Các bài toán tìm chữ số tận cùng của một tích

Các bài toán tìm chữ số tận cùng của một tích.
Kiến thức cơ bản
Chữ số tận cùng là các chữ số khác 0.
- Chữ số tận cùng của tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
- Chữ số tận cùng của tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
- Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 9 có chữ số tận cựng bằng 5.
- Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số lẻ có tận cùng là 5
- Tích hai số có chữ số tận cùng là các số tự nhiên liên tiếp chỉ có thể cho kết quả có các chữ số tận cùng là: 0, 2 hoặc 6.
- Tích của 4 thừa số 3 (3 x 3 x 3 x 3) có tận cùng là 1.
- Tích của 4 thừa số 2 (2 x 2 x 2 x 2) có tận cùng là 6.
- Tích các số có tận cùng là 1 có tận cùng là 1.
- Tích của tất cả các số có tận cùng là 6 có tận cùng là 6.
Chữ số tận cùng là các chữ số 0
- Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số chẵn có tận cùng là 0.
- Khi nhân một số (khác số tròn chục, tròn trăm..) với các số tròn chục 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80; 90 ta được tích là số  só tận cùng là một chữ số 0.
- Các số 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85; 95; 105; 115; 135; 145; 165;..khi nhân với một chẵn ta được tích là số có tận cùng là một chữ số 0.
- Các số 25; 50; 75 khi nhân với một số chia hết chia 4 ta được tích là số có tận cùng là hai chữ số 0.
- Tích của hai số có chữ số không tận cùng giống nhau chỉ có thể có chữ số tận cùng  0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 (không thể tận cùng bằng 2; 3 ; 7 hoặc 8)
Bài tập vận dụng   
Ví dụ 1:
Cho A = 3 x 3 x 3 x 3 x..x 3 x 3 (tích này có 2013 chữ số 3). Hỏi tích này tận cùng là chữ số nào?
Giải: Ta thấy: 3 x 3 x 3 x 3 = 81, tích của 4 chữ số 3 cho chữ số tận cùng bằng chữ số 1.
Vì 2013 : 4 được thương là  503 (chữ số 1) và dư 1 ( 1 chữ số 3)
Vậy tích A có chữ số tận cùng là 3.         
Ví dụ 2: Tích sau tận cùng bằng chữ số nào?
                             8 x 18 x 28 x 38 x x 198.
Giải:
Số thừa số của tích này là:      (198 – 8) : 10 + 1 = 20 (số hạng) (1)
Ta thấy tích 4 thừa số có tận cùng là 8 có tận cùng là 6. Vì có 20 thừa số ta kết hợp được 5 nhóm mỗi nhóm có 4 thừa số, tích mỗi nhóm này có chữ số tận cùng là 6. Vậy kết quả của tích trên có chữ số tận cùng là 6.
Ví dụ 3:  Tìm chữ số tận cùng của tích sau:
                             15 x 17 x 19 x 21 x 23 x 25 x 27 x 29 xx 2011 x 2013.
Gợi ý: Áp dụng lí thuyết ta có kết quả chữ số tận cùng là 5.
Ví dụ 4: Cho X = A -  B, biết:
                   A = 3 x 13 x 23 x.x 2003 x2013
                   B = 2  x 12 x 22 x ..x 2002 x 2012
Hỏi X có chia hết cho 5 không?
Giải:
A có số các thừa số là: 202 số.
B có số các thừa số là: 202 số.
Ta thấy tích của 4 thừa số tận cùng là 3 sẽ có chữ số tận cùng là 1.                  
Vì 202 : 4 có thương là 50 dư 2 nên A là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số tận cùng là 3) với 2 thừa số tận cùng là 3. Vì thế A có tận cùng là 9.
Tương tự như trên: Tích của 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2 có tận cùng là 6.
Vì 202 : 4 được thương là 50 dư 2 nên B là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2) với 2 thừa số có chữ số tận cùng là 2. Vì thế B tận cùng là 4.
Vậy X có tận cùng là 5 vì 9 – 4 = 5 nên X chia hết cho 5.
Ví dụ 5: Cho    
A = 2012 x 2012 x 2012 x.x 2012 x 2012 (2013 thừa số 2012)
B = 2013 x 2013 x 2013  x ..x 2013  x 2013 (2012 thừa số 2013)
Hỏi A + B chia cho 5 có số dư là bao nhiêu?
Gợi ý: Làm tương tự bài trên sẽ có A + B có chữ số tận cùng là 3. 
Ví dụ 6:  Cho  H = 1234567891011121314151617.được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp và có 121 chữ số. Số H có chữ số tận cùng là chữ số nào?
Giải:
Ta có từ 1 đến 9 có 9 số, mỗi số gồm 1 chữ số.
Từ 10 đến 99 có 90 số, mỗi số gồm 2 chữ số nên khi viết chúng liên tiếp ta có  90 x 2 = 180 (chữ số).
Mà 9 < 121 < 189 nên chữ số tận cùng của H phải ở số có hai chữ số.
Số chữ số của các số có 2 chữ số viết ở H là: 121 – 9 = 112(chữ số)
Số các số có 2 chữ số viết viết ở H là 112 : 2 = 56
Số thứ 56 kể từ 10 có 2 chữ số là : 10 + (56 - 1) = 65                   
Vậy chữ số tận cùng của H là chữ số 5 (là chữ số hàng đơn vị của số 65)
Ví dụ 7: Cho M = 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x ... x 89.
Hỏi M có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Giải:
- Tích có các thừa số: 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85 khi nhân với một số chẵn có tận cùng là một chữ số 0. Vậy có 7 chữ số 0.
- Tích có các số tròn chục là: 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80 . Do đó có 7 chữ số 0 tận cùng.
- Tích có các thừa số: 25; 50; 75  khi nhân mỗi thừa số với một số chia hết cho 4 có tận cùng là 2 chữ số 0. Do đó có tận cùng là 6 chữ số 0.
- Vậy M có số chữ số 0 tận cùng là: 7 + 7 + 6 = 20 (chữ số)
Ví dụ 8: Tích : 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x..x 45 x 46 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Kết quả: Tích tận cùng có 10 chữ số 0.
Ví dụ 9: Tích : 4 x  11 x 15 x 6  x 17  x 25  x 45  tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Kết quả: Tích có 3 chữ số 0 tận cùng.
Ví dụ 10: Tích 5 x 6 x 11 x 17 x x 118 x 191 có hai chữ số tận cùng là những  chữ số nào?
Kết quả: Tích có hai chữ số tận là 00.
Ví dụ 11: Cho N = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 xx 30 x 31. Hỏi tổng của 6 chữ số tận cùng của N là bao nhiêu?
Kết quả: 0.
Ví dụ 12: Cho P = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 xx 2012 x 2013 x 2014. Gạch bỏ các thừa số chia hết cho 5 ta được Q. Hỏi chữ số tận cùng của Q.
Giải: 
 P là tích có số thừa số là: (2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)
 Trong đó, số thừa số chia hết cho 5 là: (2010 – 5) : 5 + 1 = 402 ( số hạng)
Q là tích có số thừa số là: 2014 – 402 = 1612(số hạng)   (1)
Ta thấy tích của 4 thừa số liên tiếp trong Q có  chữ số tận cùng là 4.
Chia thành các nhóm có tích mà chữ số tận cùng là 4 ta có số nhóm là: 1612 : 4 = 403 
Tích của tích các thừa số của hai nhóm là tích của hai số có chữ số tận cùng là 4 nên được kết quả có tận cùng là 6.
Vì vậy: 403 : 2 được thương là  201 và  dư 1 nên Q tận cùng là chữ số 4.
Ví dụ 13: Biết : 26x 25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 165765### (mỗi dấu # là một chữ số).
Không thực hiện phép nhân, hãy tìm kết quả đúng.
Giải:
Tích trên có thể phân tích như sau: 26 x 5 x 5 x 8 x 3 x 23 x 22 x 3 x 7.
Khi 5 nhân với một số chẵn thì có tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích có tận cùng là hai chữ số 0.
Vậy ta có kết quả là số có dạng: 165765#00
Mà ta thấy tích trên chia hết cho 9 ( 3 x 3) nên tổng các chữ số của số 1657#00 chia hết cho 9.
          Số 165765#00 có tổng các chữ số là:
          1 + 6 +5 + 7 + 6 + 5 + # + 0 + 0 = 30 + #
Ta thấy:  30 + # chia hết cho 9 thì # = 6.
Kết quả đúng là: 165765600.
Ví dụ 14: Không thực hiện tính, hãy kiểm tra kết quả sau chia hết chia 5 đúng hay sai?
                   A = (17 x 28 x 39 x 126 x 45 ) -  (8 x 19 x 207 x 16 x 65 )
Gợi ý: A có chữ số tận cùng là 0.
Ví dụ 15: Hãy kiểm tra kết quả đúng hay sai?
                             abcd x abcd = 1661522
(với a, b, c, d là các chữ số).
Gợi ý: Sai vì tích không thể có chữ số tận cùng là 2.
Ví dụ 16: Hùng tính tích:
                              2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 = 333 999
Hãy cho biết Hùng tính đúng hay sai?
Gợi ý: Tích tận cùng là chữ số 0.
Ví dụ 17: Người ta lấy tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 30 để chia cho 1000000. Bạn hãy cho biết :
1) Phép chia có dư không ?
2) Thương là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là bao nhiêu ?
Giải:
Xét tích A = 1 x 2 x 3 x ... x 29 x 30, trong đó các thừa số chia hết cho 5 là 5, 10, 15, 20, 25, 30 ; mà 25 = 5 x 5 do đó có thể coi là có 7 thừa số chia hết cho 5. Mỗi thừa số này nhân với một số chẵn cho ta một số có tận cùng là số 0. Trong tích A có các thừa số là số chẵn và không chia hết cho 5 là : 2, 4, 6, 8, 12, . . . , 26, 28 (có 12 số). Như vật trong tích A có ít nhất 7 cặp số có tích tận cùng là 0, do đó tích A có tận cùng là 7 chữ số 0.
Số 1 000 000 có tận cùng là 6 chữ số 0 nên A chia hết cho 1 000 000 và thương là số tự nhiên cứ tận cùng là chữ số 0.
Ví dụ 18: Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng bằng 24 024
Giải:
Ta thấy trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì không có thừa số nào có chữ số tận cùng là 0; 5 vì như thế tích sẽ tận cùng là chữ số 0, trái với kết quả đã cho.
Do đó 4 số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là 1, 2, 3, 4 và 6, 7, 8, 9
Ta có : 24 024 > 10 000  = 10 x 10 x 10 x 10 và 24 024 < 160 000 = 20 x 20 x 20 x 20
Nên tích của 4 số đó là: 11 x 12 x 13 x 14 hoặc 16 x 17 x 18 x 19
Có  : 11 x 12 x 13 x 14 = 24 024
         16 x 17 x 18 x 19 = 93 024.
Vậy 4 số phải tìm là : 11, 12, 13, 14.