Đề thi học sinh giỏi, năm học 2013 - 2014 môn: Toán lớp 8 thời gian làm bài 150 phút

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
CẨM GIÀNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI, NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán lớp 8
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1( 2 điểm ): Cho biểu thức:
a) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết 
 A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
b) Cho x + y = 1 và x y 0. Chứng minh rằng: 
Câu 2( 2 điểm): Giải phương trình và bất phương trình sau:
 a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 
 b) 
Câu 3(2 điểm):
 a) Chứng minh rằng với a, b, c là các số dương, ta có: (a+b+c)(
 b) Tìm số dư trong phép chia của đa thức ( x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2014 chia cho đa thức x2 + 10x + 21
Câu 4( 3 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
 a) Chứng minh CE vuông góc với DF.
 b) Chứng minh .
 c) Gọi K là giao điểm CM và DA. Chứng minh MAD cân.
Câu 5(1 điểm ): : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: 
ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ).
----------------------------------- Hết ---------------------------------
ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM 
CỦA ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI HUYỆN, NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán lớp 8
Đáp án- biểu điểm gồm có 03 trang
Câu
phần
Đáp án
Điểm
1
a
Xét 
Với x Z thì 5x+ 4 Z nên A B khi Z 
 7 ( 2x – 3)
 Mà Ư(7) = x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A B 
0,25
0,25
0,5
b
Biến đổi = 
 = 
 ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) 
 = 
 = 
 = = 
 = 
= 
= 
Suy ra 
0,25
0,25
0,25
 0,25
2
a
(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x 	 ta được phương trình	 
 y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0	
(y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 	
* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x	 
* x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0	
x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1	Vậy nghiệm của phương trình là: x = - 2 ; x =1	
0,25
0,25
0,25
 0,25
b
Vì ; ; 	
Do đó:	 
 x + 2009 < 0 x < -2009	Vậy nghiệm của bất phương trình là x<-2009	 
0,25
0,25
0,25
 0,25
3
a
Ta có:
A=
 =
Mà: (BĐT Cô-Si)
Do đó A Vậy A
0,25
 0,25
0,25
 0,25
b
Ta có 
P(x) = ( x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2014
 = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 24)+2014
Đặt t = x2 + 10x + 21
p(x) = ( t - 5)( t + 3) + 2014 = t2 - 2t + 1994=t(t-2) +1999 
Do đó khi chia t(t – 2) + 1999 cho t ta được số dư là 1999
0.25
0.25
0.25
0.25
4
Hình vẽ đúng
0,25
a
 vuông tại C 
 vuông tại M, hay CE DF.
0,25
0,25
0,25
b
Xét có:
 đồng dạng (gg)
Mà BC = a , do đó : 
0,5
0,25
0,25
c
Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có :
 AM là đường trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M cân tại A
0,5
0,5
5
Ta có: 
(1).
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có: a2 < a.(b+ c)a2 < ab + ac.
Tương tự: b2 < ab + bc; c2 < ca + bc. Suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (2).
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chú: Học sinh giải được bằng cách khác mà đúng vẫn có điểm tối đa.