ĐỀ ÔN TẬP THI HOC SINH GIỎI

ĐỀ ÔN TẬP THI HOC SINH GIỎI
Bài 1.
Tính giá trị 
Tìm x biết 
Tìm x thỏa mãn 
Bài 2.
Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng: Tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12.
Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm các số thực x, y, z khác 0 thoả mãn: 
Bài 3.
Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x2 + 2y
Tìm số có bốn chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: là hai số nguyên tố; + c = b2+ d.
Bài 4. Cho tam giác ABC có < 900 và . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH (với H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC), đường thẳng EH cắt AC ở D.
Chứng minh rằng: DA = DC.
Chứng minh rằng: AE = HC.
BÀI
NỘI DUNG
1
a)
Ta có A = 1000 - {(-125).(-8) – 11.[49 – 40 + 8. (121 – 121)]}
	 = 1000 - [1000 – 11. (9 + 8.0)]
	 = 1000 – (1000 – 11. 9)
	 = 99
b)
Vậy x = 0; -4
c)
- Nếu x > 11 hoặc x 1 hoặc x – 11 < -1. Suy ra (loại)
- Nếu 10 < x < 11 thì 0 < x – 10 < 1, 0 < 11 – x <1. Suy ra . Do đó 
Suy ra (loại)
- Nếu x = 10 hoặc x = 11 thỏa mãn
Vậy x = 10; 11
2
a)
Gọi hai số phải tìm là x và y (x > 0, y > 0 và x y)
Theo đề bài ta có: 35.(x + y) = 210.(x - y) = 12x.y
Chia các tích trên cho BCNN của 35, 210, 12 là 420 ta được:
hay (1)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Từ (1) và (2) ta có: 
Vì x > 0; y > 0 nên 7y = 35 Þ y = 5; 5x = 35 Þ x = 7
Vậy hai số phải tìm là 7 và 5
b)
Do x, y, z khác 0 nên 
Suy ra 
Do đó , t ≠ 0
Ta có
Suy ra (do t ≠ 0)
Vậy 
3
a)
Theo đề ta có 3xy – 2y = x2 + 5 Þ y(3x – 2) = x2 + 5 (1)
Do x, y nguyên nên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x – 2
Þ 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – 2
Þ 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – 2 Þ 9.x2 - 6x + 6x – 4 + 49 chia hết cho 3x – 2
Þ 3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 2
Þ 49 chia hết cho 3x – 2 Þ 3x – 2 Î 
Þ 3x Î Þ x Î 
Thay x lần lượt vào (1) ta được y Î 
Vậy các cặp số (x, y) là (1;6), (3;2), (17;6)
b)
Do là các số nguyên tố nên b và d lẻ khác 5 (1)
Mặt khác từ điều kiện ii) ta có 9d + c = b(b-1)	(2)
Có 9d + c 9 nên từ (2) suy ra b >3 mà b lẻ b = 7; 9
+ b = 7 9d + c = 42 3 < d 4 trái với (1)
+ b = 9 9d + c = 72 6 < d 8 mà d lẻ d = 7
Thay vào điều kiện (2) được c = 9. 
Do là các số nguyên tố nên a chỉ có thể nhận các giá trị tương ứng 1; 2; 5; 7; 8 hoặc 1; 3; 4; 6; 9. Suy ra a = 1 và , thử lại thấy đúng.
4
Hình vẽ
a)
a) Ta có cân tại B 
Ta có: 
Mà: 
Suy ra cân tại D nên DH = DC
Xét : 
.
Từ (1), (2) suy ra: , do đó cân tại D, suy ra 
b)
b) Lấy B’ đối xứng với B qua H, suy ra cân tại A (AH là trung trực của BB’) 
Ta có: 
do đó cân tại B’ 
nên 
Vì AB < AC nên AB’ = AB < AC nghĩa là B’ ở giữa H và C 
Nên: