Giáo án lớp 8 môn Đại số - Phân tích đa thức thành nhân tử

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử ( Gợi ý: Dựng hằng đẳng thức)
a) 25x2 - 10xy + y2 b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
c) 81x2 – 64y2 d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2
e) f) 
 ( Dựng hằng đẳng thức số 3) ( Dựng hằng đẳng thức số 6 và 7) 
Bài 2: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : ( Dựng phương phỏp nhúm hạng tử)
a) b) 
c) x2y + xy2 – x – y d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 f) x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3 
Bài 3: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : ( Dựng phương phỏp tỏch hạng tử)
a) x2 - 6x + 8 b) x2 – 8x + 12
c) d) x3 – 7x – 6 
 ( Tỏch c - a = c - b + b - a) ( Tỏch - 7x = -4x - 3x )
Bài 4: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : ( Dựng phương phỏp thờm - bớt hạng tử )
a) x4 + 4 b) a4 + 64
c) x5 + x + 1 d) x5 + x - 1 
Bài 4*: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : ( Dựng phương phỏp đặt ẩn phụ)
Bài giải mẫu : (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 
Đặt: x2 + x + 1 = y , ta cú x2 + x + 2 = y + 1 . 
Ta cú: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12 
= y2 + y – 12 = y2 – 9 + y – 3 = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 4)
Thay x2 + x + 1 = y , ta được :
(x2 + x + 1 – 3)( x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5)
 = [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5)
a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 
c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6 
Bài 5: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : ( Dựng phối hợp nhiều phương phỏp )
a) x2 + 4xy + 3y2 b) 2x2 - 5xy + 2y2  ( Tỏch -5xy = -4xx - xy)
c) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) d) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2
Bài 6: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : ( Dựng phương phỏp nhẩm nghiệm)
Định lớ ( Bedu) : Dư trong phộp chia f(x) cho x - a bằng số a.
Suy ra : Nếu f(x) cú nghiệm x = a thỡ f(a) = 0. Khi đú, f(x) cú một nhõn tử là x – a và f(x) cú thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
Bài giải mẫu : Phõn tớch đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 thành nhõn tử
 Với x = -1. ( Dựng MTBT để tỡm 1 nghiệm)
 Ta cú : (-1)3 - 5.(-1)2 + 3.(-1) + 9 = -1 - 5 -3 + 9 = 0. Vậy x = -1 là một nghiệm của đa thức nờn đa thức chia hết cho x - (-1) = x + 1.
Từ cơ sở trờn, ta phõn tớch đa thức thành : 
 x3 – 5x2 + 3x + 9 = x3 + x2 – 6x2 - 6x  + 9x + 9 ( Để làm xuất hiờn nhõn tử x + 1)
= ( x3 + x2) – ( 6x2 + 6x)  + ( 9x + 9 ) = x2( x + 1) - 6x( x + 1) + 9( x + 1)
= (x + 1)( x2 - 6x + 9) = ( x + 1)( x - 3)2
a) x2 – 7x + 10 b) 4 x2 – 3x – 1
c) d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) 
e) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b) f) x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz
Bài 7: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : 
 ( Dựng phương phỏp nhẩm nghiệm và hoỏn vị vũng)
Bài giải mẫu : Phõn tớch đa thức a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) thành nhõn tử
Xem đa thức với ẩn a. Thay a = b. Ta cú :
b(b2 – c2) – b(b2 – c2) + c(b2 – b2) = 0. Vậy a = b là một nghiệm của đa thức
nờn đa thức chia hết cho a - b.
Mặt khỏc: a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) 
nờn vai trũ của a, b và c là như nhau, suy ra đa thức cũng chia hết cho b - c; c -a.
+ Bậc của đa thức đó cho bằng 3.
Suy ra : a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = k(a-b)(b-c)(c-a) Với 
Cho a = 0; b = 1; c = 2. Ta cú :
 2 = 2k . Vậy a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = (a-b)(b-c)(c-a) 
a) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 b) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) d) bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
BÀI TẬP VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Tỡm x , biết :
a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0 b) 5x(x – 3) + 3 – x = 0
c) (5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2 d) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0
Bài 2: Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi n Z.
Bài 3: Cho a, b , c thỏa món a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc 
Bài 4: Chứng minh rẳng :
a) b) 55n+1 – 552 chia hết cho 54 
Bài 5: Cho x + y = -3 và x.y = -28. Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau theo m,n.
a) x2 + y2	b) x3 + y3 	c) x4 + y4 
Bài 6: a) Cho . Chứng minh : a = b = c = 1.
b) Cho . Chứng minh : a = b = c. ( nhõn 2 vế cho 2)
Chuyển về dạng bỡnh phương của tổng hoặc hiệu
Bài 7:
a) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2.Tớnh giỏ trị của : a4 + b4 + c4.
b) Cho 3 số x,y,z thỏa món điều kiện : x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
 Hóy tớnh giỏ trị của Biếu thức : S = (x-1)2011 + (y - 1)2012 + (z +1)2013
Bài 8: Chứng minh rằng:
a) b) 
Bài 9: Chứng minh rằng:
Nếu x + y + z = 0 thỡ x3 + y3 + z 3 = 3xyz
Bài 10: Chứng minh : a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc 
 ( Viết về dạng bỡnh phương của một tổng)
ìỉìỉìỉ&ìỉìỉìỉ
ĐÁP ÁN
Bài 1: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử ( Gợi ý: Dựng hằng đẳng thức)
a) 25x2 - 10xy + y2 = ( 5x - y)2 
b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = ( 2x + 3y)2
c) 81x2 – 64y2 = (9x)2 - (8y)2 = ( 9x + 8y)(9x - 8y)
d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 = 
e) = 
 = 
f) = 
= 
= 
= = 
= 
Bài 2: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : ( Dựng phương phỏp nhúm hạng tử)
a) = 
b) 
= = 
c) x2y + xy2 – x – y = = 
d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z = 
e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 
= 
f) x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3 
Bài 3: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : ( Dựng phương phỏp tỏch hạng tử)
a) x2 - 6x + 8 = 
b) x2 – 8x + 12 = 
c) 
 d) x3 – 7x – 6 = = 
 = 
Bài 4: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : ( Dựng phương phỏp thờm - bớt hạng tử )
a) x4 + 4 ( Thờm bớt hạng tử )
= 
 b) a4 + 64 
c) x5 + x + 1 
= 
d) x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Bài 4*: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : ( Dựng phương phỏp đặt ẩn phụ)
a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 ( *) . Đặt t = x2 + x. Ta cú :
 (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 = t2 - 2t - 15 = ( t + 3)( t - 5)
( *) 
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 
c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 
d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6 
Giải bài 3:
Cỏch 1 : Từ a + b + c = 0 a + b = - c (a + b)3 = (- c)3
 a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3
 a3 + b3 + c3 = 3abc
 Cỏch 2 :a + b + c = 0 a + b = - c - ab(a + b) = abc 
	 - a2b – ab2 = abc 
Tương tự : - b2c – bc2 = abc ; - c2a – ca2 = abc 
Do đú : 3abc = - a2b – ab2 – b2c – bc2 – c2a – ca2
 3abc = - a2(b + c) – b2(a + c) – c2(a + b)
 3abc = - a2(-a) – b2(-b) – c2(-c) a3 + b3 + c3 = 3abc 
Cỏch 3 :a + b + c = 0 a + b = - c - c2(a + b) = c3
	 -a2c – bc2 = c3
Tương tự : -ab2 – cb2 = b3 ; -ba2 – ca2 = a3
Do đú : -ab2 – cb2 – ab2 – cb2 – ba2 – ca2 = a3 + b3 + c3
 - ac( c + a) – bc(c + b) – ab(b + a) = a3 + b3 + c3
 -ac(-b) – bc(-a) – ab(-c) = a3 + b3 + c3 a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 8: Chứng minh rằng:
a) b) 
Giải a) Ta có: 
 (đpcm)
b) Ta có: 
 (đpcm)
Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = 0 thỡ x3 + y3 + z 3 = 3xyz
Từ x + y + z = 0 x + y = - z nờn x3 + y3 + z 3 = x3 + y3 - ( x+ y) 3 
= x3 + y3 - x3 - y3 - 3xy(x + y) = - 3xy(-z ) = 3xyz.