19 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 7 (Có lời giải)

19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
TOÁN 7 CÓ LỜI GIẢI
Chương I
SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
Chuyên đề 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Số hữu tỉ
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với .
Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số.
Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn trên trục số.
Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.
3. So sánh hai số hữu tỉ
Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.
Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương;
Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm;
Số hữu tỉ 0, không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
Số hữu tỉ là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu, bằng 0 nếu a = 0.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Điền các kí hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (điền tất cả các khả năng có thể):
;	;	;	
Giải
Tìm cách giải. Khi điền vào ô trống, ta căn cứ vào định nghĩa tập hợp:
.
Trình bày lời giải.
Nhận xét. Chúng ta lưu ý rằng , nếu không ý thứ nhất và ý thứ hai của ví dụ dễ bị sót.
Ví dụ 2: Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của a thì:
a) x là số dương;
b) x là số âm;
c) x không là số dương cũng không là số âm.
Giải
Tìm cách giải. Khi xác định dấu của số hữu tỉ, ta lưu ý là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu. Chú ý rằng , ta có lời giải sau:
Trình bày lời giải.
a) và 2020 cùng dấu.
Mà nên suy ra . Vậy với thì x là số hữu tỉ dương.
b) và 2020 khác dấu.
Mà nên suy ra . Vậy với thì x là số hữu tỉ âm.
c) x không là số dương cũng không là số âm tức là hay suy ra .
Vậy với thì x không là số dương cũng không là số âm.
Ví dụ 3. So sánh các số hữu tỉ sau:
a) hay ;	b) và ;
c) và .
Giải
Tìm cách giải. Trước khi so sánh hai số hữu tỉ, chúng ta thường thực hiện:
Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản;
Quy đồng mẫu số, chú ý để mẫu số dương;
Sau đó so sánh hai phân số.
Trình bày lời giải.
Rút gọn ta có:
a) nên 
b) nên 
c) và nên 
Ví dụ 4. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là số nguyên.
a) ;	b) 
Giải
Tìm cách giải. Số hữu tỉ (với ) có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi a chia hết cho b hay Ư(a). Từ đó chúng ta có lời giải sau.
Trình bày lời giải.
a) Ư(7); mà Ư(7) suy ra bảng giá trị sau:
1
7
-1
-7
n
6
12
4
-2
Vậy với thì có giá trị là số nguyên.
b) (với ) .
Vậy với () thì có giá trị là số nguyên.
Ví dụ 5. Tìm các số nguyên n để số hữu tỉ có giá trị là số nguyên.
Giải
Tìm cách giải. Đưa về ví dụ 4, bằng cách tách ra một số hạng nguyên.
Trình bày lời giải.
Ư(31) mà Ư(31).
Suy ra ta có bảng giá trị sau:
1
31
-1
-31
n
-9
21
-11
-41
Với thì số hữu tỉ có giá trị là một số nguyên.
Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng số hữu tỉ là phân số tối giản, với mọi .
Giải
Tìm cách giải. Để chứng minh là phân số tối giản chúng ta chứng tỏ ƯCLN (a; b) = 1
Trình bày lời giải.
Đặt ƯCLN (với ) suy ra:
Suy ra: ƯCLN 
Vậy là phân số tối giản, với mọi .
Ví dụ 7. Tìm các số hữu tỉ.
a) Có mẫu là 15, lớn hơn và nhỏ hơn ;
b) Có tử là 4, lớn hơn và nhỏ hơn .
Giải
a) Gọi số hữu tỉ cần tìm là với .
Theo đề bài, ta có: 
Vậy các số hữu tỉ cần tìm là: .
b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là với 
Theo đề bài ta có: 
Vậy các số hữu tỉ cần tìm là .
C. Bài tập vận dụng
1.1. Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ?
.
1.2. Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng phân số với mẫu số dương.
1.3. Cho ba số hữu tỉ 
a) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương.
b) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương bằng nhau.
1.4. Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của m thì:
a) x là số dương. 	b) x là số âm.
c) x không là số dương cũng không là số âm.
1.5. Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của m thì:
a) x là số dương. 	b) x là số âm. 
1.6. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là một số nguyên.
a) ;	b) 
1.7. Tìm số nguyên a để số hữu tỉ là một số nguyên.
1.8. Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ có giá trị là một số nguyên.
1.9. Chứng tỏ số hữu tỉ là phân số tối giản, với mọi .
1.10.
a) Cho hai số hữu tỉ và . Chứng minh rằng khi và chỉ khi .
b) Áp dụng kết quả trên, so sánh các số hữu tỉ sau: và và .
1.11.
a) Cho hai số hữu tỉ và . Chứng minh rằng nếu thì 
b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa hai số hữu tỉ và .
1.12. Cho a, b, m là các số nguyên và b > 0; m > 0.
a) So sánh và .	 b) So sánh và .
c) So sánh và và .
1.13. Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn và . Chứng minh rằng .
1.14. Tìm các số hữu tỉ:
a) Có mẫu số là 20, lớn hơn và nhỏ hơn ;
b) Có tử là 2, lớn hơn và nhỏ hơn 
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
1.1. Những phân số biểu diễn số hữu tỉ là .
1.2. 
1.3.
a) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương.
b) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là các số dương bằng nhau.
1.4.
a) 
Vậy với thì số hữu tỉ x là số dương.
b) 
Vậy với thì số hữu tỉ x là số âm.
c) x không là số dương cũng không là số âm
Vậy với thì số hữu tỉ x không là số dương cũng không là số âm.
1.5.
a) 
Vậy với thì số hữu tỉ x là số dương.
b) 
Vậy với thì số hữu tỉ x là số âm.
1.6.
a) Ta có Ư(5) mà Ư(5)
Suy ra bảng giá trị sau:
1
5
-1
-5
n
0
4
-2
-6
Vậy với thì 
b) Ta có: 
Vậy với thì 
1.7. Ư(-2019)
Mà Ư(-2019)
Suy ra bảng giá trị sau:
1
3
673
2019
-1
-3
-673
-2019
a
-5
-3
667
2013
-7
-9
-679
-2025
Vậy với thì là một số nguyên.
1.8. 
 Ư(7) mà Ư(7) 
Suy ra bảng giá trị sau:
1
7
-1
-7
x
6
12
4
-2
Vậy với thì 
1.9. Đặt ƯCLN
Suy ra: ƯCLN. Vậy là phân số tối giản với mọi .
1.10.
a) Quy đồng mẫu hai phân số, ta có: . Vì nên , do đó:
Nếu thì suy ra 
Nếu thì suy ra .
b) Ta có: vì 
Ta có: . Vì , suy ra: 
1.11. 
a) Theo bài 	, ta có: , suy ra (1).
Từ (1) ta có: hay (2)
Mặt khác, từ (1) ta lại có: hay (3)
Từ (2) và (3) suy ra: .
b) Theo câu a) ta có:
 suy ra ;
 suy ra ;
 suy ra ;
Vậy ta có: .
1.12.
a) Trường hợp 1. Xét 
Trường hợp 2. Xét 
Vậy: Nếu thì 
Nếu thì 
b) Trường hợp 1. Xét 
Trường hợp 2. Xét 
c) Áp dụng câu a), ta có nên 
Áp dụng câu b), hay suy ra 
1.13. Ta có và 
Vì nên .
1.14.
a) Gọi số hữu tỉ cần tìm là với .
Theo đầu bài, ta có: 
Vậy các số hữu tỉ cần tìm là: 
b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là: với .
Theo đầu bài, ta có: 
Vậy số hữu tỉ cần tìm là: 
Chuyên đề 2. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA
SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Với ta có:
.
2. Với ta có:
 (với ).
3. Các phép toán trong Q cũng có những tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với phép cộng như trong tập hợp Z. Ngoài ra các quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế cũng như trong tập hợp Z.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính:
a) ;	b) ;
Giải
Tìm cách giải. Khi thực hiện các phép tính chỉ có phép cộng và trừ, ta có thể thực hiện trong ngoặc trước, thực hiện từ trái qua phải. Tuy nhiên nếu có nhiều dấu (-) ta có thể giảm bớt dấu (-) bằng cách bỏ ngoặc. Ngoài ra có thể dùng tính chất giao hoán và kết hợp nhằm giải bài toán được nhanh hơn.
Trình bày lời giải.
a) 
b) 
Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính
a) ;	b) 
Giải
Tìm cách giải. Vì phép chia là phép nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia nên ta có thể vận dụng tính chất phân phối:
Trình bày lời giải
a) 
b) 
Ví dụ 3. Tìm x.
a) ;	b) ;
c) ;
d) .
Giải
Tìm cách giải. Khi tìm x ta có thể vận dụng các tính chất sau:
 nên 
 thì hoặc 
Trình bày lời giải.
a) 
b) hoặc suy ra
 hoặc hoặc .
Vậy 
c) 
Vì nên 
d) 
Mà . Suy ra .
Ví dụ 4. Tìm số nguyên x, y biết: 
Giải
Tìm cách giải. Đối với dạng toán này, chúng ta chú ý thì Ư(k), Ư(k).
Do vậy chúng ta quy đồng mẫu số, chuyển x, y về một vế, vế còn lại là một số nguyên.
Trình bày lời giải.
Vì là ước lẻ của 40 mà ước lẻ của 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị:
1
5
-1
-5
y
40
8
-40
-8
Từ đó suy ra 
Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:
a) ;
b) 
Giải
Tìm cách giải. Những biểu thức phức tạp, nếu thực hiện theo thứ tự sẽ dài và có thể dẫn đến sai lầm. Quan sát kĩ, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân phối
 để rút gọn.
Trình bày lời giải.
a) Ta có: 
b) Ta có: 
Ví dụ 6. Cho 2021 số nguyên dương thỏa mãn:
. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau.
Giải
Tìm cách giải. Dạng toán này chúng ta không chỉ ra được cụ thể tường minh đó là hai giá trị nào, mà chỉ cần chỉ ra tồn tại ít nhất hai số trong các số đã cho bằng nhau mà thôi. Đối với dạng toán này thông thường chúng ta dùng phương pháp phản chứng:
Bước 1. Phủ định kết luận. Tức là giả sử không có hai số nguyên dương nào bằng nhau.
Bước 2. Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề bài đã cho hoặc một điều hiển nhiên.
Bước 3. Chứng tỏ giả sử là sai. Vậy kết luận của đề bài là đúng.
Trình bày lời giải.
Giả sử trong 2021 số nguyên dương thỏa mãn: không có hai số nào bằng nhau.
Khi đó 
 mâu thuẫn với đề bài.
Vậy có ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau
Nhận xét. Trong lời giải bài toán trên, sau khi giả sử 2021 số nguyên dương khác nhau chúng ta đã so sánh chúng với 2021 số nguyên dương nhỏ nhất. Từ đó nhận thấy 2021 số nguyên dương nhỏ nhất cũng không thỏa mãn đầu bài. Suy ra 2021 số nào đó cũng không thỏa mãn đề bài và dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết. 
Ví dụ 7. Cho và 
Tính giá trị: 
Giải
Tìm cách giải. Với điều kiện đề bài, chúng ta không thể tính được giá trị của a, b, c. Do vậy chúng ta cần biến đổi S nhằm xuất hiện a + b + c và . Quan sát kỹ chúng ta thấy phần kết luận , mỗi phân số đều có tổng tử và mẫu bằng nhau và bằng . Do đó chúng ta cộng mỗi phân số với 1, và có lời giải sau:
Trình bày lời giải.
Ta có 
Ví dụ 8. Tìm x, biết:
a) ;	b) 
Giải
Tìm cách giải. Đối với dạng toán này chúng ta chú ý kiến thức sau:
 và B cùng dấu.
 và B khác dấu.
Trình bày lời giải
a) và cùng dấu.
mà nên suy ra: hoặc hoặc .
Vậy với hoặc thì 
b) và cùng dấu, nên ta có trường hợp sau:
Trường hợp 1: ;
Trường hợp 2: loại.
Vậy với thì 
Nhận xét. Ngoài cách giải trên của câu b, chúng ta có thể lập luận theo cách sau:
 và khác dấu.
Mà nên suy ra: và và .
Vậy với thì 
Ví dụ 9. Chứng tỏ rằng:
Giải
Xét vế trái, ta có: 
.
Vế trái bằng vế phải; Điều phải chứng minh.
Nhận xét. Nếu vận dụng so sánh số hữu tỷ, ta có:
. Từ đó bạn có thể giải được bài toán sau: Chứng tỏ rằng:
C. Bài tập vận dụng
2.1. Viết số hữu tỉ thành:
a) tích của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.
b) thương của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.
2.2. Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể).
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
2.3. Thực hiện các phép tính sau:
a) ;
b) .
2.4. Rút gọn: .
(Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)
2.5. Tìm x, biết:
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
2.6. Tính:
2.7. Tìm giá trị nguyên dương của x và , sao cho: 
2.8. Tìm số nguyên biết:
a) ;	b) ;	c) .
2.9. Tính tổng , biết:
2.10. Tìm các số hữu tỉ thỏa mãn: 
2.11. Cho biểu thức . Chứng minh rằng:
a) ;	b) 
2.12. Cho 100 số hữu tỉ, trong đó tích 3 số bất kì là một số âm. Chứng minh rằng:
a) Tích của 100 số đó là một số dương.
b) Tất cả 100 số đó đều là số âm.
2.13. Cho 20 số nguyên khác 0: có các tính chất sau:
+ là số dương.
+ Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.
+ Tổng của 20 số đó là số âm.
Chứng minh rằng: 
2.14. Đặt và 
So sánh A và B.
2.15. Cho 100 số tự nhiên thỏa mãn .
Chứng minh rằng ít nhất hai trong 100 số tự nhiên trên bằng nhau.
(Thi học sinh giỏi toán 7, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2012 - 2013)
2.16. Cho ba số a, b, c thỏa mãn: và . Tìm giá trị nhỏ nhất của c.
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
2.1.
a) 
b) 
c) 
d) 
2.2.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2.3.
a) 
b) 
2.4. 
2.5. 
a) 
b) 
c) hoặc 
suy ra hoặc 
 hoặc 
Vậy 
d) 
Mà nên hay 
2.6. Theo công thức: 
Suy ra: 
2.7. Vì và có vai trò như nhau, không giảm tính tổng quát, giả sử 
Mặt khác 
+ Với 
+ Với loại.
+ Với loại.
+ Với loại.
+ Với 
Vậy cặp là 
2.8.
a) 
vì là ước lẻ của 6 mà ước lẻ của 6 là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị
1
3
-1
-3
x
6
2
-6
-2
Từ đó suy ra 
b) 
 và y là ước của 6, mà Ư(6)
Từ đó ta có bảng sau:
1
2
3
6
-1
-2
-3
-6
y
6
3
2
1
-6
-3
-2
-1
Từ đó suy ra 
c) 
 và y là ước của 4, mà Ư(4) nên ta có bảng giá trị:
1
2
4
-1
-2
-4
y
4
2
1
-4
-2
-1
Từ đó suy ra 
2.9. Từ đề bài suy ra: 
Từ đề bài, ta có: 
 hay 
2.10. Ta có:
Suy ra: mà: 
Vậy .
2.11. a) Xét biểu thức ta có:
Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh.
b) Ta có:
Hay (1)
Hay (2)
Từ (1) và (2), suy ra: . Điều phải chứng minh.
2.12. Đặt 100 số hữu tỉ đó là 
a) Theo đề bài ta có: trong ba số tồn tại ít nhất một số âm.
Giả sử 
Xét 
Ta có: theo đề bài: 
(có 33 nhóm) nên 
b) Theo đề bài ta có trong ba số tồn tại ít nhất một số âm.
Giả sử . Xét mà nên 
Xét với mà 
Vậy tất cả 100 số đó đều là số âm.
2.13. Ta có:
Mà 
Cũng như vậy: 
Mặt khác. 
Từ các điều kiện (điều phải chứng minh).
2.14. Đặt ;
Ta có 
 (1)
Mặt khác 
 (2)
Từ (1) và (2) hay 
2.15. Giả sử trong 100 số nguyên dương thỏa mãn: Không có hai số nào bằng nhau.
Khi đó 
 mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy có ít nhất 2 trong số 100 số nguyên dương đã cho bằng nhau.
2.16. Vì nên 
 (vì ) hay 
Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: khi đó 
	Chuyên đề 3. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu là khoảng cách từ điểm x tới điểm 0 trên trục số.
Ta có: 
Với mọi , ta luôn có: .
2. Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1.Tìm x, biết:
a) ; 	b) ;
c) ;	d) .
Giải
Tìm cách giải. Khi tìm x chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta lưu ý:
 thì hoặc .
 thì A = 0.
 thì không tồn tại.
Trình bày lời giải
a) 
suy ra hoặc 
do đó .
b) hoặc .
Vậy 
c) suy ra không tồn tại x.
d) hoặc 
 hoặc .
- Trường hợp 1. hoặc 
 hoặc 
- Trường hợp 2. hoặc 
Vậy .
Ví dụ 2. Tìm x; y; z thỏa mãn:
a) ;	b) 
Giải
Tìm cách giải. Khi tìm mà tổng các giá trị tuyệt đối bằng 0 ta lưu ý:
 thì và .
Trình bày lời giải
a) Ta có nên từ 
suy ra và và 
suy ra .
b) Ta có ;
nên từ 
suy ra 
do đó: .
Ví dụ 3. Tìm , biết: 
Giải
Tìm cách giải. Đối với dạng toán (1), chúng ta nhận thấy rằng vế trái là tổng các giá trị tuyệt đối. Do vậy có điều kiện: từ đó chúng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Khi đó (1) trở thành: . Và lời giải trở nên đơn giản.
Trình bày lời giải.
Điều kiện suy ra:
Ví dụ 4. Tìm , biết:
a) ;	b) 
Giải
Tìm cách giải. Chúng ta biết rằng hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau và ngược lại. Do vậy giải dạng toán này, chúng ta lưu ý: hoặc .
Trình bày lời giải.
a) hoặc 
- Trường hợp 1. Giải 
- Trường hợp 2. Giải:
Vậy 
b) 
hoặc 
- Trường hợp 1. Giải 
- Trường hợp 2. Giải:
Vậy 
Ví dụ 5. Tìm biết:
a) ;	b) ;
Giải
Tìm cách giải. Để giải dạng toán tổng giá trị tuyệt đối, chúng ta có thể:
Hướng 1. Xét dấu, bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Hướng 2. Vận dụng bất đẳng thức , dấu bằng xảy ra khi .
Hướng 3. Vận dụng bất đẳng thức , dấu bằng xảy ra khi .
Trình bày lời giải.
a) Ta có: nên
Do vậy dấu bằng chỉ xảy ra khi .
Vậy .
b) Ta có: . Dấu bằng chỉ xảy ra khi hoặc .
Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải
Ta có: 
Suy ra 
Mặt khác, ta có: 
Suy ra: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2019 khi 
Ví dụ 7. Thực hiện phép tính một cách hợp lí.
;
Giải
Tìm cách giải. Khi thực hiện các phép tính có biểu thức chứa các số thập phân và phân số, ta nên viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện các phép tính. Quan sát kĩ sau khi viết dưới dạng phân số, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân phối để rút gọn.
Trình bày lời giải
Ví dụ 8. Tính bằng cách hợp lí:
a) ;	b) ;
Giải
Tìm cách giải. Tính tổng các số thập phân ta có thể vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp để tính hợp lí hơn.
Trình bày lời giải
a) ;
b) 
C. Bài tập vận dụng
3.1. Tìm , biết:
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
3.2. Tìm , biết:
a) ;	b) .
3.3. Tìm , biết:
a) ;	c) ;
b) ;	d) .
3.4. Tìm thỏa mãn:
a) ;	b) 
c) 	d) 
3.5. Tìm , biết:
a) ;
b) ;
c) .
3.6. Tìm cặp số nguyên thỏa mãn:
a) ;	b) .
c) ;	d) .
3.7. Tìm , biết:
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
3.8. Tìm cặp thỏa mãn: .
3.9. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:
a) ;	b) ;
c) .
3.10. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
3.11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) 
3.12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3.13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với x là số nguyên.
3.14. Thực hiện phép tính: .
3.15. Thực hiện phép tính
a) ;
b) .
3.16. Tìm , biết:
a) ;
b) .
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
3.1. a) 
Vậy 
b) 
Vậy 
c) 
Vậy 
d) 
Vậy 
3.2.
a) (vì )
Vậy 
b) , nên suy ra: 
Vậy 
3.3.
a) 
Trường hợp 1. 
Trường hợp 2. 
. Vậy 
b) 
Trường hợp 1. 
Trường hợp 2. 
Vậy 
c) 
Trường hợp 1. 
Trường hợp 2. 
Vậy 
d) 
Trường hợp 1. 
Trường hợp 2. 
Vậy 
3.4.
a) Vì nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:
Vậy 
b) 
Vì nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:
. Vậy 
c) Vì nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:
Vậy 
d) Vì nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:
Vậy 
3.5.
a) Điều kiện , suy ra:
 (thỏa mãn điều kiện).
b) Điều kiện , suy ra:
 (thỏa mãn điều kiện).
c) Ta có: 
Từ đó suy ra: 
Suy ra: .
3.6.
a) suy ra bảng giá trị sau:
0
1
2
3
3
2
1
0
Từ đó suy ra:
x
4
-3; -5
-2; -6
-1; -7
y
5; -1
0; 4
3; 1
2
Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là:
b) 
Mặt khác là số lẻ nên chúng ta có bảng sau:
suy ra bảng giá trị sau:
1
3
3
1
Từ đó suy ra:
x
0; -1
1; -2
y
4; -2
2; 0
Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là:
c) 
Mặt khác chia hết cho 3, nên chúng ta có bảng sau:
Suy ra bảng giá trị sau:
0
3
5
2
Từ đó suy ra:
x
0
1; -1
y
0; -10
-3; -7
Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là:
d) 
Mặt khác chia hết cho 5, nên chúng ta có bảng sau:
Suy ra bảng giá trị sau:
0
5
7
2 (loại)
Từ đó suy ra:
x
0
y
2; -5
Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là: 
3.7.
a) Ta có: và nên
Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi và hay 
Vậy 
b) Ta có và 
Suy ra 
Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi và hay 
Vậy 
c) Ta có nên 
Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi và 
Vậy 
d) 
Dấu bằng chỉ xảy ra khi 
3.8.
Ta có: 
Mặt khác: suy ra 
Dấu bằng chỉ xảy ra khi 
3.9.
a) Xét , suy ra và cùng dấu.
+ Trường hợp 1. Xét và 
 và không xảy ra.
+ Trường hợp 2. Xét và 
 và 
+) Với suy ra: 
+) Với suy ra 
+ Trường hợp 3.
Từ đó ta có cặp số nguyên sau thỏa mãn:
b) Xét suy ra và cùng dấu.
+ Trường hợp 1.
+) Xét và 
+) Xét suy ra 
+) Xét suy ra 
+) Xét suy ra 
+ Trường hợp 2. và và vô lý (loại)
Xét 
Từ đó, ta có cặp số nguyên sau thỏa mãn:
c) suy ra và cùng dấu.
+ Trường hợp 1.
+) Xét và 
+) Xét vô lý vì (loại).
+) Xét 
 vô lý vì .
+ Trường hợp 2. và và vô lý (loại).
Vậy không tồn tại cặp số nguyên thỏa mãn.
3.10.
a) Áp dụng dấu bằng chỉ xảy ra khi 
Mặt khác: suy ra 
Đẳng thức chỉ xảy ra khi và với .
Vậy ta có cặp số nguyên thỏa mãn:
b) và 
Đẳng thức xảy ra khi và suy ra 
c) Ta có 
Ta có 
Dấu bằng xảy ra khi và . Vì suy ra 
. Từ đó suy ra các cặp .
d) Ta có 
Mặt khác: 
Dấu bằng xảy ra khi và vì nên ta có cặp số nguyên thỏa mãn là: 
3.11.
a) Ta có 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi 
b) Ta có 
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là khi 
c) Ta có . Vậy giá trị nhỏ nhất của C là khi .
d) Ta có . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi .
e) Ta có 
Dấu bằng xảy ra khi và hay 
Vậy giá trị nhỏ nhất của E là khi .
3.12. Ta có:
Và suy ra .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi .
3.13. Ta có: 
Dấu bằng khi và 
Với suy ra 
Vậy với thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 3020.
3.14. Ta có: 
3.15.
a) 
b) 
3.16.
a) 
b) 
Chuyên đề 4. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên 
Quy ước : 
2. Các phép tính về lũy thừa
3. Lũy thừa với số mũ nguyên âm
 với 
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức : 
Giải
Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng các công thức biến đổi về lũy thừa của các số nguyên tố. Sau đó có thể dùng tính chất phân phối của phép nhân đối và phép cộng.
Trình bày lời giải. 
Ta có : 
Ta có :
Ví dụ 2: Tìm x
a) 	b) 	c) 
Giải
Tìm cách giải. Khi tìm x có chứa lũy thừa ở phần cơ số ta đưa hai vế về cùng số mũ và lưu ý:
 (với n lẻ) thì 
 (với n chẵn) thì hoặc 
Để tìm x ở phần số mũ ta đưa hai vế về cùng cơ số và sử dụng :
 (với ) thì 
Trình bày lời giải
a) hoặc 
 Suy ra 
b) 
c) 
Ví dụ 3:
a) Chứng minh rằng chia hết cho 66
b) Chứng minh rằng với số nguyên dương n thì chia hết cho 30
Giải
Tìm cách giải. Để chứng minh ta có thể vận dụng tính chất :
thì 
 mà thì thì 
Trình bày lời giải
a) Ta có : 
b) Ta có : 
Ví dụ 4: Thu gọn các biểu thức sau:
a) 
b) 
c) 
Giải
Tìm cách giải. Những bài toán tính tổng đại số về lũy thừa có cùng cơ số theo quy luật , chúng ta cần nhân hai vế với một lượng thích hợp để được biểu thức mới, mà bắt đầu từ hạng tử đối nhau thì cộng biểu thức ban đầu với biểu thức mới, bằng nhau thì trừ biểu thức mới với biểu thức ban đầu
Trình bày lời giải
a) Xét 
b) Xét 
c) Xét 
Ví dụ 5: Chứng minh rằng tổng:
Giải
Tìm cách giải. Bản chất của bài toán là thu gọn tổng S. Tương tự như ví dụ trên, dễ dàng phát hiện ra nhân hai vế của tổng S với . Sau đó cộng với biểu thức S. Cuối cùng đánh giá
Trình bày lời giải
Xét 	
 hay 
Ví dụ 6: Đặt. Chứng minh rằng A chia hết cho 120
Giải
Biểu thức A có 100 số hạng. Kể từ số hạng đầu, cứ nhóm 4 số hạng liên tiếp với nhau được 25 nhóm
. Điều phải chứng minh
C. Bài tập vận dụng
4.1. Tính:
a) 	b) 
4.2. Thực hiện phép tính: 
4.3. Cho .Tính 
4.4. Tìm x, biết :
a) 	b) 
4.5. Tìm số tự nhiên x, biết : 
4.6. Tìm x , biết :
a) 
b) 
4.7. Chứng minh rằng :
4.8. Chứng minh rằng : 
4.9. Chứng minh rằng : 
4.10. Chứng minh rằng : 
4.11. Xét tổng . Hãy so sánh T với 3
4.12. Cho và .Tính 
 (Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)
4.13. Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 
4.14. Chứng tỏ rằng:
a) chia hết cho 10
b) chia hết cho 7
c) chia hết cho 41
4.15. Thu gọn biểu thức sau :
a) 
b) 
c) 
4.16. Đố. Bạn có thể điền các lũy thừa của 2 vào
các ô vuông còn lại trong bảng bên sao cho
tích các lũy thừa trong mỗi hàng, mỗi cột và
mỗi đường chéo bằng nhau được không ?
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
4.1
a) 
b) 
4.2. 
4.3. Xét 
 do đó : 
4.4. 
a) 
b) Ta có 
4.5. 
4.6.
a) Ta có 
b) 
4.7. Đặt vế trái của bất đẳng thức là A
Xét : 
Suy ra : hay: 
Điều phải chứng minh.
4.8. Xét 
4.9. Đặt 
 Ta có 
 Ta có : 
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
4.10. Ta có : 
 Điều phải chứng minh
4.11. Xét : 
mà 
Suy ra : 
4.12. Ta có :
Do đó 
4.13. Xét là số chẵn
Xét là số chẵn
 là số chẵn là số lẻ 
Theo nhận xét trên thì do đó 
Vậy .
4.14.
a) 
Ta có tận cùng là 1 nên tận cùng là 1 , mà tận cùng là 7
Suy ra tận cùng là tận cùng là 7
Ta có: 
Ta có tận cùng là 1 nên tận cùng là 1
Suy ra tận cùng là 7
Do vậy tận cùng là 0. Vậy chia hết cho 10
b) chia hết cho 7
c) chia hết cho 41
4.15.
a) Xét 
suy ra 
b) Xét 
suy ra 
c) Xét 
suy ra 
Xét 
Suy ra : 
4.16. Bạn có thể điền như sau :
Chuyên đề 5. TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa. Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
Dạng tổng quát : hoặc 
Các số a và d gọi là ngoại tỉ ; các số b và c gọi là trung tỉ.
2. Tính chất của tỉ lệ thức
Tính chất cơ bản : 
Tính chất hoán vị: Từ một tỉ lệ thức ta có thể:
Đổi chỗ hai ngoại tỉ cho nhau;
Đổi chỗ hai trung tỉ cho nhau;
Vừa đổi chỗ hai ngoại tỉ, vừa đổi chỗ hai trung tỉ.
3. Từ dãy tỉ số ta suy ra : 
 (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
4. Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5.
 Ta cũng viết 
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và 
Giải
Tìm cách giải. Để tìm x,y trong dãy tỉ số bằng nhau và biết thêm điều kiện rằng buộc. Ta có thể:
Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Cách 3. Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)
Trình bày lời giải
+ Cách 1 : (Đặt ẩn phụ)
Đặt suy ra : 
Theo giả thiết : 
Do đó : 
Kết luận 
+ Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 
Do đó : 
Kết luận : 
+ Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết 
Mà 
Do đó : 
Kết luận 
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết : và 
Giải
Tìm cách giải. Từ hai tỉ lệ thức của giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số bằng nhau. Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y vì vậy khi nối cần tạo thành phần chứa y giống nhau. Sau đó vẫn ý tưởng như ví dụ trên, chúng ta có 3 cách giải.
Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ. Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k.
Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Cách 3. Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số bằng nhau.
Trình bày lời giải
+ Cách 1. Từ giả thiết : 
Từ (1) và (2) , suy ra : 
Ta đặt suy ra 
Theo giả thiết : 
Do đó: .
+ Cách 2. Chúng ta biến đổi giả thiết như cách 1 đến (*)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
Do đó: 
Kết luận : .
+ Cách 3. (phương pháp thế : ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết : 
Mà 
Suy ra : 
Kết luận : 
Ví dụ 3: Tìm hai số x và y biết và 
Giải
Đặt suy ra : 
Theo giả thiết : 
+ Với thì 
+ Với thì 
Kết luận. Vậy là .
Nhận xét. Trong ví dụ này có thể chúng ta mắc sai lầm sau :
+ Thứ nhất trong lời giải trên thiếu trường hợp 
+ Thứ hai chúng ta vận dụng tính chất : Chúng ta lưu ý rằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với nhau. Do vậy gặp điều kiện về phép nhân hoặc lũy thừa giữa các biến, chúng ta nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
Ví dụ 4:Với a, b, c, x, y, z khác 0 , biết 
Chứng minh rằng : 
Giải
Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa về : hay cần chứng minh . Vì vậy từ giả thiết ta cần chứng minh. Với suy nghĩ đó , chúng ta cần nhân mỗi tỉ số với một số thích hợp vào tử và mẫu số sao cho khi vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì được kết quả bằng 0. Quan sát tỉ số và ta thấy bz và ; để triệt tiêu được, chúng ta cần nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất với a; nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ hai với b. Tương tự như vậy với tỉ số thứ ba.
Trình bày lời giải
Từ đề bài ta có : 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
Suy ra 
Ví dụ 5: Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tỉ lệ với 5 và 8. Diện tích bằng . Tính chu vi hình chữ nhật đó.
Giải
Trình bày lời giải
Đặt chiều rộng và chiều dài khu đất là x và y (mét; x,y > 0)
Theo đề bài , ta có : và 
Đặt (điều kiện k > 0 ) , suy ra : 
Theo giả thiết : (vì )
Từ đó ta tìm được : 
Suy ra chu vi hình chữ nhật là : 
Ví dụ 6: Cho a, b, c, d khác 0 và không đối nhau từng đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số bằng nhau :
Tính 
Giải
Từ giả thiết suy ra :
+ Trường hợp 1: Xét 
Suy ra 
+ Trường hợp 2 :Xét 
Suy ra 
Ví dụ 7: Cho a, b, c, d khác 0 ,thỏa mãn tỉ lệ thức 
Chứng minh rằng 
Giải
Từ . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
Từ 
Từ 
Từ (1) và (2) , suy ra : hay 
Ví dụ 8: Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết nếu cộng lần lượt từng độ dài hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỉ lệ với 7; 6 ; 5.
Giải
Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c. Độ dài ba đường cao tương ứng là . Theo đề bài ta có : và 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
Mặt khác 
Từ (2),(3) suy ra : 
Đặt 
Kết hợp với (1), ta có : 
Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; 6.
C. Bài tập vận dụng
5.1. Tìm x, y biết :
a) 	b) 
5.2. Cho x, y thỏa mãn . Tìm x, y
5.3. Tìm các số x, y, z biết rằng:
a) và 
b) và 
c) và 
5.4. Tìm x, y, z biết rằng:
a) và 
b) 
c) 
d) 
e) và 
5.5. Cho . Chứng minh rằng:
a) 
b) 
5.6. Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn và 
Chứng minh 
5.7. Cho tỉ lệ thức . Tính giá trị của tỉ số 
5.8. Chứng minh rằng : Nếu thì 
5.9. Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn . Chứng minh rằng:
a) 	b) .
5.10. Chứng minh nếu trong đó a, b, c khác nhau và khác 0 thì ta có 
5.11. Cho a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng :
5.12. Cho và . Chứng minh rằng :
5.13. Cho . Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên 
5.14. Cho dãy tỉ số bằng nhau : 
Tính giá trị biểu thức 
5.15. Cho và . Tính 
5.16. Cho a, b, c là ba số dương, thỏa mãn điều kiện : 
Hãy tính giá trị của biểu thức .
5.17. Cho a, b, c thỏa mãn và .Chứng minh rằng : 
5.18. Cho x, y, z khác 0, thỏa mãn . Chứng minh rằng 
5.19. Cho và .Tính giá trị biểu thức (giả thiết A có nghĩa)
5.20. Cho các số a; b; c khác 0 thỏa mãn 
Tính giá trị của biểu thức 
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
5.1.
a) Vì 
 . Thay vào đề bài ta có :
b) Ta có : 
 Thay vào đề bài ,ta được : 
 Vậy và 
5.2. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
Kết hợp với đề bài suy ra: 
Trường hợp 1: Xét 
suy ra: 
Trường hợp 2: Xét suy ra 
Thay vào đề bài ta có : 
Vậy 
Nhận xét. bài này dễ bỏ sót trường hợp 1
5.3.
a) Đặt 
Mà 
+ Với suy ra 
+ Với suy ra 
b) suy ra 
Đặt 
Mà 
Vậy 
c) Ta có : 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : 
suy ra : 
5.4.
a) Từ 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
Từ đó suy ra : 
b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 
a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
Kết hợp với đề bài, suy ra : 
Suy ra : 
b) Giải tương tự câu c, ta được : 
c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Suy ra : 
Từ (1) ,(2) và (3) nhân vế với vế : 
+ Trường hợp 
 Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có : 
+ Trường hợp 
 Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có: 
5.5. Đặt 
a) Xét 
Xét 
Từ (1) và (2), suy ra : 
b) Đặt 
Xét 
Xét 
Từ (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh
5.6. Đặt 
Xét 
Xét 
Từ (1) và (2) , suy ra : , điều phải chứng minh
5.7. Từ suy ra : 
5.8. Từ suy ra : 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
Từ (1) và (2) , suy ra : , điều phải chứng minh.
5.9. Từ .
Đặt 
a) Xét 
Xét 
Từ (1) và (2), suy ra : điều phải chứng minh.
b) Xét 
Xét 
Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh
5.10. Từ suy ra 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
Từ (1), (2), (3) , suy ra , điều phải chứng minh
5.11. Áp dụng tỉ số bằng nhau , ta có :
Do đó