Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 8 - Năm 2021 (Có đáp án)

MÃ KÍ HIỆU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm 2021
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 06 câu, 01 trang)
Câu 1 (3,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 	b) 	c) 
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức: A = 
b) Rút gọn: 
c) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
Câu 3 (4,0 điểm).
1. Giải phương trình:
a) 
b) 
2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy, một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày với vận tốc theo thứ tự lần lượt là 10km/h, 30km/h, 50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?
Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G. Đường thẳng d bất kỳ đi qua G và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: .
Câu 5 (6,0 điểm). Cho cân tại A, hai đường cao AI và BD cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng: 
b) Gọi E giao điểm của CH và AB. Chứng minh: 
c) Gọi T là giao điểm của DE và AH. Chứng minh: 
Câu 6 (2,0 điểm). 
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 
---------- Hết ----------
MÃ KÍ HIỆU
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm 2021
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước để làm câu sau.
3. Với bài hình, nếu hình vẽ sai hoặc không vẽ hình thì không chấm. Lời giải không khớp với hình vẽ thì không cho điểm.
4. Học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng thì cho đủ điểm thành phần như hướng dẫn.
II. Hướng dẫn chi tiết:
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(3,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. (1 điểm)
0,25
0,25
0,25
0,25
b. (1 điểm)
0,25
0,25
0,25
0,25
c. (1 điểm). 
0,5
0,25
0,25
Câu 2
(3,0 điểm)
a. (1 điểm)
A = 
0,5
0,25
0,25
b. (1 điểm)
Rút gọn: 
0,5
0,25
0,25
c. (1 điểm)
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
0,5
0,25
Vậy giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến
0,25
Câu 3
(4,0 điểm)
1. (2 điểm) Giải phương trình:
a. (1 điểm). 
0,25
0,25
0,25
Vậy pt có tập nghiệm 
0,25
b. (1 điểm). 	(ĐK: )
0,25
0,25
(tm) hoặc (loại)
0,25
Vậy pt có tập nghiệm 
0,25
2. (2 điểm)
Gọi thời gian từ khi ô tô xuất phát đến khi cách đều xe đạp và xe máy là: x (giờ; )
0,25
Thì thời gian xe đạp đã đi là: x + 2 (giờ)
 Thời gian xe máy đã đi là: x + 1 (giờ)
0,25
 Quãng đường ô tô đi là: 50x (km); 
0,25
Xe máy đã đi là: 30.(x+1) (km); Xe đạp đã đi là: 10.(x+2) (km)
0,25
- Vì ô tô cách đều xe đạp và xe máy nên quãng đường ô tô đi nhiều hơn xe đạp bằng quãng đường xe máy đi nhiều hơn ô tô. Ta có phương trình: 
0,25
Giải đúng phương trình tìm được, (tm)
0,5
Vậy đến thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy
0,25
Câu 4
(2,0 điểm)
- Vẽ hình đúng
0,25
- Kẻ BE, CF//MN
0,25
- Trong , có 
0,25
- Trong , có 
0,25
- Chỉ ra được 
0,5
0,5
Câu 5
(6,0 điểm)
- Vẽ hình đúng để làm được ý a
0,25
a) (0,75 điểm) Chứng minh 
 và , có: 
0,25
	 chung
0,25
0,25
b) (2,5 điểm)
- Chứng minh được: 
0,5
0,5
0,25
- Chứng minh được: 
0,5
0,5
Vậy 
0,25
c) (2,5 điểm)
Gọi T là giao điểm của DE và AH. Chứng minh: 
- Chứng minh được là phân giác trong của 
0,5
- Chứng minh được EA là phân giác trong, ngoài của tại đỉnh E 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 6
(2,0 điểm)
1. (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Đặt 
0,25
0,5
Dấu “=” xảy ra 
0,25
2. (1 điểm)
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 
Có: 
0,25
Xét hiệu 
0,25
Từ và x, y nguyên 
0,25
0,25
.. Hết..