Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học 2015 - 2016 môn: Toán thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Trang 1/1. 
Số báo danh:  Họ tên: ... 
Bài 1: (3,0 điểm) 
 Cho biểu thức: A = 1 2 x 2 1 2:
x 1x 1 x x x x 1 x 1
 
−  
− −   
−+ − + − −  
 a) Rút gọn biểu thức A; 
 b) Tính giá trị của biểu thức tại x = ( )3 32 7 50 7 50+ + − 
Bài 2: (4,0 điểm) 
 2.1. Chứng minh: 5n + 3 - 3.5n +1 + 26n + 3 59⋮ (với mọi n ∈ N) 
 2.2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2x2 + xy - y2 - 5 = 0 
Bài 3: (5,0 điểm) 
 3.1. Tìm m để phương trình mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0 cĩ hai nghiệm 
x1, x2 thỏa mãn 2 21 2x x 1+ = 
 3.2. Giải phương trình: 
2
1 1 2
x 2 x
+ =
−
 3.3. Giải hệ phương trình: 
2
2
2x y(1 x )
2y x(1 y )
= −

= −
Bài 4: (6,0 điểm) 
 Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây 
MN vuơng gĩc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao 
điểm của AK và MN. 
 a) Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp; 
 b) Tính tích AH.AK theo R; 
 c) Xác định vị trí của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn 
nhất và tính giá trị lớn nhất đĩ. 
Bài 5: (2,0 điểm) 
 Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: 
1 1 1 1 1 13
a b c a 2b b 2c c 2a
 
+ + ≥ + + + + + 
--------------------Hết------------------ 
UBND TỈNH LAI CHÂU 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 
 Mơn: Tốn 
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 03/4/2016 
ðỀ THI CHÍNH THỨC 
(ðề thi cĩ 01 trang) 
Trang 2/1. 
Bài Ý ðáp án 
ðKXð: x ≥ 0, x ≠ 1 
A= 1 2 x 2 1 2:
x 1 (x 1)( x 1) x 1 ( x 1)( x 1)
   
−
− −   
+ − + − − +  
 = 
x 2 x 1 x 1
:(x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
− + −
− + − +
a 
 = 
2( x 1) x 1
( x 1)( x 1) x 1
− −
=
+ − +
ðặt N = 3 37 50 7 50+ + − . Lập phương hai vế ta được: 
N3 = 14 - 3N⇔ N3 + 3N - 14 = 0 
⇔ (N - 2)(N2 + 2N + 7) = 0 
⇔ N = 2 hoặc (N + 1)2 + 6 = 0 (loại) 
Bài 1 
(3,0 điểm) 
b 
Với N = 2 x 4⇒ = . Vậy: x = 4 thì A = 1
3
Ta cĩ: 5n + 3 - 3.5n +1 + 26n + 3 = 125.5n - 15.5n + 8.64n 
= 110.5n + 8.64n = (118 - 8).5n + 8.64n 
=118.5n + 8(64n - 5n) = 2.59.5n + 8.59.Q 2.1 
= 59(2.5n + 8Q) 59⋮ . Vậy 5n + 3 - 3.5n +1 + 26n + 3 59⋮ 
2x2 + xy - y2 - 5 = 0 ⇔ (x + y)(2x - y) = 5 vì x, y Z∈ nên: 
TH1: 
x y 1 x 2
2x y 5 y 1
+ = = 
⇔ 
− = = − 
TH2: 
x y 5 x 2
2x y 1 y 3
+ = = 
⇔ 
− = = 
TH3: 
x y 1 x 2
2x y 5 y 1
+ = − = − 
⇔ 
− = − = 
TH4: 
x y 5 x 2
2x y 1 y 3
+ = − = − 
⇔ 
− = − = − 
Bài 2 
(4,0 điểm) 
2.2 
Vậy (x, y) {(2; 1),(2; 3),( 2;1),( 2; 3)}∈ − − − − 
3.1 ðiều kiện để phương trình cĩ hai nghiệm x1, x2 là: 
m 0
' 0
≠
⇔∆ ≥
 m 0≠ và m 4≤ 
Khi đĩ: 2 21 2x x 1+ = ⇔ (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 1. Áp dụng hệ thức Viet 
⇒ m2 - 10m + 16 = 0 ⇔ m = 2 (t/m), m = 8 (loại) 
Vậy m = 2 thỏa mãn đề bài ra. 
ðKXð: 2 x 2− < < và x 0≠ 
3.2 
ðặt y = 22 x 0− > 2 2x y 2⇒ + = 
Trang 3/1. 
Khi đĩ ta cĩ hệ: 
2 2
x y 2xy x y 2xy
(xy 1)(2xy 1) 0x y 2
+ = + = 
⇔ 
− + =+ = 
TH1: 
xy 1
x y 1
x y 2
=
⇔ = =
+ =
TH2: 
1 3 1 31 x ;y
xy 2 22
1 3 1 3x y 1 x ;y
2 2

− + − −
= = 
= − ⇔

− − − + + = − = =

vì y > 0 nên x = 1 3
2
− −
. Vậy x = 1 hoặc x = 1 3
2
− −
2
2
2x y(1 x )
2y x(1 y )
= −

= −
 Trừ vế cho vế ta được: 
2x - 2y = y - x - xy(x - y) (x y)(3 xy) 0⇔ − + = 
TH1: 
2 2
x y x y
x y 0
2y x(1 y ) y(y 1) 0
= = 
⇔ ⇔ = = 
= − + = 
TH2: 
2
xy 3
2y x(1 y )
= −

= −
Dễ thấy y 0≠ nên ta cĩ: 
2
xy 3 x 3, y 3
y 3 x 3, y 3
= − = = −
⇔ ⇔ 
= = − = 
Bài 3 
(5,0 điểm) 
3.3 
Vậy (x, y) {(0;0),( 3, 3),( 3; 3)}∈ − − 
Bài 4 
(6,0 điểm) 
600
600
I
N
M
H
K
OC
BA
Vì  0AKB 90= (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) 
a 
⇒   0 0 0AKB HCB 90 90 180+ = + = ⇒BCHK nội tiếp 
∆ AHC đồng dạng ABK∆ (g.g) ⇒ AH AC
AB AK
= 
b 
⇒AH.AK = AB.AC = 2R .2R R
2
= 
Trang 4/1. 
∆ MAB vuơng tại M cĩ MC ⊥ AB ⇒MC2 = CA.CB = 
23R
4
⇒MC = 3R
2
⇒MN = 2MC = 3R 
∆ MCB vuơng tại C ⇒MB2 = MC2 + BC2 = 3R2 
⇒BM = 3R = MN. 
Mà NB = MB ⇒MB = NB = MN ⇒ MNB∆ là tam giác đều. 
Trên đoạn KN lấy điểm I sao cho IK = IB,   0NMB IKB 60= = 
⇒ ∆ KIB đều ⇒KI = KB (1) 
Mặt khác: BIN BKM∆ = ∆ (c.g.c) ⇒ NI = MK (2) 
Từ (1) và (2) ⇒KM + KB + KN = KN + KN = 2KN 
ðể KM + KB + KN lớn nhất khi KN lớn nhất 
⇒KN là đường kính của (O) ⇒K là điểm chính giữa của MB 
c 
khi đĩ: max(KM + KB + KN) = 4R 
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương x, y, z ta cĩ: 
 (x + y + z) 3 31 1 1 13. xyz.3. 9
x y z xyz
 
+ + ≥ = 
 
1 1 1 9
x y z x y z
⇒ + + ≥
+ +
 . Áp dụng bất đẳng thức này ta cĩ: 
1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9
; ;
a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a
+ + ≥ + + ≥ + + ≥
+ + +
1 1 1 1 1 13 9
a b c a 2b b 2c c 2a
   
⇒ + + ≥ + +   + + +   
Bài 5 
(2,0 điểm) 
hay: 1 1 1 1 1 13
a b c a 2b b 2c c 2a
   
+ + ≥ + +   + + +   