Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 môn Toán - Năm học 2015-2016

NGUYỄN PHƯỚC VỆ - TRƯỜNG THCS QUẾ MINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 
 QUẢNG NAM Năm học: 2015-2016 
 Môn thi: TOÁN. Thời gian 150 phút 
 Ngày thi : 23/4/2016 
Câu 1: (5,0 điểm) 
 a) 
 với x 
 Rút gọn biểu thức P và tìm tập hợp các số nguyên dương x thảo mãn điều kiện: 
 b) 
Câu 2: (4,điểm) 
 a) Giải phương trình 
 b) Giải hệ phương trình 
Câu 3: (4,điểm) 
 a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức 
 b) Cho biểu thức E=(2015a+2016b)(2016a+2015b) với a và b là hai số nguyên dương. 
Chứng mình rằng nếu E chia hết cho 29 thì E có ít nhất một ước là số chính phương. 
Câu 4:(2,điểm) 
 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng MN là tiếp 
tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’), với M thuộc (O), N thuộc (O’) và A gần với MN 
hơn B. Một đường thẳng đi qua A và song song với MN lần lượt cắt (O) và (O’) tại các điểm 
khác A là P, Q và cắt BM tại E, cắt BN tại F. Chứng minh A là trung điểm của đoạn thằng EF. 
Câu 5:(5,điểm) 
 Cho tam giác nhon ABC có AB < AC. Gọi (O) là đường tròn đường kính BC, đường tròn 
này cắt lại các cạnh AC và AB lần lượt tại E và F (E khác C, F khác B), gọi P là giao điểm của 
hai đường thẳng EF và BC, D là hình chiếu vuông góc của A trên BC. 
 a) Chứng minh = . O là tâm đường tròn tâm (O). 
 b) Gọi Q là điểm đối xứng với F qua BC, K là hình chiếu vuông góc của F trên CQ, I là trung 
điểm FK. Đường thằng CI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N, tiếp tuyến của đường tròn (O) 
tại F cắt BC tại M. chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác FMN tiếp xúc với đường 
thằng BC. 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
NGUYỄN PHƯỚC VỆ - TRƯỜNG THCS QUẾ MINH 
* Để phục vụ cho đợt thi học sinh giỏi Toán 9 sắp đến, tôi trình bày bài giải một số 
đề thi thi HSG TOÁN Quảng Nam. Đây là bài giải sơ lược đề thi năm 2015-2016, 
có gì chưa chính xác các bạn trao đổi theo địa chỉ Nguyễn Phước Vệ - Trường 
THCS Quế Minh, cám ơn. 
Câu 1: a)
1

x
x
P 
 
 
  
 
  1
11
1
11
11
11
11
1








 nnnn
nnnn
nn
nnnn
nnnn
Áp dụng, rút gọn thế vào ta có 2016
2016
1
1
1


x
x
x
. KL: 1;20160  xx 
b) 
 
 
     
.24
3
9
8
443
9
2232
9
)2(
1
)2(
1
)32(
1
8
2
8
2
8
32
8
2
2
2
2
32
2
3443
3
41
)
222





























A
abcabc
A
abbcacabbcacabbcacacbcbabacabc
A
ac
ac
cb
bc
ba
ab
ac
ac
cb
cb
ba
ba
A
acbcababc
cab
bac
b
Dấu bằng khi a=b; b=2c và 
 
  3
41



cab
bac
; c=2a  a=b=5; c=5/2 
Câu 2: a) ĐK: 2/5x 
 
   
21;61:
2212210124452
2252*
06106105252
052*
522052
01152
0121522525522
21
22
22
22
22








xxKL
xxxxxxx
xĐKxx
xxxxxx
xĐKxx
xxxx
xx
xxxxxx
NGUYỄN PHƯỚC VỆ - TRƯỜNG THCS QUẾ MINH 
b) {
042
02242
32
3223
yxyyx
yyxxyyxx

 
Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta được: 
x
3
+x
2
y+xy
2
+y
3
+6y+6x=0 x2(x+y)+y2(x+y)+6(x+y)=0(x+y)(x2+y2+6)=0 
 x+y=0y=-x 
Thế vào (1) ta có -2x3+2x=0  2x(1-x2)=0 x=0; x=1; x=-1 
KL: (0;0); (1;-1); (-1; 1). 
Câu 3: 
 a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức 
 (x-y).(x2+xy+y2)=(x-1)2 
Xét các trường hợp: 
 hoặc 
hoặc 
+ x
2
+x(x-1)+(x-1)
2
=(x-1)
2
  x(2x-1)=0 x=0 hoặc x=1/2 
x=0 => y=-1 
+ x
2
+xy+y
2
-1=0 
=-3y2+4≥0   1;0;1
3
4
3
4
 yy 
y=-1=> x
2
-x=0 x=0 ; x=1 
y=0 => x
2
-1=0 x=1; x=-1 
y=1=> x
2
+x=0  x=0; x=-1 
+x-y =x-1 y=1 
NGUYỄN PHƯỚC VỆ - TRƯỜNG THCS QUẾ MINH 
y=1 => x
2
+2x+1=x-1 x2=-2 PTVN. 
KL: Kiểm tra ta có nghiệm (x=0; y=-1) 
b) (2015a+2016b)+(2016a+2015b)=4031(a+b) chia hết cho 29 
Nếu E chia hết cho 29 thì 2015a+2016b  29 hoặc 2016a+2015b 29 
+ 2015a+2016b  29 =>2016a+2015b  29=>E29
2
+ 2016a+2015b  29 =>2015a+2016b  29=>E29
2
Câu 4: 
IM
2
=IA.IB; IN
2
=IA.IB 
=> IM=IN mà EF//MN 
AFAEINIM
IN
AF
BI
BA
IM
AE
 ; 
Câu 5: 
a) Chứng minh: OFD=OPF 
OPF = OBE-PEB 
 = DAE-PEB vì ABDE nội tiếp 
 = DFC-PEB vì AFDC nội tiếp 
 = DFC-FCB cùng chắn FB 
 = DFC-CFO 
 = OFD. 
 b) Chứng minh (FMN) tiếp xúc với BC. 
Q
F
P
E
B
A
O O'
M
N
I
NGUYỄN PHƯỚC VỆ - TRƯỜNG THCS QUẾ MINH 
 b) Chưng minh (FMN) tiếp xúc với BC. 
 Ta chứng minh góc MFN=NMC là xong. 
 Gọi giao điểm của BC và FQ là H. 
 Ta chứng minh FNHI nội tiếp. 
 IH//QC ( Đường trung bình) 
 => NIH=NCQ=NFQ =NFH 
 => FNHI nội tiếp. 
 Vì HIF= 90
0 
=> ENH=90
0 
Ta chứng minh MNHQ cũng nội tiếp. 
NHM=NFQ (cùng phụ với NHF) 
NFQ=NQB ( Vì Q đối xứng F qua BC nên MF là tiếp tuyến => MQ cũng 
là tiếp tuyến) 
=>NHM=NQB 
=>MNHQ nội tiếp 
=> NMH=NQF vì NQF=MFN =>NMH=MFN. 
Qua M kẻ Mx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác FMN, 
=> NMx=NMH=>Mx trùng MH(đpcm) 
 ..//.. 
NGUYỄN PHƯỚC VỆ - TRƯỜNG THCS QUẾ MINH