Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 05 (Phần 2) - Hình học - Trương Ngọc Vỹ

CHUYÊN ĐỀ 05 (Phần 2)
HÌNH HỌC
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC TRUNG BÌNH - KHÁ - GIỎI XUẤT SẮC
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Bình Định năm 2021)
Cho tam giác có nội tiếp trong đường tròn tâm . Gọi là trung điểm , đường thẳng cắt cung nhỏ tại , cắt cung lớn tại . Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống , là chân đường vuông góc hạ từ xuống 
a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh .
c) Đường thẳng cắt tại . Đường thẳng cắt , lần lượt tại và Chứng minh: và .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Quãng Ngãi năm 2021)
Cho đường tròn và điểm nằm bên ngoài đường tròn, . Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Trong trường hợp , tính độ dài đoạn thẳng theo .
c) Gọi là điểm đối xứng của qua . Đường thẳng cắt đường tròn tại (khác ). Hai đường thẳng và cắt nhau tại . Chứng minh rằng .MA.
d) Tìm mối liên hệ giữa và để tứ giác là hình thoi.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố Đà Nẵng năm 2021)
Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại 
a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là trung điểm của Đường tròn đường kính cắt tại điểm ( khác ). Chứng minh rằng .
c) Hai đường thẳng và cắt nhau tại Chứng minh rằng và đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác song song với đường thẳng 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021)
Cho ba điểm phân biệt, cố định và thẳng hàng sao cho nằm giữa và . Vẽ nửa đường tròn tâm đường kính . Từ kẻ tiếp tuyến đến nửa đường tròn ( là tiếp điểm). Trên cung lấy điểm ( không trùng và ), đường thẳng cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là ( không trùng ). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng và là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng . Chứng minh: 
a) Tứ giác nội tiếp;
b) Hai tam giác và đồng dạng với nhau;
c) Trọng tâm của tam giác luôn nằm trên một đường tròn cố định khi thay đổi trên cung .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK LẮK năm 2021)
Trên nửa đường tròn tâm đường kính với , lấy điểm ( khác và ), từ kẻ vuông góc . Gọi là điểm bất kì trên đoạn ( khác và , đường thẳng cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai .
1) Chứng minh tứ giác BHDE là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: .
3) Chứng minh: .
4) Khi điểm di động trên nửa đường tròn ( khác , và điểm chính giữa cung ), xác định vị trí điểm sao cho chu vi tam giác đạt giá trị lớn nhất.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK NÔNG năm 2021)
Cho nửa đường tròn đường kính . Vẽ tia tiếp tuyến củng phía với nửa đường tròn đường kính . Lấy một điểm trên tia . Vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn ( là tiếp điểm). Vẽ cắt tại , Vẽ cắt nửa đường tròn tại .
a) Chứng minh : Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
b) Chứng minh: .
c) Vẽ vuông góc với . Chứng minh rằng đi qua trung điểm của đoạn thẳng . 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KOMTUM năm 2021)
Cho đường tròn (C) tâm O có bán kính , vẽ dây cung AB của đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ tâm O tới AB là 3cm. Tính diện tích hình chữ nhật nội tiếp (O) có một cạnh là dây cung AB.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KOMTUM năm 2021)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao BH, CK (H nằm trên AC, K nằm trên AB).
1. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp và .
2. Chứng minh .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh GIA LAI năm 2021)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại .
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh EF vuông góc OA.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố HÀ NỘI năm 2021)
Cho tam giác vuông tại . Vẽ đường tròn tâm , bán kính . Từ điểm kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( là tiếp điểm, và nằm khác phía đối với đường thẳng )
1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
2) Lấy điểm thuộc đoạn thẳng ( khác , khác ). Lấy điểm thuộc tia đối của tia sao cho . Chứng minh tam giác là tam giác cân và đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
	Từ một điểm nằm ngoài đường tròn với . Vẽ 2 tiếp tuyến với đường tròn (với là các tiếp điểm).
	a) Tứ giác nội tiếp được đường tròn.
	b) Lấy điểm thuộc cung nhỏ ( khác và ). Tia cắt tại điểm thứ hai là . Đoạn thẳng cắt cung nhỏ tại . Chứng minh là tia phân giác của 
	c) Kẻ đường kính của đường tròn . Tia cắt tia tại . Chứng minh 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021)
Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn . Các đường cao (), () và () cắt nhau tại .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn;
b) Chứng minh là tia phân giác .
c) Kẻ đường kính , gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TIỀN GIANG năm 2021)
Cho nửa đường tròn đường kính . Lấy điểm thuộc nửa đường tròn sao cho . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , đường thẳng vuông góc với tại cắt dây và tia lần lượt tại và .
	a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.
	b) Gọi là trung điểm . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của nửa đường tròn .
	c) Chứng minh rằng 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SÓC TRĂNG năm 2021)
Từ điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến SCD không đi qua O (C nằm giữa S và D). Gọi K là giao điểm của SO với cung nhỏ AB và H là giao điểm của SO với đoạn thẳng AB. Chứng minh:
a) Tứ giác SAOB nội tiếp.
b) .
c) .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KIÊN GIANG năm 2021)
Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngài tại . Gọi là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này (với và ). Tiếp tuyến chung tại của hai đường tròn và cắt đoạn thẳng tại .
a) Chứng minh vuông góc với .
b) Gọi là giao điểm của với và là giao điểm củavới . Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác , là trung điểm của . Chứng minh 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẬU GIANG năm 2021)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ các đường cao AH, BK và CP của tam giác ABC, với 
a) Chứng minh tứ giác BPKC nội tiếp.
b) Chứng minh rằng 
c) Đường thẳng PK cắt (O) tại hai điểm E và F. Chứng minh OA là tia phân giác của .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2021)
Cho đường tròn . Từ một điểm . ở ngoài đường tròn , kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
b) Vẽ đường kính của đường tròn , là điểm trên sao cho vuông góc . Điểm là giao điểm của . Chứng minh là trung điểm của .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021)
Cho có ba góc nhọn . Ba đường cao cắt nhau tại . 
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
2) Gọi là trung điểm của . Chứng minh tiếp tuyến của đường tròn .
3) Vẽ cắt đường tròn tại (khác ), cắt tại . Chứng minh ba điểm thẳng hàng
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH PHƯỚC năm 2021)
Từ điểm nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến không đi qua tâm nằm giữa và và nằm về hai phía so với cát tuyến ). Gọi là trung điểm của .
a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn.
b) Chứnng minh là phân giác của .
c) Kẻ dây vuông góc sao cho cắt tại . Chúng minh đi qua trung điểm của đọn thẳng .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH DƯƠNG năm 2021)
Cho tam giác vuông tại nội tiếp trong đường tròn tâm . Dựng đường thẳng qua song song , đường thẳng qua song song , gọi là giao điểm của và . Dựng vuông góc ( nằm trên ), là giao điểm của với đường tròn . Chứng minh:
a) Tứ giác nội tiếp được trong đường tròn. 
b) 
c) Tứ giác là hình bình hành.
d) .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CÀ MAU năm 2021)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M, tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm D.
a) Chứng minh rằng tứ giác OBMC nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh MB2 = MD.MA
c) Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AD; tia CE cắt đường tròn (O) tại điểm F. Chứng minh rằng: BF // AM.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẠC LIÊU năm 2021)
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại hai điểm A; B. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M; qua M kẻ hai tiếp tuyến MC; MD với đường tròn (O) ( C; D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
a) Chứng minh tứ giác OMCH nội tiếp.
b) OM cắt đường tròn (O) tại I và cắt CD tại K. Chứng minh 
c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM, cắt tia MC và MD lần lượt tại P và Q. Tính độ dài OM theo R sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẾN TRE năm 2021)
Cho đường tròn và điểm sao cho . Từ kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn ( là các tiếp điểm).Trên đoạn thẳng lấy điểm ( khác và , dựng đường thẳng vuông góc với tại và tại 
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
2) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
3) Gọi là giao điểm của đường thẳng và sao cho điểm nằm giữa và . Chứng minh tứ giác là hình thoi
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH THUẬN năm 2021)
Từ điểm nằm bên ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến , với đường tròn ( là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Từ vẽ cát tuyến đến đường tròn (với ). Chứng minh 
c) cắt tại . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , tia cắt tại . Đặt . Chứng minh 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ GIANG năm 2021)
Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn
b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P, Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2016)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với AC tại K. Đường thẳng d cắt tiếp tuyến đi qua A của đường tròn ( O ) tại điểm M và cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai N ( N khác B ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên BC.
	1) Chứng minh tứ giác CNKH nội tiếp được trong một đường tròn. 
	2) Tính số đo góc , biết số đo cung nhỏ BC bằng .
	3) Chứng minh rằng: KN.MN = .( AM 2 – AN 2 – MN 2 ).
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG BÌNH năm 2016)
Cho đường tròn tâm O ,bán kính R và N là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ N kẻ hai tiếp tuyến NA, NB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm).
Gọi E là giao điểm của AB và ON.
a) Chứng minh tứ giác NAOB nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Tính độ dài đoạn thẳng AB và NE biết ON = 5cm và R = 3 cm.
c) Kẻ ta Nx nằm trong góc ANO cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt C và D ( C nằm giữa N và d) Chứng minh rằng 
HƯỚNG DẪN GIẢI
CHUYÊN ĐỀ 05 (Phần 2)
HÌNH HỌC
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC TRUNG BÌNH - KHÁ - GIỎI XUẤT SẮC
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Bình Định năm 2021)
Cho tam giác có nội tiếp trong đường tròn tâm . Gọi là trung điểm , đường thẳng cắt cung nhỏ tại , cắt cung lớn tại . Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống , là chân đường vuông góc hạ từ xuống 
a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh .
c) Đường thẳng cắt tại . Đường thẳng cắt , lần lượt tại và Chứng minh: và .
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Ta có: (gt)
 Hai điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính hay tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh .
Vì là trung điểm nên 
 thuộc đường tròn đường kính 
 (cùng chắn cung )
Mà (góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn tâm )
Suy ra: 	(1)
Lại có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm )
 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Cách khác
Vì là trung điểm nên 
 thuộc đường tròn đường kính 
 (cùng chắn cung )	
Lại có: (cùng chắn cung của đường tròn tâm )
Mà (vì , góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 	 (vì )
Suy ra 	
Từ và suy ra 
Mặt khác 
Suy ra (đpcm)
c) Đường thẳng cắt tại . Đường thẳng cắt , lần lượt tại và Chứng minh: và .
* Chứng minh: 
Ta có: (vì là điểm chính giữa cung ) 
 là phân giác trong góc 
Mà là phân giác ngoài góc 
 cân tại (do vừa là đường cao vừa là phân giác) 
Xét và , có: cạnh chung; ; 
 = (c – g – c) 
*Chứng minh: 
Tam giác có:
là phân giác trong đỉnh 	
 là phân giác ngoài đỉnh 	
Từ và suy ra (đpcm)
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Quãng Ngãi năm 2021)
Cho đường tròn và điểm nằm bên ngoài đường tròn, . Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Trong trường hợp , tính độ dài đoạn thẳng theo .
c) Gọi là điểm đối xứng của qua . Đường thẳng cắt đường tròn tại (khác ). Hai đường thẳng và cắt nhau tại . Chứng minh rằng .MA.
d) Tìm mối liên hệ giữa và để tứ giác là hình thoi.
Lời giải
a) Chứng minh rằng 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.
Tứ giác có : 
Suy ra tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).
Suy ra 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Trong trường hợp , tính độ dài đoạn thẳng theo .
Gọi là giao điểm giữa và 
Có là hai tiếp tuyến cắt nhau nên thuộc trung trực của .
 nên thuộc trung trực của .
 là trung trực của 
 và là trung điểm của .
Tam giác vuông tại nên 
Ta giác vuông tại có: nên 
Vậy .
c) Gọi là điểm đối xứng của qua . Đường thẳng cắt đường tròn tại (khác ). Hai đường thẳng và cắt nhau tại . Chứng minh rằng 
Tứ giác nội tiếp nên hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Trong có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Mặt khác (hai góc đối đỉnh)
Suy ra .
Xét và có: 
d) Tìm mối liên hệ giữa và để tứ giác là hình thoi.
Hai tam giác và có góc chung và nên đồng dạng. Suy ra 
Ma nên .
Lại có góc chung nên các tam giác và đồng dạng, suy ra 
Kết hợp với (cùng chắn cung ), ta có 
Suy ra . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , ta có , kết hợp với ta được là trung điểm của . Tứ giác có hai đường chéo vuông góc tại và nên là hình thoi khi và chì khi 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố Đà Nẵng năm 2021)
Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại 
a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là trung điểm của Đường tròn đường kính cắt tại điểm ( khác ). Chứng minh rằng .
c) Hai đường thẳng và cắt nhau tại Chứng minh rằng và đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác song song với đường thẳng 
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác có: 
 (BD là đường cao)
 (CE là đường cao)
, mà hai góc này kề nhau cùng nhìn đoạn một góc bằng .
 là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh .
Xét tứ giác có: 
(gt) 
, mà hai góc này ở vị trí đối nhau.
 là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
 (góc nội tiếp cùng chắn ) 
Ta có: tứ giác nội tiếp (cma) (góc ngoài của tứ giác nội tiếp) 
Từ , hay 
Xét và có:
 chung
 (cmt)
 (g - g)
 (đpcm)
c)
Xét đường tròn đường kính có: (góc nội tiếp cùng chắn ) 
Mà (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác )
Lại có: (kề bù),mà hai góc này ở vị trí đối nhau
 là tứ giác nội tiếp 
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) 
Lại có: (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) cân tại .
 (hai góc ở đáy của tam giác cân) 
Từ , hay 
Xét và có:
 chung
 (cmt)
 (g- g)
 (hai góc tương ứng) (đpcm)
Ta có: (cmb) hay 
Mà: (kề bù),mà hai góc này ở vị trí đối nhau
 là tứ giác nội tiếp 
Ta có hai tứ giác là các tứ giác nội tiếpĐường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác .
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác , là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
Mà giao của hai tứ giác là 
Gọi 
Xét tứ giác có: , mà hai góc này ở vị trí kề nhau
 là tứ giác nội tiếp.
 (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp) 
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) 
Lại có: (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) cân tại .
 hay 
Mà (cùng phụ với )
Từ ,,
Xét và có: 
 chung; 
 (Cmt)
 (g - g) 
Có: (cmt) 
Mà (cmt)
 (c-g-c) (hai góc ương ứng)
 là tứ giác nội tiếp ( tứ giác có goc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện).
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
 hay 
Từ ,
 Vậy đường tròn nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác song song với .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021)
Cho ba điểm phân biệt, cố định và thẳng hàng sao cho nằm giữa và . Vẽ nửa đường tròn tâm đường kính . Từ kẻ tiếp tuyến đến nửa đường tròn ( là tiếp điểm). Trên cung lấy điểm ( không trùng và ), đường thẳng cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là ( không trùng ). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng và là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng . Chứng minh: 
a) Tứ giác nội tiếp;
b) Hai tam giác và đồng dạng với nhau;
c) Trọng tâm của tam giác luôn nằm trên một đường tròn cố định khi thay đổi trên cung .
Lời giải
a) Tứ giác nội tiếp;
+) Vì là trung điểm của dây cung . 
+) Ta có là tiếp tuyến của nửa đường tròn .
+) Vì tứ giác có nên tứ giác nội tiếp được trong đường tròn. 
b) Hai tam giác và đồng dạng với nhau;
+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với là đường cao, ta có:
.
+) Mà (bán kính của nửa đường tròn )
Suy ra .
+) Xét và có:
 góc chung;
;
Suy ra .
c) Trọng tâm của tam giác luôn nằm trên một đường tròn cố định khi thay đổi trên cung .
+) Gọi là trọng tâm của tam giác .
+) Gọi là điểm trên đoạn sao cho .
+) Vì cố định suy ra cố định cố định cố định.
+) Tam giác có .
Vậy luôn nằm trên đường tròn cố định đường kính cố định khi điểm thay đổi trên cung . 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK LẮK năm 2021)
Trên nửa đường tròn tâm đường kính với , lấy điểm ( khác và ), từ kẻ vuông góc . Gọi là điểm bất kì trên đoạn ( khác và , đường thẳng cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai .
1) Chứng minh tứ giác BHDE là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: .
3) Chứng minh: .
4) Khi điểm di động trên nửa đường tròn ( khác , và điểm chính giữa cung ), xác định vị trí điểm sao cho chu vi tam giác đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
1) Xét tứ giác có: ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên do đó tứ giác BHDE nội tiếp.
2) Xét hai tam giác và có: chung; 
Nên do đó hay .
3) HD: Dựa vào ý (1) để chứng minh khi đó:
.
4) Tam giác vuông tại nên theo định lí Pytago ta có:
Hay là nên 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi điểm nằm trên nửa đường tròn sao cho .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK NÔNG năm 2021)
Cho nửa đường tròn đường kính . Vẽ tia tiếp tuyến củng phía với nửa đường tròn đường kính . Lấy một điểm trên tia . Vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn ( là tiếp điểm). Vẽ cắt tại , Vẽ cắt nửa đường tròn tại .
a) Chứng minh : Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
b) Chứng minh: .
c) Vẽ vuông góc với . Chứng minh rằng đi qua trung điểm của đoạn thẳng . 
Lời giải
a) Chứng minh: Tứ giác AMDE nội tiếp trong một đường tròn.
Ta có: thuộc trung trực của .
 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thuộc trung trực của .
 là trung trực của tại .
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .
Xét tứ giác có là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
 (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn dưới một góc .
b) Chứng minh .
Xét và có:
 chung;
 cạnh tương ứng 
c) Vẽ vuông góc với Chứng minh rằng đi qua trung điểm của đoạn thẳng .
Gọi .
Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) nên (góc ngoài và góc trong tại đinh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Mà (cùng phụ với ) nên (1).
Ta có (đối đinh), mà (2).
Từ (1) và .
 là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Mà ( 2 góc nội tiểp cùng chắn cung ).
. Mà 2 góc này nằm ở vị trí 2 góc đồng vị nên hay .
Lại có: là trung điểm của (do là trung trực của ).
 là trung điểm của (định lí đường trung bình trong tam giác ).
Vậy đi qua là trung điểm của (đpcm).
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KOMTUM năm 2021)
Cho đường tròn (C) tâm O có bán kính , vẽ dây cung AB của đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ tâm O tới AB là 3cm. Tính diện tích hình chữ nhật nội tiếp (O) có một cạnh là dây cung AB.
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB 
vuông tại H có
Vẽ đường kính AC, BD
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có AC=2AO =10(cm}.
Áp dụng địnhh lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:
(cm)
Vậy (cm)
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KOMTUM năm 2021)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao BH, CK (H nằm trên AC, K nằm trên AB).
1. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp và .
2. Chứng minh .
Lời giải
1. Vì BH, CK là các đường cao của nên .
Xét tứ giác có nên BHCK là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
 (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Xét và có: chung; (cmt)
2. Kẻ tiếp tuyến A x của (O)
Ta có (cùng chắn cung AC)
Mà (cmt) 
Suy ra: 
Lại có 2 góc này nằm ở vị trí 2 góc so le trong nên A x / / H K.
Vì A x là tiếp tuyến của (O) tại A nên OA Ax 
Vậy OA HK
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh GIA LAI năm 2021)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại .
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh EF vuông góc OA.
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn:
+ Ta có : ( CF là đường cao trong )
 ( BE là đường cao trong )
+ Suy ra điểm E và điểm F nằm trên đường tròn đường kính AH.
 Hay tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH (đpcm).
b) Chứng minh EF vuông góc OA :
+ Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tâm O ( x ở cùng hướng với điểm B so với OA).
+ Ta có ( CF là đường cao trong )
 ( BE là đường cao trong )
 Suy ra điểm E và điểm F nằm trên đường tròn đường kính BC.
 Hay tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
 (tổng hai góc đối của tứ giác BFEC nội tiếp một đường tròn).
Mà ( kề bù)
 (cùng bù ).
 Laị có : ( góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, cùng chắn cung AB của đường tròn tâm O).
(cùng bằng ). 
 Hai góc này nằm ở vị trí so le trong, suy ra Ax song song FE.
Ta lại có: Ax vuông góc với AO( Ax là tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại tiếp điểm A).
Suy ra: FE vuông góc AO (đpcm).
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố HÀ NỘI năm 2021)
Cho tam giác vuông tại . Vẽ đường tròn tâm , bán kính . Từ điểm kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( là tiếp điểm, và nằm khác phía đối với đường thẳng )
1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
2) Lấy điểm thuộc đoạn thẳng ( khác , khác ). Lấy điểm thuộc tia đối của tia sao cho . Chứng minh tam giác là tam giác cân và đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng .
Lời giải
Tam giác ABC vuông tại A nên 
=> A thuộc đường tròn đường kính BC
BM là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên 
=> M thuộc đường tròn đường kính BC
KL: Bốn điểm A, C, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính BC
* Xét và có:
=> Tam giác CPN cân tại C 
* Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng NP
Tam giác CPN cân tại C và I là trung điểm của đoạn thẳng NP nên CI ⊥ NP
Tứ giác NACI nội tiếp 
Tứ giác CIMP nội tiếp
Ta có (vì I nằm giữa N và P)
mà 2 góc này kề nhau
à 3 điểm thẳng hàng
KL: Đường thẳng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng NP
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
	Từ một điểm nằm ngoài đường tròn với . Vẽ 2 tiếp tuyến với đường tròn (với là các tiếp điểm).
	a) Tứ giác nội tiếp được đường tròn.
	b) Lấy điểm thuộc cung nhỏ ( khác và ). Tia cắt tại điểm thứ hai là . Đoạn thẳng cắt cung nhỏ tại . Chứng minh là tia phân giác của 
	c) Kẻ đường kính của đường tròn . Tia cắt tia tại . Chứng minh 
Lời giải:
a) HS tự cm
b) đpcm
c) 
Tương tự: 
Từ (1) và (2) (Vì: AD = AE)
Mà: là phân giác ngoài của (Vì: NK là phân giác trong)
Từ (3) và (4) đpcm
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021)
Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn . Các đường cao (), () và () cắt nhau tại .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn;
b) Chứng minh là tia phân giác .
c) Kẻ đường kính , gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn;
Tứ giác có (tính chất của các đường cao) tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
b) Chứng minh là tia phân giác .
Tứ giác có (GT) tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (hai góc nội tiếp cùng chắn );
Tứ giác có (GT) tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (hai góc nội tiếp cung chắn );
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn ) là tia phân giác của .
c) Kẻ đường kính , gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Ta có (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ;
Mà (GT) (cùng vuông góc với ); (cùng vuông góc với ) tứ giác có các cạnh đối song song nên là hình bình hành, có là trung điểm của đường chéo nên cũng là trung điểm của đường chéo thẳng hàng.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TIỀN GIANG năm 2021)
Cho nửa đường tròn đường kính . Lấy điểm thuộc nửa đường tròn sao cho . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , đường thẳng vuông góc với tại cắt dây và tia lần lượt tại và .
	a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.
	b) Gọi là trung điểm . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của nửa đường tròn .
	c) Chứng minh rằng 
Lời giải
a) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm .
	 Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn hay bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi là trung điểm . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của nửa đường tròn .
	Ta có: (kề bù với )
	 vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền .
	 cân tại .
	Lại có: nên cân tại 
	Mà (cùng phụ với ) 
	Từ ta có: 
	Lại có: 
	 là tiếp tuyến của đường tròn 
c) Chứng minh rằng 
	Xét và có:
	 chung
	Vậy 
	Suy ra: 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SÓC TRĂNG năm 2021)
Từ điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến SCD không đi qua O (C nằm giữa S và D). Gọi K là giao điểm của SO với cung nhỏ AB và H là giao điểm của SO với đoạn thẳng AB. Chứng minh:
a) Tứ giác SAOB nội tiếp.
b) .
c) .
Lời giải
a) Ta có: (vì SA, SB là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
Xét tứ giác SAOB ta có: nên tứ giác SAOB nội tiếp.
b) Xét và ta có:
 chung
 (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
 đồng dạng với (g-g) (2 cạnh tương ứng).
Vậy (đpcm).
c) Áp dụng hệ thức lượng vào vuông tại A, đường cao AH ta có:
Xét tam giác SHC và tam giác SDO ta có:
 chung
 đồng dạng với (g-c-g)
 hay (1) (vì OD = OA)
Lại có (cùng chắn 2 cung bằng nhau) là đường phân giác của .
Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: (2)
Xét và ta có:
 chung
 đồng dạng với (g – g) (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra .
Do đó CK là tia phân giác của góc .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KIÊN GIANG năm 2021)
Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngài tại . Gọi là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này (với và ). Tiếp tuyến chung tại của hai đường tròn và cắt đoạn thẳng tại .
a) Chứng minh vuông góc với .
b) Gọi là giao điểm của với và là giao điểm củavới . Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác , là trung điểm của . Chứng minh 
Lời giải
Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngài tại . Gọi là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này (với và ). Tiếp tuyến chung tại của hai đường tròn và cắt đoạn thẳng tại .
a) Chứng minh vuông góc với .
Vì và là tiếp tuyến của nên 
là tia phân giác của . Do đó 
 và là tiếp tuyến của nên 
là tia phân giác của . Do đó 
Suy ra 
b) Gọi là giao điểm của với và là giao điểm củavới . Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.
Ta có:
 ( tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
( bán kính )
 là đường trung trực của
 tại 
Tương tự, ta có: 
Xét tứ giác có: 
 tứ giác là hình chữ nhật ( theo dấu hiệu nhận biết)
là tứ giác nội tiếp
Trong tam giác vuông , ta có 
Vì vậy 
Do đó, tứ giác nội tiếp một đường tròn (góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện)
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác , là trung điểm của . Chứng minh 
Cần xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
Vẽ hai đường trung trực của hai đoạn thẳng và lần lượt cắt và tại và . Hai đường trung trực này cắt nhau tại . chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác .
Qua vẽ đường thẳng song song với . Qua vẽ đường thẳng song song với. Hai đường thẳng này cắt nhau tại . Theo cách vẽ ta được tứ giác là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
Suy ra (hai đường chéo của hình chữ nhật)
Chứng minh I là trung điểm của AN:
Hình thang có và ////
 đi qua trung điểm của (1)
Tương tự, ta có đi qua trung điểm của (2)
Mà (3)
Từ (1), (2) và (3) là trung điểm của 
Xét có là đường trung bình của tam giác
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẬU GIANG năm 2021)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ các đường cao AH, BK và CP của tam giác ABC, với 
a) Chứng minh tứ giác BPKC nội tiếp.
b) Chứng minh rằng 
c) Đường thẳng PK cắt (O) tại hai điểm E và F. Chứng minh OA là tia phân giác của .
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác BPKC nội tiếp.
Xét tứ giác BPKC có: nên P, K cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Vậy tứ giác BPKC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) Chứng minh rằng 
ABH vuông tại H nên (1)
 có OA = OC nên cân tại O 
Ta có: 
Lại có: (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC).
 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra 
c) Đường thẳng PK cắt (O) tại hai điểm E và F. Chứng minh OA là tia phân giác của .
Kẻ tiếp tuyến Ax với (O).
Ta có (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC).
Mà (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp BPKC)
 Hai góc này lại ở vị trí so le trong.
Ta có: (do Ax là tiếp tuyến của (O) tại A) 
Gọi , ta có tại M. Suy ra M là trung điểm của EF.
Suy ra tam giác AEF có OA là đường cao đồng thời là trung tuyến
Suy ra tam giác AEF cân tại A. 
Vậy đường cao AO là phân giác của góc EAF.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2021)
Cho đường tròn . Từ một điểm . ở ngoài đường tròn , kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
b) Vẽ đường kính của đường tròn , là điểm trên sao cho vuông góc . Điểm là giao điểm của . Chứng minh là trung điểm của .
Lời giải
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
Vì là các tiếp tuyến của lần lượt tại nên (định nghĩa).
Tứ giác có .
Suy ra tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng bằng ).
b) Vẽ đườ