Đề 2 tự luyện thpt quốc gia năm học 2014 - 2015 môn: Toán lớp 12 thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Mụn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phỳt
Cõu 1* (2,0 điểm). Cho hàm số 
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số.
2.Cho điểm A(0;a). Tỡm a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phớa trục hoành.
Cõu 2* (1,0 điểm)
1. Giải phương trỡnh: 
2. Giải phương trỡnh nghiệm phức: 
Cõu 3* (0,5 điểm) Giải phương trỡnh sau:
Cõu 4 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trỡnh sau: 
Cõu 5* (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn sau: 
Cõu 6 (1,0 điểm). 
Cho hỡnh chúp cú đỏy là hỡnh chữ nhật với , tam giỏc cõn tại và mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng . Biết gúc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tớnh thể tớch khối chúp . Gọi là trung điểm cạnh tớnh gúc giữa hai đường thẳng và 
Cõu 7 (1,0 điểm) 
Trong mặt phẳng 0xy cho đường trũn (C): x2+y2-2x+4y+2=0. Viết pt đường trũn (C’) tõm M(5;1) biết (C’) cắt (C) tại A, B sao cho AB=3 và bỏn kớnh của nú lớn hơn 4.
Cõu 8* (1,0 điểm) 
Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x+y+z-3=0. Lập phương trỡnh đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), vuụng gúc với d và cỏch d một khoảng bằng 
Cõu 9* (0,5 điểm) 
Trong mp có bao nhiờu hình chữ nhõt được tạo thành từ 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng vuụng góc với 6 đường thẳng song song đó.
Cõu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
ĐÁP ÁN 
Cõu
í
Nội dung
Điểm
1
1
HS tự làm (HS làm đủ cỏc bước)
1
2
Đk: x≠1, y'=-3x-12
PT đường thẳng d qua A và cú hsg k cú dạng: y=kx+a
d tiếp xỳc với (C) ⟺ hệ pt sau kx+a=x+2x-1 (1)k=-3x-12 (2) cú nghiệm 
0,25
Thay (2) vào (1) ta được: -3x-12 x+a=x+2x-1
⟹1-ax2+2a+2x-a+2=0 
Đặt VT=f(x)
Để qua A kẻ được 2 tiếp tuyến⟹fx=0 cú 2 nghiệm phõn biệt x1;x2≠ 1
⟺a-1≠0∆f'=a+22+1-aa+2>0f1=1-a2+2a+2-(a+2)≠0⟺a≠1a>-23≠0⟺-2<a≠1 (1)
Theo viet ta cú: x1+x2=2(a+2)a-1x1.x2=a+2a-1 (*) và y1=x1+2x1-1=1+3x1-1y2=x2+2x2-1=1+3x2-1
0,25
Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phớa của trục hoành ⟺y1.y2<0
⟺1+3x1-11+3x2-1<0
⟺x1x2+2x1+x2+4x1x2-x1+x2+1<0
Từ (*) ⟹3a+2>0⟺a>-23
Kết hợp với điều kiện (1) ta được: Với -23<a≠1 thỏa món bài toỏn
0,5
2
1
ĐK: x≠±2π3+k2π
Pt đó cho tương đương với pt:
2sinx-33sinx+cosx=0⟺sinx=323sinx+cosx=0
0,25
*) sinx=32⟺x=π3+2k1π (t/m)x=2π3+2k2π (L) 
*) 3sinx+cosx=0⟺x=-π6+k3π (t/m) 
Vậy pt cú 2 họ nghiệm x=π3+2k1π hoặc x=-π6+k3π (k1;k3∈Z)
0,25
2
Đk: z≠i. khi đú, pt đó cho tương đương z+i4=z-i4
⟺z+i2=z-i2 (1)z+i2=i2z-i2 (2)
0.25
(1)⟺z+i=z-iz+i=i-z⟺z=0 (t/m)
(2)⟺z+i=1+izz+i=-1-iz⟺z=1z=-1(t/m)
Vậy pt cú tập nghiệm z={-1;0;1}
0.25
3
Giải pt:
Đk:x>0
Khi đú pt 
0.25
0.25
4
Hệ pt đó cho tương đương
x3+xy2=y6+y4 (1)
NX: Nếu y=0 thỡ từ pt (1) ⟹x=0. Thay x=0; y=0 vào pt (2) ta được:
5+8=6 (vụ lý). Vậy y=0 khụng thỏa món bài toỏn
0,25
*) y≠0 chia cả 2 vế của pt (1) cho y3 ta được: xy3+xy=y3+y (*)
Xột ft=t3+t
Cú f't=3t2+1>0 ∀t. Vậy f(t) đồng biến trờn R. 
Từ (*)⟹fxy=fy⟹xy=y⟹x=y2
0,25
Thay vào pt (2) ta được 4x+5+x+8=6⟺x=1⟹y=1
Vậy hpt cú cặp nghiệm duy nhất (x;y)=(1;1)
0,5
5
Đặt 2x-x2=u⟹2x-x2=u2⟹1-xdx=udu
Từ 2x-x2=u2⟹x-12=1-u2
Đổi cận: với x=0⟹u=0
x=2-32⟹u=12 
0,25
0,5
0,25
6
Vỡ ∆SAB cõn tại S cú HA=HB⟹SH⊥AB
Mặt khỏc (SAB)⊥ABCD⇒SH⊥ABCD
Ta cú: VSABCD=13SH.SABCD
Trong đú SABCD=AB.AD=a22 (đvdt)
0,25
Trong (ABCD) hạ HK⊥CA tại K. (1)
Khi đú ∆AHK~∆ACB⟹HKCB=AHAC⟹HK=AH.CBAC (*)
∆ABC vuụng tại B cú AC=BC2+BA2=a3
Thay vào (*) ta được HK=aa223a=a6
Ta cú : SH⊥ABCD⇒SH⊥AC (2)
Từ (1) và (2) ⟹AC⊥(SHK)⟹AC⊥SK (3)
Từ (1) và (3) ⟹ gúc giữa mặt (SAC) và mặt phẳng đỏy là ∠SKH=600
∆SHK (∠H=900) cú SH=HK.tan600=a36 
Vậy VSABCD=13.a22.a36=a33
0,25
Gọi E∈AB sao cho A là trung điểm của EH⟹HCDE là hỡnh bỡnh hành.
⟹HC//=ED⟹ gúc giữa SD và CH là gúc giữa DE và DS.
∆AHD vuụng tại A nờn HD2=a2+a24=5a24=HC2=DE2
∆SHD vuụng tại H nờn SD2=5a24+a22=7a24
∆SHE vuụng tại H nờn SE2=2a2+a22=5a22
0,25
∆SED cú cosSDE=SD2+DE2-SE22SD.DE=135. Vậy gúc giữa DE và DS là α với cosα=1√35
0,25
7
Từ pt đường trũn (C) ⟹ Tõm I(1;-2) và R=3. Đường trũn (C’) tõm M cắt đường trũn tại A, B nờn AB⊥IM tại trung điểm H của AB.
AH=AB2=32
Nhận xột : Tồn tại 2 vị trớ của AB (hỡnh vẽ) là AB, A’B’ chỳng cú cựng độ dài là 3.
Cỏc trung điểm H, H’ đối xứng nhau qua tõm I và cựng nằm trờn đường thẳng IM.
Ta cú : IH’=IH=IA2-AH2=32
Mà MI=5 nờn MH=MI-HI=72; MH’=MI+IH’=132
⟹MA2=AH2+MH2=13<16 (loại)
⟹MA'2=AH'2+MH'2=43>16 (t/m)
Vậy (C’) :x-52+y-12=43.
0,5
0,5
8
Gọi A=d∩(P)⟹A(3;0;0) 
∆⊥d⇒∃(Q) chứa ∆ ⊥d. Giả sử d⊥Q tại H. Hạ HK⊥∆, thỡ ∆⊥(AHK)⇒∆⊥AK. Vậy gúc AKH nhọn là gúc giữa (P) và (Q). Và HK là đoạn vuụng gúc chung của d và ∆ nờn HK=3238 . Do (Q) vuụng gúc với d nờn (Q) cú dạng: -2x+3y+2z+D=0
0,25
Với D1=7⟹Q1:-2x+3y+2z+7=0⟹∆1:P∩Q1
Với D2=5⟹Q2:-2x+3y+2z+5=0⟹∆2:P∩(Q2)
0,5
9
Gọi A là tập hợp gồm 6 đường thẳng song song
B là tập hợp gồm 8 đường thẳng vuụng gúc
Mỗi hỡnh chữ nhật được tạo thành gồm 2 đường thẳng trong tập hợp A và 2 đường thẳng trong tập hợp B.
0.25
Như vậy số hỡnh chữ nhật được tạo thành là 
0.25
10
Đặt . Ta có a, b, c > 0 và . Ta có: 
. Dễ có:
0.25
0.25
tương tự có: và 
0.25
từ đó: A . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3
0.25
Chỳ ý : Học sinh làm cỏch khỏc mà vẫn đỳng vẫn được điểm tối đa