Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 - Thời gian : 120 phút

 Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Trường THCS Nguyễn Tri Phương Môn Toán 9 - Thời gian : 120 phút
 cd 
Câu 1/ (1đ) Cho x = .Chứng minh rằng x là một số nguyên . 
Câu 2/ (1,5đ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 . 
Chứng minh rằng : .
Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c có nghiệm dương x = m . Chứng minh rằng đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) cũng có nghiệm dương x = n và thỏa mãn m + .
Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình :
(m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham số) . 
Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn nhất . Xác định đường thẳng đó .
Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , trong đó A di động , E cố định ( với A ≠ E) . Qua E vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB .
a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A .
b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K ) .
c/ (1đ) Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH = AK . Khi A di động trên đường tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ?
 Đáp án và biểu điểm chấm Toán 9
Câu
Nội dung
Điểm
Câu1
(1đ)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 2
 (1,5đ)
 Từ đẳng thức với điều kiện do đề bài đã cho suy ra :
 (1)
 (2)
 (2) (3)
 Từ (3) 
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
Câu 3
(1,5đ)
Ta có : x = m là nghiệm của đa thức f(x)= ax2 + bx + c
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25
Câu 4
(2đ)
Nếu m =1 thì d(1) là đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O đến d(1) là 1
Nếu m =2 thì d(2) là đường thẳng x = 1 nên khoảng cách từ O đến d(2) là 1 
 (1)
Nếu m ≠1 và m≠ 2 thì d(m) cắt trục hoành tại Avà cắt trục tung tại BGọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có :
Từ (1) và (2) và do 1 < suy ra khoảng cách lớn nhất từ O đến d(m) là
 Khi đó đường thẳng d có công thức là x - y- 2 = 0 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 5
Câu a (1,5đ) 
Câu b (1,5đ)
Câu c
 (1đ)
Gọi G là trung điểm BC thì OGBC (đl) suy ra 
 GB = GC và GE = GD (đl) 
và OG là đường trung bình ADE nên OG=AE hay AE = 2OG 
Ta có EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG)2 
Suy ra EB2+EC2= 2(BG2 +EG2) 
Áp dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có :
OG2+GE2= r2 và OG2+GB2= R2 
Do đó EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG2+OG2)
 = 2R2 +2r2 ( không đổi)
Trường hợp đặc biệt :
Thì chứng minh trên vẫn đúng
Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm 
Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định , 
Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM của ABC đi qua chính là trọng tâm của ADE
Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tâm ADE và AH AK nên H trùng với G ( là trung điểm chung của hai đoạn thẳng DE và BC ) 
Mà vuông tại E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) )
 Vậy khi A di động trên đường tròn (O; r) thì H di động trên đường tròn đường kính OE 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ