Giáo án môn toán - Bài 3: Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính

1BÀI 3PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNHGv TRẦN XUÂN THIỆNTốn cao cấp 2Ngày 03/11/2008Kiểm tra bài cũ Giải phương trình sau :y’’ - 5y’ + 6y = 0Bảng tĩm tắt về nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + py’ + qy = 0 (11.30)Nghiệm của phương trình đặc trưngr2 + pr + q = 0 (11.31)Nghiệm của phương trình (11.30)r1 , r2 thực , r1 ≠ r2r1 = r2 = rr1 , r2 = α ± iβ ,α ,β thựcKiểm tra bài cũ Giải phương trình sau :y’’ -5y’+6y = 0Giải :Phương trình đặc trưng :r2 – 5r + 6 = 0 (*) 	 Phương trình (*) cĩ nghiệm : Vậy nghiệm tổng quát tương ứng là : Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính3.4 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính khơng thuần nhất với hệ số khơng đổi.3.4.1. f(x) = eαx.Pn(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n.3.4.2. f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx , β là hằng số ,với Pn(x) là một đa thức bậc n.3.4.1. f(x) = eαx.Pn(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n.PTVTC2 cĩ dạng y’’ + py’ + qy = eαx.Pn(x) Nghiệm riêng của phương trình (11.32) cĩ dạng: Y = e αx.Qn(x) (11.33) với Qn(x) là đa thức bậc nCác hệ số Qn(x) được xác định bằng cách lấy đạo hàm các cấp của Y thay vào phương trình đã cho rồi cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bội của x.Nghiệm riêng của phương trình (11.32) cĩ dạng : 	Y = x. e αx.Qn(x)Nghiệm riêng của phương trình (11.32) cĩ dạng : 	Y = x2. e αx.Qn(x)α2 + pα + q ≠ 0Ví dụGiải các phương trình sau : 	1. y’’ + y’ - 2y = 1 – x 	2. y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 ) 	3. y’’ -2y + y = x.ex1.Giải phương trình :	y’’ + y’-2y = 1 – xGiải : Vế phải cĩ dạng : f(x) = e 0x.P1(x) , α = 0, P1(x) = 1 - xPhương trình đặc trưng :r2 + r – 2 = 0  r = 1; r = -2Nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + y’-2y = 0 là : y = C1ex + C2e- 2xVì α = 0 khơng là nghiệm phương trình đặc trưng vậy nghiệm riêng Y cĩ dạng: Y = e 0x.P1(x) = P1(x)  y = Ax + B ( A, B là hằng số )Y’ = A , Y’’ = 0 . Thay vào phương trình đã cho ta được :Y’’ + Y’ – 2Y = A – 2(Ax + B) = -2Ax + A – 2B = 1 - xĐồng nhất hệ số ta được : Vậy :2.Giải phương trình : 	y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 ) Giải : Vế phải cĩ dạng : eαx.P1(x) , trong đĩ α = 1: P1(x) là đa thức bậc một.Phương trình đặc trưng : r2 - 4r + 3 = 0  r = 1 và r = 3 .Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất : y’’ – 4y’ + 3y = 0 là : y = C1ex + C2e3xVì α = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng , ta tìm nghiệm riêng Y của phương trình đã cho dưới dạng : 	Y = ex. x.(Ax + B) = ex.(Ax2 + Bx)Do đĩ : Y’ = ex.(Ax2 + Bx) + ex.(2Ax + B) = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B]	Y’’ = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B] + ex [2Ax2 + (B + 2A)]	= ex [Ax2 + (B + 4A)x + 2B + 2A] Thế vào phương trình đã cho: ex [- 4Ax + 2A – 2B] = ex (x + 2)Vậy : Nghiệm tổng quát phải tìm là : 3.Giải phương trình : 	 y’’ -2y + y = x.ex Giải : Vế phải cĩ dạng : eαx.P1(x) , trong đĩ α = 1, P1(x) = x là đa thức bậc một.Phương trình đặc trưng : r2 - 2r + 1 = 0  r = 1Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất : 	y’’ – 2y’ + y = 0 là : y = ex (C1+ C2x)Vì α = 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng , ta tìm nghiệm riêng Y của phương trình đã cho dưới dạng : 	Y = ex. x2.(Ax + B) = ex.(Ax3 + Bx2)Do đĩ : 	Y’ = ex. (Ax3 + Bx2) + ex. (3Ax2 + 2Bx) = ex [Ax3 + (B + 3A)x2 + 2Bx]	Y’’ = ex [Ax3 + (B + 3A)x2 + 2Bx] + ex [3Ax2 + 2(B + 3A)x + 2B]	 = ex [Ax3 + (B + 6A)x2 + 2(2B + 3A)x + 2B] Thế vào ta đc phương trình : ex [6Ax + 2B] = ex xNghiệm tổng quát phải tìm là : 3.4.2. f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx ,với Pm(x), Pn(x) lần lượt là đa thức bậc m, n. β là hằng số y’’ + py’ + qy = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx± iβ khơng là nghiệm phương trình đặc trưng (11.31) thì nghiệm riêng của (11.32) cĩ dạng : Y= Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx với Q1(x), R1(x)là những đa thức bậc l = max(m,n)± iβ là nghiệm phương trình đặc trưng (11.31) thì nghiệm riêng của (11.32) cĩ dạng :Y = x[Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx]với Q1(x), R1(x)là những đa thức bậc l = max(m,n)Ví dụ :Giải các phương trình sau: 	1. y’’ - 3y’ + 2y = 2sinx	2. y’’ + y = x.cosxVí dụ 1: Giải phương trình : y’’ - 3y’ + 2y = 2sinxPhương trình đặc trưng : r2 - 3r +2 = 0  r = 1, r = 2 Nghiệm tổng quát của phương trình là : y’’ - 3y’ + 2y = 0 là : 	y = C1ex + C2e2x Phương trình vi phân đã cho cĩ dạng : P0(x)sinβx với P0(x) = 2, β = 1Do ±iβ = ±i khơng là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình đã cho cĩ dạng : Y = A.cosx + B.sinx 	Y’ = - Asinx + Bcosx	Y’’= -Acosx - BsinxThế vào phương trình ta được : (A – 3B)cosx + (3A + B)sinx = 2 sinxNghiệm của phương trình đã cho là : Ví dụ 2 : Giải phương trình sau :y’’ + y = x.cosxGiải : Phương trình đặc trưng : r2 + 1 = 0  r = ±i nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là : y = C1cosx + C2sinxVế phải của phương trình đã cho cĩ dạng P1(x)cosβx , với P1(x) = x , β = 1Vì : ±iβ = ±i là nghiệm của phương trình đặc trưng, ta tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng : Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx] = [(Ax2 + Bx)cosx + (Cx2 + Dx)sinx]Do đĩ :Y’ = [Cx2 + (D + 2A)x + B]cosx + [-Ax2 + (2C – B)x + D]sinxY’’ = [-Ax2 + (4C – B)x + 2D + A]cosx + [-Cx2 – (D + 4A)x + 2C -2B]sinxThế vào phương trình đã cho ta được: 	(4C + 2D + 2A)cosx + (-4Ax + 2C – 2B)sinx = xcosxVậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : Bảng tĩm tắt về dạng của nghiệm riêng của phương trình (11.32) theo dạng của vế phải của nĩDạng của vế phải f(x)Dạng của nghiệm riêng Yeαx.Pn(x) e αx.Qn(x) Nếu α khơng là nghiệm phương trình (11.31)x. e αx.Qn(x) Nếu α là nghiệm đơn của phương trình (11.31)x2. e αx.Qn(x) Nếu α là nghiệm kép của phương trình (11.31)Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx a) Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx , l = max(m,n) .Nếu ± iβ khơng là nghiệm phương trình đặc trưng (11.31).b) x[Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx] , l = max(m,n) .Nếu ± iβ khơng là nghiệm phương trình đặc trưng (11.31).Nhiệm vụ về nhà1. Lý thuyết : cách giải phương trình vi phân tuyến tính khơng thuần nhất với hệ số khơng đổi.2. Bài tập : bài 11(Tr.206)Ứng dụng giải phương trình vi phân bằng phần mềm MapleCú Pháp: dsolve(ODE) : giải phương trình vi phân ODE. dsolve(ODE, var) : giải phương trình vi phân ODE 	theo biến var. dsolve({ODE, ICs}, var) : giải phương trình vi phân ODE với điều kiện ban đầu ICs theo biến var.VD: giải phương trình: y’’ + 4y’ + y = 0-Khai báo phương trình :> ODE:=diff(y(t),t$2)+4*diff(y(t),t)+y(t)=0;-Giải phương trình:> dsolve(ODE,y(t));Chân thành cảm ơn quý Thầy Cô!