Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

MÃ KÍ HIỆU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM 2020 - 2021
Môn: Toán 
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm: 06 câu, 01 trang)
Câu 1. (3,5 điểm) Cho biểu thức 
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (3,5 điểm)Giải các phương trình sau: 
a) .
b) .
Câu 3. (3,0 điểm)
a)Giải phương trình nghiệm nguyên:
b) Chứng minh rằng chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.
Câu 4. (2,0 điểm) Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô cùng đi từ A đến B, khởi hành lần lượt lúc 7 giờ, 8 giờ, 9 giờ với vận tốc theo thứ tự bằng , , . Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?
Câu 5. (6,0 điểm)
1) (4,5 điểm) Cho tam giác vuông tại (), kẻ đường cao và đường trung tuyến (). Gọi lần lượt là hình chiếu của trên . Chứng minh rằng:
a) .
b) .
c) vuông góc với .
2) (1,5điểm) Hai thành phố A và B ở cùng một bên bờ sông thẳng. Hãy tìm một vị trí thích hợp để xây dựng nhà máy nước bên cạnh bờ sông cung cấp nước cho cả hai thành phố này sao cho tổng quãng đường từ hai thành phố đến nhà máy nước là ngắn nhất.
Câu 6. (2,0 điểm)Cho số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hết
MÃ KÍ HIỆU
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2020 - 2021
Môn: Toán 
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1.a
(1,5đ)
ĐK: 
0,25
0,5
0,5
0,25
1.b
(1,0đ)
Với , ta có: 
0,25
0,25
0,25
Mà . Vậy với thì 
0,25
1.c
(1,0đ)
Ta có =
0,25
A nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên
0,25
0,25
Mà . Vậy 
0,25
2.a
(1,5đ)
*) Nếu , phương trình đã cho trở thành
0,25
0,25
0,25
*) Nếu , phương trình đã cho trở thành 
0,25
Thấy . 
Vậy phương trình vô nghiệm.
 0,25
KL: Phương trình có một nghiệm .
0,25
2.b
(2,0đ)
Giải phương trình: (1)
ĐKXĐ: 
0,25
(1) 
0,5
0,25
0,25
0,25
(TMĐK)
0,25
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
0,25
3.a
(2.0đ)
0,25
0,25
 Vì: 
0,25
 Mà 
0,25
 Mặt khác với mọi x
0,25
Với , ta có: 
0,25
0,25
Vìnên
Vậy phương trình có một nghiệm nguyên 
0,25
3.b
(1.0đ)
0,25
D Do n là số nguyên lẻ nên ()
Khi đó 
0,25
 Vì là hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2
chia hết cho 2 nên chia hết cho 4
 chia hết cho 64
0,25
Vậy chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.
0,25
4
(2.0đ)
Dễ thấy lúc 9h thì ôtô ở A, xe đạp cách A 20km, xe máy cách A 30km.
0,25
A
XĐ
ÔT
XM
Vậy khi vị trí của ôtô cách đều xe đạp và xe máy là lúc vị trí của xe máy cách xa điểm A nhất so với ôtô và xe đạp.
Có thể mô tả như hình vẽ: 	
(HS không vẽ hình vẫn cho điểm tối đa)
Gọi x là số giờ kể từ lúc ô tô khởi hành đến khi ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy (giờ, )
Quãng đường người đi xe đạp đi được: (km)
0,25
Quãng đường ô tô đi được: (km) 
0,25
Quãng đường người đi xe máy đi được: (km)
0,25
Ta có phương trình: 
0,25
Giải ra: (TMĐK)
0,25
Sau khi khởi hành giờ (hay 50 phút) thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy 
0,25
Vậy đến 9h50’ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy
0,25
5.1
(4,5đ)
0,25
a) (1,25 điểm). Chứng minh:
Xét và
Có , (vì cùng phụ với )
0,25
~(g-g) 
0,5
Lại có nên Tứ giác là hình chữ nhật 
0,25
0,25
b) (1,5 điểm). Chứng minh: .
Chứng minh ~ (g-g) 
0,25
Chứng minh~ (g-g) 
0,25
Suy ra 
0,25
Mà tứ giác là hình chữ nhật nên . Do đó
0,25
= 
(Định lý Pytago áp dụng vào tam giác vuông ).
0,25
Trong tam giác vuông có (ĐL Pytago)
Do đó: 
0,25
c)(1,5 điểm).Chứng minh:.
0,5
Gọi là giao điểm của và . Tứ giác là hình chữ nhật nên 
 cân tại 
 vuông tại , cólà trung điểm của nên cân tại
0,25
0,25
Trong tam giác vuông vuông tai H thì 
0,25
Do đó: . Suy ra.
0,25
5.2
(1,5đ)
y
B.
C
x
A.
A’.
0,25
Giả sử bờ sông thẳng là xy, hai thành phố được đặt như hình vẽ
0,25
Giả sử nhà máy nước được xây dựng ở vị trí C. Ta có: phải ngắn nhất.
Vẽ A’ đối xứng với A qua xy. Dễ thấy (tc đối xứng)
0,25
Vậy 
0,25
Dấu bằng xảy ra khi điểm C nằm giữa B và A’. Hay C chính là giao điểm của A’B với xy
0,25
Vậy nhà máy nước được xây dựng tại vị trí C sẽ thỏa mãn yêu cầu.
0,25
6
(2,0đ)
Đặt , Biểu thức đã cho trở thành 
0,25
0,25
*) Vì 
0,25
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy khi hoặc 
0,25
*) Với hai số x, y không âm, ta có : 
(*)
Thật vậy: 
 (luôn đúng). Dấu « = » xảy ra khi x = y
0,25
Vì nên a và là hai số không âm.Áp dụng bất đẳng thức (*) cho hai số không âm a và 1-a ta được:
0,25
0,25
Đẳng thức xảy ra khi :
 (vì ). 
Vậykhi 
0,25
Hết