Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố lớp 9 - THCS (năm 2015 - 2016) - Môn Toán - Thời gian làm bài: 150 phút

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 1 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) 
Bài 1: (2 điểm) 
Cho hai số thực phân biệt a, b thỏa điều kiện: ab a b  . Tính giá trị của biểu thức: 
a b
A ab
b a
   
Bài 2: (3 điểm) 
Giải phương trình: 
4x 3
5x 1 x 2
5

    
Bài 3: (3 điểm) 
Cho hai số 
1 2
x ,x là các nghiệm của phương trình: 2x ax b 0   , đồng thời 2
1
1
x
2
 và 2
2
1
x
2
 cũng 
là các nghiệm của phương trình 2 2 2
1 1
x a x b 0
2 2
 
     
 
. Tìm a và b. 
Bài 4: (4 điểm) 
a) Cho hai số thực x, y  x y 0  . Chứng minh rằng: 
2
2 2
1 xy
x y 2
x y
 
   
 
b) Trong một hình vuơng cĩ cạnh bằng 1, ta lấy 5 điểm tùy ý. Chứng minh rằng luơn tồn tại hai điểm 
cĩ khoảng cách khơng vượt quá 
2
2
Bài 5: (5 điểm) 
Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O). Một đường trịn (K) qua A tiếp xúc với cạnh BC tại 
D, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q và cắt (O) tại E khác A. Tia ED cắt (O) tại F khác E. Chứng minh 
rằng: 
a)  CAD FAB 
b) 
PQ DP.DQ
BC DB.DC
 
Bài 6: (3 điểm)c 
Chiều ngày 13/3, Cơng ty khai thác thủy lợi hồ Dầu Tiếng – Phước Hịa cho biết đã kết thúc đợt xả 
nước đẩy mặn xuống sơng Sài Gịn. Đây là lần xả nước thứ 5 từ đầu năm, giúp người dân Sài Gịn đảm bảo 
nước sinh hoạt, phục vụ nơng nghiệp. 
Đợt xả nước cơng suất 330m / s kéo dài trong 3 ngày, mặn đã được đẩy ra các cửa sơng. Theo đơn vị 
này, sau đợt xả, mực nước trong hồ cao khoảng 20m, trữ lượng nước gần 850 triệu 3m . 
Tuy giúp các nhà máy nước hạ lưu hoạt động được nhưng nhiều chuyên gia bày tỏ lo lắng bởi trữ 
lượng tại các hồ đầu nguồn thấp trong khi dự báo đợt hạn mặn cĩ thể kéo dài đến tháng 5. Hiện các hồ phải 
căn kéo trong việc xả nước đẩy mặn để phục vụ cho nơng nghiệp và hoạt động sản xuất nước. 
Về nguyên nhân xâm nhập mặn, ơng Phạm Thế Vinh – Viện Khoa học Thủy lợi miền Nam – cho rằng, 
hạn mặn diễn ra mạnh vì El Nino kéo dài khiến khu vực Nam bộ rất ít mưa. Ngồi ra, việc triều cường kéo 
dài đến tháng 2; 3 khiến nước mặn đi sâu vào các cửa sơng. Ơng Bùi Thanh Giang – Phĩ tổng giám đốc 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 9 – THCS (NĂM 2015 – 2016) 
 MÔN TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
 Ngày thi: 22/3/2015 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 2 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) 
Cơng ty cấp nước Sài Gịn (Sawaco) – cho biết, năm nay trữ lượng nước về các hồ đầu nguồn giảm mạnh. 
Trong đĩ, lượng nước tích trữ của hệ thống hồ Dầu Tiếng – Phước Hịa trên thượng nguồn sơng Sài Gịn 
cịn hiện tại chỉ đạt 70% . Lưu lượng của hồ Trị An trên sơng Đồng Nai chỉ đạt khoảng 80% so với trung 
bình hàng năm. Về giải pháp lâu dài, Sawaco kiến nghị UBND TP.HCM cho phép xây dựng hồ trữ nước 
thơ cho nguồn nước sơng Sài Gịn với vốn thực hiện từ ngân sách. Ngồi ra, đơn vị cũng đề xuất nâng cao 
cơng nghệ xử lý nước nhưng việc này địi hỏi chi phí đầu tư, vận hành cao. (Nguồn vnexpress.net) 
a) Hãy cho biết lượng nước mà hồ Dầu Tiếng đã xả trong 3 ngày qua? 
b) Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước hiện cĩ đề ngăn mặn (với tốc độ xả như trên) thì cơng việc này sẽ 
mất bao nhiêu ngày. 
c) Giả sử việc xả nước chống mặn diễn ra liên tục từ hơm nay (22/3) đến hết ngày 15/5, tính lượng 
nước mà hồ đã xả trong khoảng thời gian này. 
   HẾT   
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 3 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) 
Bài 1: (2 điểm) 
Cho hai số thực phân biệt a, b thỏa điều kiện: ab a b  . Tính giá trị của biểu thức: 
a b
A ab
b a
   
Ta cĩ: 
           
      
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2a b ab a b a ba b a b a 2ab b
A ab 2
b a ab ab ab
Bài 2: (3 điểm) 
Giải phương trình: 
4x 3
5x 1 x 2
5

    
Điều kiện: 

   
   
    
1
5x 1 0 x 1
x5
5x 2 0
x 2
. 
Đặt  
  

 
a 5x 1 
 a,b 0
b x 2
  
    
 
2
2 2
2
a 5x 1 
a b 4x 3
b x 2
Phương trình đã cho trở thành:   
  
        
  
2 2
a b 0a b
a b a b a b 5 0
5 a b 5 0
TH1:  


             
   
1
x 3
a b 0 5x 1 x 2 0 5x 1 x 2 x nhận5
4
5x 1 x 2
TH2:              a b 5 0 5x 1 x 2 5 0 5x 1 x 2 5 
                        
2
5x 1 x 2 25 5x 1 x 2 2 5x 1 x 2 25 5x 1 x 2 12 3x 
    
  
 
2
2
12 3x 0 x 4
4x 81x 146 05x 1 x 2 12 3x
x 4
x 4
x 2
x 2 nhận
x 2 4x 73 0 73
x
4
     
  
      
 
   
         

Vậy 
 
  
 
3
S ;2
4
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 9 – THCS (NĂM 2014 – 2015) 
 MÔN TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
 Ngày thi: 22/3/2015 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 4 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) 
Bài 3: (3 điểm) 
Cho hai số 
1 2
x ,x là các nghiệm của phương trình: 2x ax b 0   , đồng thời 2
1
1
x
2
 và 2
2
1
x
2
 cũng 
là các nghiệm của phương trình 2 2 2
1 1
x a x b 0
2 2
 
     
 
. Tìm a và b. 
Cách 1: 
Vì 
1 2
x ,x là các nghiệm của phương trình: 2x ax b 0   nên theo định lí Vi-et, ta cĩ:
   


1 2
1 2
x x a
x x b
Đặt    2 2
1 1 2 2
1 1
X x ;X x
2 2
 
   
 
   
22 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
X X x x X X x x 2x x 1
2 2
1 11 1
X X x x x xX X x x
2 42 2
X X x x 2x x 1
1 1
X X x x x x 2x x
2 4

         

 
               
     

 
      
  
 
 
         
 
  
          
   
2
2
1 21 2
2 2 2
2
1 2
1 2
X X a 2b 1X X a 2b 1
1 11 1
X X b a bX X b a 2b
2 42 4
Vì 
1 2
X ,X là các nghiệm của phương trình: 2 2 2
1 1
x a x b 0
2 2
 
     
 
nên theo định lí Vi-et, ta cĩ:

  

  

2
1 2
2
1 2
1
X X a
2
1
X X b
2
mà 
    


   

2
1 2
2 2
1 2
X X a 2b 1
1 1
X X b a b
2 4
nên 

           
      
               
2 2
2 2
2 2
2 2 2
1
a 0a 2b 1 a
4a 4b 3 2a 02
3
1 1 1 b2a 4b 3 2a 4b 3
b a b b 4
2 4 2
Cách 2: 
Ta cĩ : 
 
 
2
2 2 2
x ax b 0 1
1 1
x a x b 0 2
2 2
   

  
      
 
 cĩ nghiệm nên cĩ điều kiện : 
2
2
2 2
a 4b 0
1 1
a 4 b 0
2 2
  

   
      
   
 Do 
1 2
x ,x là 2 nghiệm của pt (1), theo định lý Vi – ét, ta cĩ : 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 5 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) 
1 2
1 2
x x a
x .x b
   


 Do 2 2
1 2
1 1
x ; x
2 2
   
    
   
 là nghiệm của pt (2), theo định lý Vi – ét , ta cĩ : 
2 2 2
1 2
2 2 2
1 2
1 1 1
x x a
2 2 2
1 1 1
x x b
2 2 2

     


        
  
   
2 2 2
1 2
2
2 2 2
1 2 1 2
1
x x 1 a
2
1 1 1
x x x x b
2 4 2

    
 
     

 
     
 
          
  
          
     
2
2 2 2
1 2 1 2
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
3 3
x x 2x x a a 2b a
2 2
1 3 1 3
x .x x x 2x x b b a 2b b
2 4 2 4
 
2
3
3b
b4 nhận4
3 3
a 0a
2 2

    
  
    
Vậy  
3
a;b 0;
4
 
  
 
 thì thỏa đề. 
Bài 4: (4 điểm) 
a) Cho hai số thực x, y  x y 0  . Chứng minh rằng: 
2
2 2
1 xy
x y 2
x y
 
   
 
Cách 1: 
 
     
    
          
    
    
            
    
2 2
2
2 2
2 2
2
1 xy 1 xy
x y 2 x y 2xy 2
x y x y
1 xy 1 xy
x y 2 1 xy 0 x y 0 bất đẳng thức đúng
x y x y
Cách 2: 
Áp dụng BĐT Cơ – si cho hai số khơng âm, ta được: 
   
2
2 21 xy
x y 2 1 xy 2 1 xy 2 2xy
x y
 
        
 
2 2
2 2
1 xy
x y 2xy 2 2xy
xy
1 xy
x y 2
xy
 
      
 
 
    
 
Vậy BĐT đã được chứng minh. 
b) Trong một hình vuơng cĩ cạnh bằng 1, ta lấy 5 điểm tùy ý. Chứng minh rằng luơn tồn tại hai 
điểm cĩ khoảng cách khơng vượt quá 
2
2
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 6 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) 
1
1
2
D
C
A B
 Ta chia hình vuơng cĩ cạnh là 1 thành 4 hình vuơng nhỏ cĩ cạnh là 
1
2
 như hình vẽ. 
 Ta cĩ: 2 2
1 1 2
AC AB BC
4 4 2
     
 Lấy 5 điểm tùy ý trong hình vuơng cĩ cạnh là 1 (số con thỏ) cho vào 4 hình vuơng cĩ cạnh là 
1
2
như hình vẽ (số chuồng thỏ), thì theo nguyên lý Dirichle cĩ ít nhất một hình vuơng cĩ cạnh là 
1
2
 chứa 
hai điểm mà khoảng cách 2 điểm đĩ phải bé hơn đường chéo của hình vuơng bằng 
2
2
Vậy luơn tồn tại 2 điểm cĩ khoảng cách khơng vượt quá 
2
2
Bài 5: (5 điểm) 
Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O). Một đường trịn (K) qua A tiếp xúc với cạnh 
BC tại D, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q và cắt (O) tại E khác A. Tia ED cắt (O) tại F khác E. 
Chứng minh rằng: 
M F
E
Q
P
K
O
B C
A
D
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 7 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) 
a)  CAD FAB 
Ta cĩ: 
   
   
0
0
EAC EFC 180 Tư ù giác EACF nội tiếp
EAC EDQ 180 Tư ù giác EAQD nội tiếp
  

 
 
EFC EDQ  . Mà hai gĩc này nằm ở vị trí đồng vị. 
Nên DQ // FC  BCF QDC  
Mặt khác: 
   
   
QDC CAD góc tạo bởi tt và dc chắn DQ của (K)
FAB BCF hai gnt chắn BF của (O)
 


 

   CAD FAB 
b) 
PQ DP.DQ
BC DB.DC
 
Gọi M là giao điểm của AD và (O) (M khác A) 
Ta cĩ: 
 
CAD FAB (cma)      CAF MAF BAM MAF CAF BAM       CF BM CF BM    
Xét PQD và CBF , ta cĩ: 
   
   
QDP BFC cùng bù BAC
QPD BCF QDC
 


  

    
PQ PD PQ DP.DQ
PQD CBF g g 1
BC CF BC CF.DQ
      ∽ 
Xét DBM và QDC , ta cĩ: 
   
   
BMD DCQ hai gnt chắn AB của (O)
DBM QDC CAM
 


  

   
DB BM
DBM QDC g g DB.DC BM.DQ DB.DC CF.DQ 2
DQ CD
        ∽ 
Từ (1) và (2) suy ra: 
PQ DP.DQ
BC DB.DC
 
Bài 6: (3 điểm) 
Chiều ngày 13/3, Cơng ty khai thác thủy lợi hồ Dầu Tiếng – Phước Hịa cho biết đã kết thúc đợt 
xả nước đẩy mặn xuống sơng Sài Gịn. Đây là lần xả nước thứ 5 từ đầu năm, giúp người dân Sài Gịn 
đảm bảo nước sinh hoạt, phục vụ nơng nghiệp. 
Đợt xả nước cơng suất 330m / s kéo dài trong 3 ngày, mặn đã được đẩy ra các cửa sơng. Theo 
đơn vị này, sau đợt xả, mực nước trong hồ cao khoảng 20m, trữ lượng nước gần 850 triệu 3m . 
Tuy giúp các nhà máy nước hạ lưu hoạt động được nhưng nhiều chuyên gia bày tỏ lo lắng bởi 
trữ lượng tại các hồ đầu nguồn thấp trong khi dự báo đợt hạn mặn cĩ thể kéo dài đến tháng 5. Hiện 
các hồ phải căn kéo trong việc xả nước đẩy mặn để phục vụ cho nơng nghiệp và hoạt động sản xuất 
nước. 
Về nguyên nhân xâm nhập mặn, ơng Phạm Thế Vinh – Viện Khoa học Thủy lợi miền Nam – cho 
rằng, hạn mặn diễn ra mạnh vì El Nino kéo dài khiến khu vực Nam bộ rất ít mưa. Ngồi ra, việc 
triều cường kéo dài đến tháng 2,3 khiến nước mặn đi sâu vào các cửa sơng. Ơng Bùi Thanh Giang – 
Phĩ tổng giám đốc Cơng ty cấp nước Sài Gịn (Sawaco) – cho biết, năm nay trữ lượng nước về các hồ 
đầu nguồn giảm mạnh. Trong đĩ, lượng nước tích trữ của hệ thống hồ Dầu Tiếng – Phước Hịa trên 
thượng nguồn sơng Sài Gịn cịn hiện tại chỉ đạt 70% . Lưu lượng của hồ Trị An trên sơng Đồng Nai 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 8 HSG LỚP 9 TP.HCM(2015-2016) 
chỉ đạt khoảng 80% so với trung bình hàng năm. Về giải pháp lâu dài, Sawaco kiến nghị UBND 
TP.HCM cho phép xây dựng hồ trữ nước thơ cho nguồn nước sơng Sài Gịn với vốn thực hiện từ 
ngân sách. Ngồi ra, đơn vị cũng đề xuất nâng cao cơng nghệ xử lý nước nhưng việc này địi hỏi chi 
phí đầu tư, vận hành cao. (Nguồn vnexpress.net) 
a) Hãy cho biết lượng nước mà hồ Dầu Tiếng đã xả trong 3 ngày qua? 
Thời gian xả nước: 3*24*60*60 259200(s) 
Lượng nước mà hồ Dầu Tiếng đã xả trong 3 ngày: 
 330*259200 7.776.000 m 
b) Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước hiện cĩ đề ngăn mặn (với tốc độ xả như trên) thì cơng việc này 
sẽ mất bao nhiêu ngày. 
20% lượng nước hiện cĩ là:  3850.000.000*20 :100 170.000.000 m 
Lượng nước xả ra trong 1 ngày là:  330*24*60*60 2.592.000 m 
Thời gian hồn thành cơng việc này là:  170.000.000 : 2.592.000 66 ngày 
Vậy thời gian xả là: 66 ngày. 
c) Giả sử việc xả nước chống mặn diễn ra liên tục từ hơm nay (22/3) đến hết ngày 15/5, tính lượng 
nước mà hồ đã xả trong khoảng thời gian này. 
Từ ngày 22/3 đến ngày 15/5 cĩ:  10 30 15 55 ngày   
Lượng nước mà hồ đã xả ra trong 55 ngày là:  355*2.592.000 142.560.000 m 
   HẾT  