Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học: 2009 - 2010 môn: Toán thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Nghệ An
Năm học: 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0đ). Cho biểu thức A = 
Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
Tính giá trị biểu thức A khi x = 9/4.
Tìm tất cả các giá trị của x để A <1.
CâuII: (2,5đ). Cho phương trình bậc hai, với tham số m: 2x2 – (m+3)x + m = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = x1x2.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
Câu III: (1,5đ).
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.
Câu IV: (3,0đ). Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định và CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt các đường thẳng AC và AD lần lượt tại E và F.
1. Chứng minh rằng BE.BF = 4R2.
2. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn.
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Gợi ý Đáp án
Câu I: 
1. Đkxđ: x≥ 0, x ≠ 1
 A = 
2. Với x = 9/4 => A = .
3. Với A Û x<1
 Vậy để A < 1 thì 0 ≤ x < 1.
Câu II: 
1. Với m = 2 thì phương trình trở thành: 2x2 – 5x + 2 = 0
Phương trình có hai nghiệm là: 2 và 1/2.
2. Ta có D = (m + 3)2 – 4.2.m = m2 - 2m + 9= (m - 1)2 + 8 
=> D>0 với mọi m => phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo Viét ta có: 
Mà x1 + x2 = x1x2 =>2(m+3) = 5m Û m = 2.
3. Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1.x2 = (m + 3)2:4 – 2m = (m2 - 2m + 9):4 = 
Vậy MinP = Û m =1
Câu III: Gọi chiều dài của thửa ruộng là x(m) 
 Chiều rộng của thửa ruộng là y(m) ( x>45, x>y)
 => Giải hệ ta được x = 60, y = 15 (thoả mãn)
Vậy diện tích của thửa ruộng là: 60.15 = 900(m2).
Câu IV: 
a. Ta có tam giác AEF vuông tại A (Góc A là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà AB là đường cao.
=> BE.BF = AB2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
=> BE.BF = 4R2 ( Vì AB = 2R)
b. Ta có góc CEF = góc BAD (Cùng phụ với góc BAE)
Mà góc BAD = góc ADC ( Tam giác AOD cân)
=> Góc CEF = góc ADC => Tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn.
c. Gọi trung điểm của EF là H.
=> IH // AB (*)
 Ta lại có tam giác AHE cân tại H (AH là trung tuyến của tam giác vuông AEF, góc A = 900) => góc HAC = góc HEA (1)
 Mà góc HEA + góc BAC = 900 (2)
 Mặt khác góc BAC = góc ACO ( tam giác AOC cân tại O) (3)
Từ (1), (2) và (3) => AH ^CD
Nhưng OI ^CD 
=> AH//OI (**)
Từ (*) và (**) => AHIO là hình bình hành => IH = AO = R (không đổi).
Nên I cách đường thẳng cố định EF một khoảng không đổi = R => 
I thuộc đường thẳng d // EF và cách EF một khoảng =R.