PHềNG GIÁO DỤC THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HềA ĐỀ THI OLYMPIC MễN: TOÁN – LỚP 8 Năm học 2014 – 2015 Thời gian: 120 phỳt Bài 1: ( 6 điểm) Cho Chứng minh rằng Giải cỏc phương trỡnh sau: ( 2x + 1)( x +1)2( 2x + 3) = 18 Bài 2:( 4 điểm) Tỡm nghiệm nguyờn khụng õm của phương trỡnh sau: ( 1 + x2)( 1 + y2) +4xy + 2(x + y)( 1 + xy) = 25 Tỡm số tự nhiờn n để biểu thức là số nguyờn tố. Bài 3:( 3 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 - xy + y2 – x + y +1 Cho và a + b + c = 2 Tỡm giỏ trị lớn nhất của P = a2 + b2 + c2 Bài 4:(6 điểm). Cho hỡnh vuụng ABCD, O là giao điểm của hai đường chộo. Lấy điểm G thuộc cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD sao cho gúc . Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: Tam giỏc OHD đồng dạng với tam giỏc OGB. MG song song với AH Bài 5:(1 điểm) Cho M = 19931997 + 19971993 Chứng minh rằng: M chia hết cho 15 (Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm) PHềNG GIÁO DỤC THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HềA ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM OLYMPIC MễN: TOÁN – LỚP 8 Năm học 2014 – 2015 Thời gian: 120 phỳt Bài Nội dung Điểm Bài 1 ( 6 điểm) 1) Từ gt => Hay x2+y2+z2= 0 (*) Suy luận để cú ; ; Và x2; y2; z2 0 (*) nờn đẳng thức (*) sảy ra khi và chỉ khi x2= y2= z2 =0 hay x = y = z = 0. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 0,5 đ 0,5 0,5 0,5 2) a/ ( 2x + 1)( x +1)2( 2x + 3) = 18 ú ( 2x + 1)( 2x +2)2( 2x + 3) = 72 Đặt 2x + 2 = y, ta cú pt: ( y – 1)y2( y + 1) = 72 ú y4 – y2 – 72 = 0 Giải pt tỡm được y = 3 hoặc y = - 3 => tỡm được x = 0,5 hoặc x = -2,5 và kết luận. 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ b/ suy luận để cú => Mỗi biểu thức trong dấu gttđ luụn dương Ta cú pt: Thu gọn dược pt: Kết luận 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 0,25 đ Bài 2 ( 4 điểm) a)( 1 + x2)( 1 + y2) +4xy + 2(x + y)( 1 + xy) = 25 Biến đổi pt về dạng ( x + 1)( y + 1) = 5 Lập luận để tỡm được ( x;y) = ( 0;4), ( 4;0) 1 đ 1 đ b) Đặt Suy luận để cú n( n + 3) chia hết cho 4 Vỡ n và n+ 3 khụng thể cựng chẵn =>n 4 hoặc n + 3 4 - TH1: n 4 . Xột lần lượt n = 0; n = 4; n = 4k( ) - TH2: n + 34 . Xột lần lượt n + 3 = 4; n + 3 = 4k( ) Kết luận : n = 4 thỡ A là số nguyờn tố 7 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 3 ( 3 điểm) a) Biến đổi x2 - xy + y2 – x + y + 1 = Suy luận để cú GTNN của biểu thức là khi và chỉ khi x = và y = 1 đ 0,5 đ b) Suy luận để cú a( a – 1) 0 ú a2 a tương tự b2 b; c2 c suy ra được a2 + b2 + c2 a + b + c = 2 M B A Tỡm được GTLN của P bằng 2 khi và chỉ khi a = b = 1; c = 0 hoặc b = c = 1; a = 0 hoặc a = c = 1; b = 0 0,5 đ 0,25 đ 0,25đ 0,5 đ Bài 4 ( 6 điểm) O G H C D a) Suy luận để cú Chứng minh được 0,5 đ 0,5 đ 1,5 đ b) Đặt BM = a => AB = AD = 2a; OB = OD = a Chứng minh được: HD.BG = AD.BM 0,25 đ 1 đ Chứng minh được 1,25 đ Chứng minh được => AH//MG 1, đ Bài 5 ( 2 điểm) Kết luận được M 15 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ DUYỆT CỦA TỔ CHUYấN MễN Người ra đề
Tài liệu đính kèm: