Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2016-2017 đề thi môn toán (dành cho chuyên toán) thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 ĐỀ CHÍNH THỨC 
SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
NĂM HỌC 2016-2017
ĐỀ THI MÔN TOÁN 
(DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN)
Ngày thi: 07 tháng 6 năm 2016
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)
Câu I (2,0 điểm)
1) Rút gọn các biểu thức sau:
a) 	b) 
2) Giải phương trình sau: 
Câu II (3,0 điểm)
	1) Chứng minh rằng nếu a và b là các số tự nhiên lẻ thì không phải là số chính phương.
	2) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 
	3) Giải hệ phương trình sau: 
Câu III (1,0 điểm) 
	Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24km. Cùng lúc đó một bè nứa cũng trôi từ A đến B với vận tốc dòng nước là 4km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Câu IV (2,0 điểm) 
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Một điểm M nằm trên cung AB (M khác A, M khác B). Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O) tại K. Các tia AH, BM cắt nhau tại S.
Chứng minh điểm S nằm trên một đường tròn cố định.
2) Kéo dài AM cắt đường tròn (B; BA) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh tứ giác BISN là tứ giác nội tiếp. 
Câu V (2,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có , đường trung tuyến AM. Tính số đo góc .
2) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn .
Chứng minh rằng: 
-------- Hết --------
Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: ......................... Phòng thi: .......
Giám thị 1 (Họ và tên, chữ ký): ...................................................................................................
Giám thị 2 (Họ và tên, chữ ký): ...................................................................................................
SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH
 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
NĂM HỌC 2016-2017
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN)
to¸n
(Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)
Câu I (2,0 điểm)
Phần, ý
Nội dung
Điểm
1
0.5đ
ĐK: 
0.5đ
2
Đặt phương trình đã cho trở thành: (loại)
0.5đ
Với KL
0.5đ
Câu II (3,0 điểm)
Phần, ý
Nội dung
Điểm
1
Vì a, b là các số tự nhiên lẻ, đặt 
0.5đ
Ta có một số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4
Mà chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4, nên không phải là số chính phương
0.5đ
2
(vì x=2 không là nghiệm)
0.25đ
0.25đ
 y nguyên khi 
0.25đ
Vậy pt có nghiệm nguyên 
0.25đ
3
ĐKXĐ: x > 0; y > 0
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương ta có:
0.25đ
Đẳng thức xảy ra khi .
0.25đ
Với thay vào pt (2) ta được 
0.25đ
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 
0.25đ
Câu III (1,0 điểm)
Phần, ý
Nội dung
Điểm
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) (x > 4)
Vận tốc xuôi dòng là: ; vận tốc ngược dòng là: 
0.25đ
Thời gian xuôi dòng là , thời gian ngược dòng là .
0.25đ
Thời gian ca nô đi A đến B rồi trở lại đến C là 8:4=2 giờ
Ta có phương trình 
0.25đ
Giải phương trình được . KL
0.25đ
Câu IV (2,0 điểm)
Phần, ý
Nội dung
Điểm
1
(vì sđ cung AH bằng sđ cung HM)
0.25đ
(cùng phụ với )
0.25đ
cố định
0.25đ
Vậy S thuộc đường tròn (B; BA)
0.25đ
2
Tứ giác SHIM nội tiếp (cùng chắn cung IM)
0.25đ
(cùng chắn cung BM)
0.25đ
(vì tam giác ABN cân tại B)
0.25đ
nên BISN nội tiếp
0.25đ
Câu V (2,0 điểm)
Phần, ý
Nội dung
Điểm
1
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC
Đặt lấy D đối xứng với B qua H 
0.5đ
Suy ra tam giác AHM vuông cân tại H 
0.5đ
2
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
0.25đ
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương, ta có: 
0.25đ
Do đó 
Tương tự, ta có 
, 
0.25đ
Cộng vế với vế các bất đảng thức trên ta được
Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
0.25đ
* Chú ý: Các lời giải đúng khác đều được xem xét cho điểm tương ứng.