Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
6
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2021 – 2022
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Cho biểu thức: với 
Rút gọn A.
Tìm giá trị của để .
Tìm giá trị nguyên của để biểu thức Acó giá trị nguyên.
Câu 2:(4,0 điểm)
Tìm đa thức P() thoả mãn: P() chia cho dư 1; chia cho dư 8; chia cho được thương là và còn dư.
Chứng minh rằng: Với là các số thực khác 0 thỏa mãn: 	
Câu 3:(4,0 điểm)
Giải phương trình: 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Câu 4:(6,0 điểm)
Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnhAB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.
Chứng minh:
Kẻ vuông góc với tại . Chứng minh: 
Kẻ BM cắt Ax tại N. Chứng minh: C là trung điểm của AN.
Tìm vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
Câu 5:(2,0 điểm)
 Cho số nguyên tố có ba chữ số , chứng minh rằng không thể là số chính phương.
Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn: .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
----------Hết-----------
Họ và tên thí sinh:.................................................... Số báo danh:...............................................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
 MÔN : TOÁN 
NĂM HỌC 2021 – 2022 
 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4,0 điểm)
1) (0,75 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
0,25
0,25
0,25
2) (3,25 điểm) Cho biểu thức:
Rút gọn A.
b) Tìm đề .
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A khi .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b) với 
0,5
Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.
0,5
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức Acó giá trị nguyên.
0,25
với vàx là số nguyên , để biểu thức Acó giá trị nguyên thì là Ư (1)= ｛1;-1｝
0,25
(thỏa mãn)
(không thỏa mãn)
0,25
Vậy biểu thức Acó giá trị nguyên khi 
0,25
Câu 2
(4,0 điểm)
1) (2,0 điểm) Tìm đa thức P(x) thoả mãn: P(x) chia cho dư 1; 
chia cho dư 8; chia cho được thương là và còn dư.
Vì đa thức có bậc là 2 nên số dư khi chia P(x) cho có dạng .
0,5
0,5
0,5
Vậy 
0,5
2) (2,0 điểm)Chứng minh rằng: với là các số thực khác 0 thỏa mãn: 
Với.
Ta có: 
0,5
0,5
0,5
Vậy: 
0,5
Câu 3
(4,0 điểm)
1) (2,0 điểm) Giải phương trình: 
ĐKXĐ: 
0,25
+) ( vô lý)
0,25
+) 
0,25
Đặt ta có phương trình: 
0,25
0,25
0,25
0,25
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x =1
0,25
2) (2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Ta có: 
0,5
Vì x,y , là số nguyên lẻ và nên 
0,5
Ta có bảng
-5
-5
5
5
-4
4
-4
4
-2
-2
3
3
-2
6
-7
1
Từ đó suy ra các cặp cần tìm là 
1,0
(Mỗi cặp số tính đúng được 
0,25)
Câu 4
(7,0 điểm)
Cholà trung điểm của đoạn. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa cạnh vẽ tia cùng vuông góc với. Trên tia lấy điểm (khác ), quakẻ đường thẳng vuông góc với cắt tia tại .
Chứng minh:
Kẻ vuông góc với tại . Chứng minh: 
Kẻ BM cắt Ax tại N. Chứng minh: C là trung điểm của AN
Tìm vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất
0,5
1) ( 2,0 điểm) Chứng minh:.
Xét 
( cùng phụ với )
1,0
0,5
Mà 
0,5
2. ( 1,5 điểm)Kẻ vuông góc với tại . Chứng minh: 
0,25
Xét 
0,5
0,25
Xét 
CO chung
0,5
3) (1,0 điểm) Kẻ BM cắt Ax tại N. Chứng minh: C là trung điểm của AN
Chứng minh tương tự ý b ta có: 
0,25
0,25
 Vì CN// BD ( hệ quả định lý Talet)
C là trung điểm của AN
0,25
0,25
4.(1,0 điểm) Tìm vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất
Ta có: AC=CM và BD= DM ( chứng minh trên)
Tứ giác ABDC là hình thang vuông
0,5
nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất mà 
Nên CD nhỏ nhất CD=AB CD//AB
Tứ giác ACMO là hình vuông nên CA=OA
Vậy khi CA=OA thì nhỏ nhất
0,5
Câu 5
(2,0 điểm)
1) (1,0 điểm) Cho số nguyên tố có ba chữ số , chứng minh rằng không thể là số chính phương.
Giả sử là số chính phương, suy ra tồn tại số tự nhiên n sao cho 
0,25
Ta có:
0,25
Vì nên , do đó 
0,25
Mặt khác là số nguyên tố nên một trong hai số , phải chia hết cho 
Điều này vô lí vì cả hai số này đều nhỏ hơn 
Vậy không thể là số chính phương.
0,25
2) (1,0 điểm) Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Ta có 
Dấu “=” xảy ra a=b
0,25
Chứng minh tương tự: 
Dấu “=” xảy ra b=c
Dấu “=” xảy ra a=c
0,25
0,25
Dấu “=” xảy ra a=b=c=2
Vậy Min A=3 a=b=c=2
0,25
Hết