Tính giá trị của A khi .
Ta có 
0,50
0,75
2. Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình: 
Vìvà y nguyên 
0,50
1,00
Vậy pt đã cho có nghiệm 
0,50
2
(5đ)
1.Giải hệ phương trình: (1)
Pt (1) 
0,50
+) thế vào (2) ta được 
0,25
0,50
+) thế vào (2) ta được 
0,50
Vậy hpt đã cho có 4 nghiệm 
0,25
2. Cho phương trình 
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m
Ta có nên pt (1) có nghiệm với mọi m
1,00
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm. 
Vì pt (1) có nghiệm với mọi m nên pt (1) có hai nghiệm đều âm 
0,50
0,50
0,50
Suy ra thì pt (1) có ít nhất một nghiệm không âm.
0,50
3
(5đ)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H (.
Vẽ đúng hình nền cho 0,5 điểm 
0,50
1.Chứng minh tứ giác BDEC; BDHK nội tiếp.
+) suy ra tứ giác BDEC nội tiếp
0,50
+) suy ra tứ giác BDHK nội tiếp
0,50
2. Chứng minh 
Ta có: chung và (cùng bù ) 
0,50
 (đpcm)
0,50
3. Chứng minh KA là phân giác của góc 
+) tứ giác nội tiếp 
+) tứ giác nội tiếp 
+) tứ giác nội tiếp 
0,75
Từ (1), (2) và (3) suy ra ( do )
Suy ra là phân giác của góc .
0,25
4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//MN.
+) Kẻ tiếp tuyến Ax của (O) 
0,25
0,25
Lại có ( cùng bù góc )
 Ax//DE
0,25
mà 
0,25
+ Mặt khác: Trung điểm M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC
mà N là trung điểm của dây DE ( DE không đi qua tâm M)
0,25
Từ (4) và (5) suy ra MN //OA (đpcm)
0,25
4
(2đ)
Bài 4(2,0 điểm): Cho tứ giác lồi có và không song song với nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Chứng minh rằng: 
0,25
Gọi I là trung điểm của AC, khi đó MI và NI lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ACD nên và 
0,50
0,25
Mặt khác: Tam giác MNI có 
0,50
Vậy 
5
(3đ)
Bài 5(3,0 điểm): 
1. Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh chia hết cho 6.
Đặt 
Ta có : là tích của ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết 
cho 2 và một số chia hết cho 3, mà nên chia hết cho 6.
0,25
0,50
Tương tự : và chia hết cho 6
0,25
Vậy M chia hết cho 6.
0,50
2. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Ta có 
0,50
0,50
 Dấu xảy ra 
0,25
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P bằng 11 tại 
0,25
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng giám khảo vẫn cho điểm theo thang tương ứng.
- - - Hết - - -