Ra đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán – Lớp 9 thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ra đề thi HSG-LT02
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
RA ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm) 1. Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A.	b) Chứng minh rằng .
2. Cho biểu thức: với –2 < x < 2 và x 0. Tính .
Bài 2: (2 điểm) 1. Giải phương trình: 
2. Cho hai đường thẳng (d1): y = ( m – 1 ) x – m2 – 2m (Với m là tham số)
 (d2): y = ( m – 2 ) x – m2 – m + 1
cắt nhau tại G.
a) Xác định toạ độ điểm G.
b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
Bài 3: (2 điểm) a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 – 1 24.
b/ Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương
c/ Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I.
a. Chứng minh tích OI.OM không đổi. b. Tìm vị trí của M để MAB đều.
c. Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: (1 điểm) Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng 
Đáp án Ra đề thi LT02
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán – Lớp 9
Câu
ý
Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm
1
1
 a/ với 
Ta có A = 
b/ với ta luôn có A > 0
Lại có: hay A 2
Vậy 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
 Áp dụng tính chất: Nếu ; từ giả thiết suy ra 
Từ giả thiết –2 < x < 2 suy ra 
0,25
0,25
2
1
2
Đk: 
 (x2 – 8x + 16) + (x + 5 - 6 + 9) = 0
 ( x – 4)2 + (- 3)2 = 0
 . 
Vậy x = 4.
a/ Hoành độ điểm G là nghiệm của phương trình:
(m-1)x - m2 - 2m = (m - 2)x - m2 - m + 1
Û x = m + 1
Tung độ điểm G là: y = (m-1) (m+1) - m2 - 2m
Û y = -2m – 1
Toạ độ điểm G là (m + 1 ; -2m - 1)
b/ Có y = -2m - 1 = -2(m + 1) + 1
Mà x = m + 1
Þ y = -2x + 1
Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = -2x + 1 cố định. Chứng tỏ G luôn thuộc đường thẳng y = -2x + 1 cố định khi m thay đổi
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
3
a/ Ta có p2 – 1 = (p – 1)(p + 1) 
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ do đó p – 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp , suy ra (p – 1)(p + 1) 8 (1)
Xét ba số tự nhiên liên tiếp p – 1; p; p + 1 ta có (p – 1) p(p + 1) 3. 
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, 3 là số nguyên tố suy ra (p – 1)(p + 1) 3 (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với (3, 8)=1 và 3.8 = 24 suy ra p2 – 1 24 (đpcm)
b/ là số chính phương nên A có dạng 
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
c/ (*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.
Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc 
0,25
0,25
0,25
0.25
0.5
0,25đ
0,25đ
4
(
d
)
K
I
H
O
M
A
B
Vẽ hình đúng đến câu a
 Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R) 
 OBMB ; 
Chứng minh được từ đó suy ra MA = MB 
Lại có OA=OB suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB
 OMAB 
 OMB vuông tại B có BI là đường cao
 OB2 = OI.OM
 OI.OM = R2 không đổi.
 b) AMB cân tại M (chứng minh trên)
Để AMB đều thì góc AMB = 600 góc BMO = 300
OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM 
 OM = 2.OB = 2R
 Kết luận
c/ Kẻ OH d, H d H cố định, OH cắt AB tại K.
 Chứng minh và đồng dạng
 OH.OK = OI. OM = R2 không đổi
 Mà O, H cố định nên OH không đổi OK không đổi, K OH cố định
 K cố định
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5
Ta có x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x).
Tương tự ta có y + zx = (x + y)(y + z); z + xy = (y + z)(z + x)
Do đó: 
= ( vì áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có: ))
Đẳng thức xảy ra .
0.25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
HẾT...