Tổng hợp lí thuyết - Đại số 9

Phần I / căn thức bậc 2.
I/Định nghĩa – Tính chất:
Căn bậc hai số học :
* ĐN: Căn bậc 2 số học của 1 số a không âm là số x sao cho x2 = a.
- Số dương a có đúng 2 CBH là 2 số đối nhau : và - .
- Số 0 có đúng 1 CBH , chính là 0 : = 0.
 * Chú ý : Với a 0 ta có x = x 0 và x2 = a 
* Định lí : Với a , b 0 ta có a < b < 
 2. Căn thức bậc 2:
	- Với A là 1 biểu thức đại số , ta gọi là căn thức bậc 2 của A , còn A là biểu thức
 lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
	- ĐKXĐ của A là A 0 .
3. Hằng đẳng thức : - Với ta có .
* 
* Chú ý : nếu A 0.
4. Căn bậc 3: Căn bậc 3 của 1 số là số x sao cho x3 = a . 
. Mỗi số a có duy nhất 1 căn bậc 3 là .
. ĐKXĐ của là .
* Chú ý : Căn bậc 3 của 1 số dương ( hay 1 số âm ) là 1 số dương ( hay 1 số âm )
II/ Các phép biến đổi căn bậc hai :
1. ( A; B 0 ).
2. ( B 0 ).
3. ( A 0 ; B > 0 ).
4. 
5. .
6. a, 
 b, 
 c, 
III/ Một số tính chất mở rộng về căn thức :
1. Với A; B 0 ta có : A = B 
 A < B 
2. 0 < A < 1 A < < 1 
3. A > 1 1 < < A
4. ; xn = a ( n chẵn)
5. xn = a ( n lẻ ).
6. 
7. 
8. 
9. 
10. ( m; n N; m; n 2 )
11. ( k 0 ).
12. 
* . Dấu “ = ” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0
* . Dấu “ = ” xảy ra khi a = b hoặc b = 0
* 	Dấu “ = ” xảy ra khi a = b 
* 	( a > 0 ; b > 0 )
* 	Dấu “ = ” xảy ra khi a b 0
* 	Dấu “ = ” xảy ra khi a b 0 Hoặc a b 0.
* + Với n là số tự nhiên : 	+ 
	+ 
Chú ý : - Mọi số thực a đều có căn bậc lẻ.
- Số âm không có căn bậc chẵn.
* Công thức căn phức tạp : 
* , 
Trong đó a, b là nghiệm của PT : t2 – Mt + N = 0 
 	Hay a+ b = M , ab = N.
* 	( Với A; B > 0 ; A2 > B )
* Chú ý: Nếu hệ số của 2 ta làm xuất hiện hệ số 2 ở đó.
IV/ Một số bài toán về căn bậc 2:
1/ Bài toán 1: Thực hiện phép tính :
Dạng tính 1 : Thực hiện tính khai căn bậc 2 nhờ phân tích 2ab trong HĐT( a + b )2 :
Khi gặp căn thức dạng P = ta có thể nghĩ đến việc phân tích E về dạng 
E= 2.a.b và phân tích M = a2 + b2 --> kq.
Dạng tính 2 : Th.hiện tính khai căn bậc 2 nhờ xhiện bình phương khi dùng HĐT a2 - b2 
Trong 1 tích , nếu xuất hiện thừa số có dạng M - ( Hoặc M + ) thì ta có thể là xuất hiện thừa số dạng M + ( Hoặc M - ).
Dạng tính 3 : Tính GTBT T,trước hết tính T2 rồi xét dấu của T để có k quả của biểu thứcT.
Dạng tính 4: Khi gặp mẫu của biểu thức chứa căn ta nghĩ đến việc trục căn thức ở mẫu Hoặc quy đồng mẫu Hoặc đưa thừa số vào trong căn , ra ngoài căn rồi nhóm.
Dạng tính 5 : Biểu diễn luỹ thừa bậc cao qua luỹ thừa bậc 1.
VD : Tính GTBT: E = 2x5 + x3 – 3x2 + x - 1 với x = 1 - 
	G : Vì x = 1 - nên ta có : 
	* x2 = (1 - )2 = 3 - 2 = 1 + 2(1 - ) = 1 + 2x
 	* x3 = x2x =...= x + 2x2 = = x + 2(1 + 2x ) = 5x + 2
	* x5 = x3x2 = ...= 9x +2 + 10x2 = 9x + 2 + 10( 1 + 2x ) = 29x + 12
	--> E = 2(29x + 12) + 5x + 2 -3(1 + 2x) + x – 1 = 58x + 22 = ...
 E = 80 - 58./
2. Bài toán 2 : Chứng minh đẳng thức A = B:
	C1 : Dựa vào định nghĩa: A = B A – B = 0.
	- Lập hiệu số A – B --> biến đổi A – B --> Chứng tỏ A – B = 0 --> KLuận.
	C2: Biến đổi trực tiếp : Biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản: A --> B Hoặc B --> A.
	C3 : Biến đổi song song 2 vế của đẳng thức đã cho.
	C4 : Với bài toán chứng minh có ĐK ta có thể : 
	- Dùng các ĐK để biến đổi sao cho --> có mối liên hệ với biểu thức đã cho.
	- Hoặc: Niến đổi biểu thức đã cho sao cho --> có mối liên hệ với ĐK.
	C5 : Dùng PP quy nạp nếu đẳng thức đã cho phụ thuộc vào số nguyên n .
	C6 : Dùng biểu thức phụ : 
	- Đặt y =A , y phải thoả mãn ĐK (*) nào đó.
	- Bình phương 2 vế ta có : y2 = A2 = A1 = ... = B2
	- Suy ra y = B hoặc y = - B .
	- Đối chiếu với ĐK (*) suy ra B.	--> KL.
 3. Bài toán 3: Rút gọn biểu thức :
* Các bước thực hiện:
- Quy đồng mẫu ( Phân tích nhân tử Nếu có – Nếu cần )
- Đưa bớt thừa số ra ngoài dấu căn Hoặc vào trong dấu căn ( Nếu cần )
- Trục căn thức ở mẫu ( Nếu có )
- Thực hiện các phép tính : Luỹ thừa , khai căn , nhân,chia , ...
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng.
4. Bài toán 4: Giải PT chứa căn thức. ( Xem CĐ PT Vô Tỉ ). 
------------------------------------------------@@@----------------------------------------------
Phần II / Hàm số bậc nhất: y = ax + b ( a 0 )
Hàm số : y = ( a 0 )
Hàm số bậc hai : y = ax2 ; y = ax2 + bx + c ( a 0 ).
A/ Hàm số - Đồ thị hàm số bậc nhất.
I/ Định nghĩa – Tính chất của hàm số bậc nhất :
Định nghĩa hàm số:
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi sao cho với mỗi giá trị của x
 ta luôn xác định được chỉ 1 giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x
 và x được gọi là biến số.
Định nghĩa hàm số bậc nhất:
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax hay y = ax + b,
 trong đó a, b R, a 0.
Tính chất : 
HSố bậc nhất xác định với xR .
Trên tập hợp số thực R , hàm số bậc nhất đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.
II/ Đồ thị hàm số y = ax và y = ax + b.
1. Đồ thị hàm số y = ax (a0) là 1 đường thẳng đi qua gốc toạ độ. 
* Cách vẽ :
- Tìm thêm 1 điểm M(x0 , y0 ) bằng cách cho x = x0 y0 = ax0
- Dựng điểm M trên mặt phẳng toạ độ.
- Vẽ đường thẳng đi qua M(x0 , y0 ) và O( 0;0 ).
2. Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng song song với đường thẳng y = ax ; cắt trục tung 
 tại điểm có tung độ bằng b ( nếu b 0 ).
* Cách vẽ 1 :
- Xác định 2 điểm A, B bất kì của đồ thị:
	. Cho x = 1 y = a + b, ta có A(1; a + b)
	. Cho x = - 1 y = - a + b, ta có B(1; - a + b) 
- Dựng 2 điểm A , B trên Oxy.
- Vẽ đường thẳng AB ta được đồ thị hs.
* Cách vẽ 2 :
- Xác định giao điểm của đồ thị với 2 trục toạ độ:
	. Cho x = 0 y = b , ta có A( 0; b)
	. Cho y = 0 x = - b/ a , ta có B(-b/ a ; 0 )
- Dựng 2 điểm A , B trên Oxy.
- Vẽ đường thẳng AB ta được đồ thị hs.
III/ Hệ số góc của đường thẳng y = ax và y = ax + b
Đường thẳng y = ax (d )
Đường thẳng y = ax + b (d)
Góc hợp bởi đường thẳng với tia Ox
Góc tạo bởi đgt (d)và tia Ox đó là góc hợp bởi tia Ox và nửa đgt nằm trong nửa mf bờ là trục hoành và chứa tia Oy.
Góc tạo bởi đgt (d) và tia Ox đó là góc hợp bởi tia Ax và AB trong đó AB là phần đgt (d) nằm trong nửa mf bờ là trục hoành và chứa tia Oy.
Hệ số góc a của đường thẳng
. a > 0 nhọn.
 a càng lớn thì càng lớn (< 90o).
. a < 0 tù.
 a càng lớn thì càng lớn (<180o).
. a > 0 nhọn.
 a càng lớn thì càng lớn (< 90o).
. a < 0 tù.
 a càng lớn thì càng lớn (<180o).
B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bậc hai.
I/ Định nghĩa – Tính chất của hàm số bậc hai :
Định nghĩa:
 Hàm số bậc 2 là hàm số được cho bởi công thức y = ax2 (a 0), trong đó a,bR, a 0.
2. Tính chất: 
	 - Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0.
	 - Nếu a 0 , hàm số đồng biến khi x < 0.
	( Hàm số Đồng biến khi a và x cùng dấu ; Nghịch biến khi a và x trái dấu )
Nhận xét : 
Nếu a > 0 thì y > 0 với ; Khi x = 0 thì y = 0 là GTNN của hàm số .
Nếu a < 0 thì y < 0 với ; Khi x = 0 thì y = 0 là GTLN của hàm số .
II/ Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0).
* Tính chất của đồ thị:
 - Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0) là 1 Parabol đi qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol.
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bậc hai.
I/ Định nghĩa – Tính chất của hàm số bậc hai :
Định nghĩa:
Hàm số bậc 2 là hàm số được cho bởi công thức y = ax2 (a 0), trong đó a,bR, a 0.
2. Tính chất: 
	 - Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0.
	 - Nếu a 0 , hàm số đồng biến khi x < 0.
	( Hàm số Đồng biến khi a và x cùng dấu ; Nghịch biến khi a và x trái dấu )
Nhận xét : 
Nếu a > 0 thì y > 0 với ; Khi x = 0 thì y = 0 là GTNN của hàm số .
Nếu a < 0 thì y < 0 với ; Khi x = 0 thì y = 0 là GTLN của hàm số .
II/ Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0).
* Tính chất của đồ thị:
 - Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0) là 1 Parabol đi qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol.
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
 	y = ax2( a > 0 ) y = ax2 ( a < 0 )
 * Cách vẽ : - Lập bảng giá trị tương của x và y:
x
x,2
x,1
0
x1
x2
y
y,2
y,1
0
y1
y2
	( Chú ý: x1 và x,1 đối nhau ; y1 và y,1 đối nhau)
 - Biểu diễn các điểm có toạ độ (xi ; yi ).
 - Vẽ đường cong (P) đi qua O( 0; 0 ) và các điểm (xi ; yi ).
III/ Mở rộng:
1/ Hàm số 
Đồ thị của hàm số y = a/ x ( a 0 ) là đường cong Hypebol gồm 2 nhánh.
y = a/ x ( a > 0) y = a/ x ( a < 0 )
2/ Hàm số y = / x /
Đồ thị của hàm số có dấu GTTĐ bậc nhất là 1 hình bao gồm các tia hoặc các tia và
 đoạn thẳng liên tiếp nhau.
VD : y = / x / 
3/ Hàm số y = ax2 + bx + c ( a 0 ):
a/ Xét hàm số y = ax2 + bx + c ( a 0 ):
	Ta có 
	Đặt ; ta có y = a( x – x0)2 + y0.
Như vậy để vẽ Parabol (P) ta tịnh tiến theo tr hoành x0 đơn vị rồi tịnh tiến theo tr tung y0 đơn vị. Cụ thể:
. Đỉnh (P) là điểm D(; )
. Giao điểm của (P) với trục tung là C(0; c)
. Điểm thứ 2 của (P) có tung độ bằng c là C,( -b/a ; c ), điểm này đối xứng với C qua đường thẳng x = -b/2a
.Giao điểm của (P) với trục hoành ( nếu có) , hoành độ các điểm này là nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0.
b/ Nhận xét : 
 - Hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c (a 0).
	. Nếu a > 0 Thì Min f(x) = với x0 =
 	. Nếu a < 0 Thì Max f(x) = với x0 =
Trong 1số tr. hợp, x không nhận giá trị thuộc R mà chỉ thuộc 1 tập con của R . Chẳng hạn, x hoặc nằm ngoài khoảng .
Trong trường hợp x0 = không thuộc khoảng đang xét của x ta cũng tìm được GTLN , GTNN của f(x) căn cứ vào đồ thị của hàm số y = f(x) và xét các giá trị f() ; f()./.
C/ Một số dạng bài toán liên quan đến hàm số .
Bài toán1. Lập PT đường thẳng y = ax + b thoả mãn đ.kiện cho trước (Tức là tìm a, b).
1/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và có hệ số góc bằng k:
B1: Xác định a: Theo đề bài ta có a = k.
B2: Xác định b : Đường thẳng đi qua A nên ta có yA = kxA + b b
KL: Thay a, b tìm được vào công thức ta được PT cần tìm.
2/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và B(xB , yB )
B1: Đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và B(xB , yB ) nên ta có : a ; b.
3/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và có tung độ gốc là h:
 B1: Xác định b: Theo đề bài ta có b = h.
B2: Xác định a : Đường thẳng đi qua A nên ta có yA = kxA + h a
4/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và // trục hoành Ox (Hoặc trục tung Oy)
	- Đường thẳng song song với trục hoành thì x = xA y = b = yA
	( Nếu đgt // trục tung Oy thì y = yA x = xA = b )
5/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và vuông góc với đgt d, có PT y = a,x + b,
Đường thẳng d d, nên a.a, = - 1 .Từ đó suy ra a.
Thay toạ độ của A vào PT trên suy ra b.
6/ Lập PT đường thẳng (d) // (d,) : y = a,x + b, và đi qua A(xA , yA ) .
Khi b b, : - Xác định a: Theo đề bài ta có a = a, .
 - Xác định b : Đường thẳng đi qua A nên ta có yA = a, xA + b b.
 	 - KL: Thay a, b tìm được vào công thức ta được PT cần tìm.
7/ Lập PT đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A(xA , 0 ) và cắt trục Oy tại B( 0, yB ).
B1: Xác định b: (d) cắt Oy tại B( 0, yB ) nên b = yB 
B2: Xác định a : (d) cắt Ox tại A(xA , 0 ) nên a = b/ xA 
8/ Lập PT đường thẳng (d) có hệ số góc bằng k và tiếp xúc với đường cong (P): y = f(x). 
B1: Xác định a : Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b (*) 
B2: Xác định b : PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b.
 Vì (d) tiếp xúc với (P) nên PT (*) có nghiệm kép ( = 0) b. 
9/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và tiếp xúc với đường cong (P): y = f(x).
- PT hoành độ điểm chung của (d) và (P ) là f(x) = ax + b. (*)
- Đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) PT (*) có nghiệm kép .
	Từ ĐK này ta tìm được 1 hệ thức liên hệ giữa a và b . Ta được (**)
- Đường thẳng (d) đi qua A nên ta có yA = axA + b (***)
- Từ (**) và (***) suy ra a và b.
10/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.
- Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b 
PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)
- Đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi PT (*) có > 0 b. 
11/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại A có hoành độ xA:
- Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b 
PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)
Đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ xA khi xA là nghiệm của PT (*).
 Khi đó ta có f(xA ) = kxA + b b. 
* Chú ý :
 1. Bài toán lập PT đường cong y = ax2 đi qua điểm A(xA, yA ) tức là xác định hệ số a.
 Giải tương tự bài toán lập PT đgt.
 2. Hoành độ giao điểm của đường cong y = ax2 (P) và đgt y = mx+ n (d) là nghiệm 
của PT ax2 = mx +n (1)
Nếu PT (1) vô nghiệm thì (d) không giao với (P) 
Nếu PT (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. 
Nếu PT (1) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P). 
Bài toán với hàm số y = ax2 + bx + c giải tương tự bài toán với hàm số y = ax2 
( Theo các bài toán 1 --> 5 )
Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax + b trong đó a, b là số vô tỉ a = , b = ta cần sử dụng định lí Pitago trong tam giác vuông.
Bài toán 2 .Xác định vị trí tương đối giữa: Đường thẳng-đường thẳng; Đường thẳng – Parbol.
1. Xác đinh vị trí tương đối của 2 đường thẳng y = ax + b (d) và y = a,x + b, (d,)
* d // d, a = a, và b b, 
* d d, a a, 
* d d, a = a, và b = b, 
* d d, a.a, = 1 
2. Xác đinh vị trí tương đối của đường thẳng y = ax + b (d) và y = ax2 (P)
PT hoành độ giao điểm chung nếu có của (d) và (P) là ax + b = ax2 (1)
	* (d) (P) tại 2 điểm phân biệt PT(1) có 2 nghiệm phân biệt ( > 0 )
	* (d) và (P) chỉ có 1 điểm chung PT (1) có nghiệm kép ( 0 )
	* (d) và (P) không có điểm chung PT (1) vô nghiệm ( < 0 ).
Bài toán 3. Bài toán chứng minh: 
a. Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định.
- Gọi C(x0 , y0 ) là điểm cố định của đường thẳng (d)
- ĐK cần và đủ để đường thẳng luôn đi qua C(x0 , y0 ) với mọi tham số m là : Am = B
 ( Biến đổi PT đgt khi C(x0,y0) (d) )
 Trong đó : A là biểu thức chứa x0, y0 hoặc x0 hoặc y0 .
 B là biểu thức chứa x0 hoặc y0 hoặc x0 ; y0 .
- GPT A = 0 ; B = 0 với tham số m x0 ; y0 C(x0; y0 ) .
VD: CMR đường thẳng (d) có PT y = mx + luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m? 
G: Gọi C(x0; y0 ) là điểm cố định của (d) C (d) với mọi m
 Ta có y0 = mx0 + 2y0 - 1= 2mx0 , với mọi m 2y0 - 1= 2x0 m, với mọi m 2y0 – 1 = 0 và 2x0 = 0 x0 = 0 ; y0 = 0.
Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định C( 0; ) .
b. Chứng minh (d) luôn tiếp xúc (hoặc không cắt hoặc cắt (P) tại 2 điểm p.biệt) :
 Đường thẳng (d) luôn tiếp xúc ( không cắt hoặc cắt (P) tại 2 điểm p.biệt) 
PT hđộ gđiểm ax + b = ax2 có N0 kép ( hoặc vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân biệt).
VD: CMR với mọi m thì đgt (d) có PT y = mx + và (P) y = x2 luôn cắt nhau tại 2
 điểm phân biệt ?
G : PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là mx + = x2 ...x2 – 2mx – 1 = 0
 có , = m2 + 1 > 0 với mọi m.
	Vậy với mọi m (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Bài toán 4. Xác định toạ độ giao điểm 2 đường thẳng trên cùng 1 hệ trục toạ độ.
	Giả sử điểm M(x0 , y0 ) là giao điểm 2 đường thẳng (d) : y = ax + b và y = a,x + b, (d, )
	B1: Tìm hoành độ giao điểm x0 thoả mãn nghiệm đúng PT ax + b = a,x + b, .
	B2: Tìm tung độ giao điểm y0 bằng cách thay x0 vào 1 trong 2 hàm số đã cho.
Bài toán 5. Xác định điểm M( xM, yM ) cho trước có thuộc đồ thị của HSố cho hay không.
Cách giải : Đồ thị của hàm số đi qua M khi toạ độ của M thoả mãn nghiệm đúng PT của (d) : M (d) yM = f(xM)
 Do đó tính f(xM) : Nếu f(xM) = yM Thì (d) đi qua M
 Nếu f(xM) yM Thì (d) không đi qua M
--------------------------------------------------@@@------------------------------------------------
Phần III / Hệ phương trình
1)Hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn
- Định nghĩa :
Cho hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn ax+by =c và a’x+b’y=c’.
Khi đú ta cú hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn (I)
- Nếu hai phương trỡnh cú nghiệm chung (x0;y0) thỡ nú được gọi là nghiệm của hệ (I)
- Nếu hai phương trỡnh ấy khụng cú nghiệm chung thỡ ta núi hệ vụ nghiệm.
2)Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm
	- Nếu (d) cắt (d’) hệ cú nghiệm duy nhất
	- Nếu (d) song song với (d’) thỡ hệ vụ nghiệm.
	- Nếu (d) trựng (d’) thỡ hệ vụ số nghiệm
3)Hệ phương trỡnh tương đương:
Hai HPT được gọi là tương đương với nhau nếu chỳng cú cựng tập nghiệm 
4) Một số PP giải HPT:
 * Giải hệ phương trỡnh bằng phương phỏp thế.
+ Từ 1 PT của hệ đó cho ta b.diễn1 ẩn kia rồi thế vào PT thứ 2 để được 1 PT mới 
(chỉ cú1 ẩn)
+ Dựng PT mới ấy thay thế cho một trong hai PT của hệ (và giữ nguyờn PT kia )
* Giải hệ phương trỡnh bằng phương phỏp cộng đại số.
+ Nhõn 2 vế của mỗi PT với 1 số thớch hợp (nếu cần ) sao cho cỏc hệ số của 1 ẩn nào đú bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Dựng quy tắc cộng đại số để được hệ mới trong đú cú 1 PT bậc nhất 1 ẩn.
+ Giải PT 1 ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ. 
* Giải hệ phương trỡnh bằng PP đặt ẩn phụ.
* Giải hệ phương trỡnh bằng PP dựng đồ thị
Số nghiệm của hệ là số giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (d’) 
5/ Biện luận và Giải hệ phương trỡnh :
B1. Dựng PP cộng hoặc thế đưa hệ về dạng Mx = N (*)
B2. Xột cỏc trường hợp:
+ Nếu M0 thỡ (*) trở thành x = thay vào y ở 1 trong 2 PT của hệ ta tỡm được y. Do đú hệ cú nghiệm duy nhất (x;y).
+ Nếu M = 0 thỡ: 	+(*) vụ nghiệm khi N 0,Do đú hệ vụ nghiệm.
	+ (*) cú vụ số nghiệm khi N = 0.
 Nghiệm TQ Hoặc x;y Hoặc x = 0; Hoặc y = 0 
B3. Kết Luận
6) Một số bài toỏn về hệ cú chứa tham số:
Xỏc định cỏc giỏ trị của tham số thoả món ĐK cho trước 
1/ Nghiệm thoả món cỏc ĐK về số nghiệm : 
Cú nghiệm duy nhất- Vụ số nghiệm - Vụ nghiệm. 
PP: Nếu 
PP: 	 Nếu ab’ – ba’ 0 Hay thỡ (**) cú nghiệm duy nhất.
Nếu Hoặc thỡ (**) cú vụ số nghiệm.
Nếu Hoặc thỡ (**) vụ số nghiệm.
2/ Nghiệm thoả món hệ đẳng thức, bất đẳng thức liờn hệ giữa cỏc giỏ trị của nghiệm.
	+ B1: Tỡm ĐK để hệ cú nghiệm.
	+ B2: Tỡm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế ) 
	+ B3: Cho nghiệm thoả món đẳng thức, bất đẳng thức giữa cỏc giỏ trị của nghiệm từ đú tỡm được giỏ trị của tham số.
	+ B4: KL: Xột giỏ trị của tham số tỡm được so với ĐK cú nghiệm và trả lời.
3/ Nghiệm của hệ là số nguyờn.
	+ B1: Tỡm ĐK để hệ cú nghiệm.
	+ B2: Tỡm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế ) 
 	+ B3: Xột cỏc giỏ trị của nghiệm thoả món là số nguyờn
	+ B4: KL: Xột giỏ trị của tham số tỡm được so với ĐK cú nghiệm và trả lời.
4/ Tỡm GTLN – GTNN của biểu thức giữa cỏc giỏ trị của nghiệm.
	+ B1: Tỡm ĐK để hệ cú nghiệm.
	+ B2: Tỡm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế ) 
 	+ B3: Xột cỏc giỏ trị của biểu thức giữa cỏc giỏ trị của nghiệm. 
	+ B4: KL: Xột giỏ trị của tham số tỡm được so với ĐK cú nghiệm và trả lời.
--------------------------------------------------@@@------------------------------------------------
Phần IV / phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 ( a 0 )(1)
Công thức nghiệm của PT bậc 2:
- Nếu < 0 Thì PT vô nghiệm.
- Nếu = 0 Thì PT có N0 kép: x1= x2 = 
- Nếu > 0 Thì PT có 2 N0 phân biệt : 
- Nếu < 0 Thì PT vô nghiệm.
- Nếu = 0 Thì PT có N0 kép: x1= x2 = 
- Nếu > 0 Thì PT có 2 N0 phân biệt : 
Nhận xét :
*Nếu a + b + c = 0 thì : 
*Nếu a - b + c = 0 thì : 
* Nếu c = 0 thì : 
*Nếu x1, x2 là nghiệm của (1)
 thì ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2)
Hệ thức Vi-Et: 
*Thuận : Phương trình bậc2 Nếu có nghiệm Thì : 
*Đảo: Nếu 2 số x1, x2 thoả mãn ( Với S2 – 4P 0) 
Thì x1 ,x2 là 2 nghiệm của PT x2 - Sx + P = 0 
II/ Một số bài toán liên quan đến PT bậc 2:
Bài toán 1: Biện luận theo m sự có nghiệm của PT B2
Xét hệ số a. Có thể có 2 trường hợp xảy ra:
*Trường hợp a = 0 với 1 vài giá trị nào đó của m
Giả sử a = 0 m = m0 ta có (1) trở thành pt b1: bx + c = 0 (2)
-Nếu b0 ( với m = m0 ), pt (2) có 1 nghiệm là (cũng là nghiệm của(1))
 -Nếu b = 0 và c =0 ( với m = m0 ), pt (2) vô định pt (1) vô nghiệm.	
 -Nếu b = 0 và c 0 ( với m = m0 ), pt (2) vô định pt (1) nghiệm 
 *Trường hợp a 0: 
- Nếu > 0 : pt (1) có 2 nghiệm phân biệt : 
- Nếu = 0 : pt (1) có 2 nghiệm kép : x1 = x2 = 
- Nếu < 0 : pt (1) vô nghiệm / R .
Kết luận : Tóm tắt phần biện luận trên.
Bài toán 2: Điều kiện có nghiệm của PT bậc 2.
2.a, PT có nghiệm: C1, a= 0 , b 0 
C2, Hoặc a 0 , 0.
C3, Tìm số sao cho a.f() < 0
C4, Tìm 2 số , sao cho f().f() < 0
Tập hợp các giá trị m phải tìm là tất cả các giá trị của m thoả a) hoặc b)
2.b, PTcó 2 nghiệm phân biệt: hoặc a.c < 0
2.c, PT có 1 nghiệm: Hoặc 
Bài toán 3: Dấu của nghiệm số của PT bậc 2 (Tìm ĐK của m để phương trình (1) t/mãn)
3.a, Có 2 nghiệm cùng dấu : 
3.b, Có 2 nghiệm dương: 
 ( Hoặc có ít nhất 1N0 không âm )
3.c, Có 2 nghiệm âm : 
 Hoặc
3.d, Có 2 nghiệm trái dấu : 
 Hoặc a.f(0) < 0
3.e, Có 1 nghiệm âm, 1 nghiệm không âm : 
3.g, Có ít nhất 1nghiệm 0 : .
Bài toán 4: Tìm điều kiện của m để PT (1) có 1 nghiệm x1 tìm nghiệm kia
a, Tìm điều kiện của m để PT có 1 nghiệm x1 tìm nghiệm kia:
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: (*)
 - Thay x = x1 vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2: - Thay x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số 
 - Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào PT và gpt HoặcTính x2 nhờ Vi-et x2 = S – x1
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào PT đã cho mà PT bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước.
b, Tìm điều kiện của m để PT (1) có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia:
- B1: Điều kiện PT có nghiệm 
 - B2: Nghiệm này bằng k lần nghiệm kia nên:
 (x1 – kx2). (x2 – kx1) = 0.
-B3 : Biến đổi đẳng thức trên về tổng ; tích sau đó dùng định lí Vi-et.
Bài toán 5: Tìm điều kiện của m để Pt (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức :
	 (Các hệ thức là biểu thức đối xứng ( Hoặc không đối xứng ) giữa các nghiệm) 
1, Phương pháp chung:
B1: - Điều kiện PT có nghiệm (*)
- Tính giá trị của S , P theo m : Với đk (*) pt có 2 nghiệm t/m : 
 B2: Biến đổi hệ thức đã cho sao cho có dạng chứa S và P.
 ( Hoặc rút x1 hay x2 từ đk đề bài –nếu bthức cho không đối xứng).
B3: Thay các giá trị của S , P tính được ở B1 ta tính được m.
B4: Chọn các giá trị của m t/m đk (*).
2, Các hệ thức đối xứng thường găp và cách biến đổi:: 
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = m
*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p = n
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp = k
*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
*) = k
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = h
*) = = m
*) = = n
 (Các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện (*) )
Bài toán 6:Lập PT Bậc hai.
A/ Bài toán Thiết lập PT bậc 2 nhờ hệ thức Vi-et :
1,Cơ sở để thiết lập PT B2 là nhờ hệ thức Vi-et:
Nếu Thì x1,x2 là 2 nghiệm của PT X2 - S X+ P = 0,Với= S2 – 4SP0
2 , Phương pháp : G/sử PT B2 cần tìm có dạng X2 - S X + P = 0 (1) mà các nghiệm của (1) t/m đk cho trước là 1 biểu thức (*) liên hệ giữa nghiệm của (1) với nghiệm của PT B2 cho trước ax2 + bx + c = o (2), ta làm như sau:
- Từ PT (2) ta tính được S và P (3) 
- Biến đổi bthức (*) liên hệ giữa N0 của (1) với nghiệm của PT (2) rồi thay giá trị của S,P ở (3) vào ta tính được hệ số của X trong PT cần tìm.
B/ Bài toán lập PT bậc 2 nhờ sự tương giao giữa đồ thị của hàm số bậc 1, bậc 2 
và trục toạ độ (Hay xác định parabol y =ax2 + bx + c (P) ):
( Xem phần hàm số)
Bài toán 7: Quan hệ nghiệm của 2 PT B2 :	a1 x2 + b1 x + c1 = 0 ( a1 0 ) (1)	
a2 x2 + b2 x + c2 = 0 ( a2 0 ) (2)
7.a :Xác định các tham số để 2PT có nghiệm chung
ĐK cần : Giả sử 2 pt có nghiệm chung x0 , khi đó ta có hệ : 
Từ hệ ta xác định được tham số.
ĐK đủ : Thay giá trị của tham số tìm được ở trên vào 2 pt cho để tìm nghiệm chung./.
7.b :Định các t/ số để 2PT có nghiệm sao cho 1 nghiệm của PT1 = k lần 1 nghiệm của PT2.
B1: Gọi x0 là 1 nghệm của (2) thì kx0 ( k 0 ) là 1 nghiệm của (1).
Khi đó , x0 là nghiệm của hệ: 
B2: Giải hệ trên tìm x0 . Suy ra m.
B3: Lấy giá trị của m thế vào (1) và (2) để kiểm tra. 
7.c: Bài toán mở rộng :
1, Cho 2 pt b2 có 1 nghiệm chung : 
- Chứng minh đẳng thức , bđt giữa các hệ số, ....
- Nghiệm còn lại của 2 pt cho là nghiệm của pt thứ 3.
- 2 nghiệm còn lại của 2 pt là 2 nghiệm hữu tỉ phân biệt.
2, Cho 2 pt b2 có 1 nghiệm chung: Tìm GTLN _ GTNN của biểu thức cho.
Bài toán 8: Tính GTLN _ GTNN của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của PT B2
 ( Mở rộng với HPT đối xứng )
 - Điều kiện PT có nghiệm (*)
( Với hệ PT bậc nhât 2 ẩn: x, y là nghiệm của PT X 2+ SX+P=0.Tức là ĐK tồn tại x,y làX 0 )
- Đưa biểu thức về dạng biểu thức có chứa các ĐTĐXCB 
- Xét miền giá trị của biểu thức ta tìm được GTLN – GTNN của bthức.
(Dùng ĐK có nghiệm của PTB2,T/C BĐT, Cosi, Bunhiacopki ...)
Bài toán 9: Tính GT của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của PT mà không GPT.
- Điều kiện PT có nghiệm (*)
- Sử dụng hệ thức Vi-et : S , P. (*)
- Biến đổi BT đã cho về dạng ĐTĐXCB. 
- Thay giá trị ở (*) vào ta tìm được GTBT.
Bài toán 10: Về nghiệmnguyên – nghiệm hữu tỉ của PT B2. 
a/ Tìm nghiệm nguyên của PT:
b/ Tìm nghiệm hữu tỉ của PT : ( Sử dụng nghiệm của đa thức)
- Nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là Ư(c).
- Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1), f(-1) 0 Thì f(1)/ (a - 1)và f(-1)/(a + 1) Z. 
- Đthức có hệ số Z ,N0 h.tỉ (nếu có) pải có dạng p/q trong đó p Ư(c),q Ư(a).
c/ Tìm m để PT có nghiệm hữu tỉ: 
- Xét a = 0. PT trở thành PT B1, ta được nghiệm hữu tỉ.
- Xét a 0 .Tính . PT có nghiệm hữu tỉ khi là số chính phương.
Bài toán 11: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm PT mà không phụ thuộc tham số m:
- Điều kiện để PT có nghiệm : a 0 ; 0
- Lập S và P ( Phụ thuộc theo m).
- Khử m để lập 1 hệ thức giữa P và S: Bằng các phép bđổi (Chẳng hạn S – 2P hay 2S + P,...)
- Thay S = x1 + x2 và P = x1.x2ta được hệ thức cần tìm.
Chú ý:Nếu S hay P là hằng số thì ta có ngay hệ thức cần tìm. 
Bài toán 12 : So sánh số nghiệm của PT B2 với 1 số thực , cho trước 
( áp dụng định lí đảo về tam thức bậc 2 )
Tam thức bậc 2 f(x) = ax2 + bx + c ( a 0 ) , (1) là số thực 
*f(x) 0
*f(x) > 0 , a > 0 * Hoặc ( 1 ) có nghiệm với mọi x R < 0
	* Hoặc ( 1 ) có nghiệm với mọi x = 0
*f(x) > 0 , a 0
*f(x) 0 (1) có nghiệm với x > 0 ( x1 < x < x2 )
12.a, ĐK để , nằm trong khoảng 2 nghiệm : x1 < < x2 : a.f() < 0 .
12.b , ĐK để nằm ngoài khoảng 2 nghiệm :
* x1< x2 < 
*< x1 < x2 
* < x1 < x2 < 
12.c, ĐK để , nằm ngoài khoảng 2 nghiệm : 
 < x1 < x2 < 
12. d, ĐK để f có 2 nghiệm trong đó các nghiệm xen kẽ với và : 
* < x1 << x2 
* x1 < < x2 < 
12.e , ĐK để f có 2 nghiệm mà 1 trong 2 nghiệm bằng : a.f() = 0
--------------------------------------------------@@@------------------------------------------------
Phần V / giải bài toán bằng cách lập pT – Hpt. 
I/ Phương phỏp chung :
Bước 1: Lập PT -HPT 
* Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
* Biểu diễn cỏc đại lượng chưa biết theo ẩn và cỏc đại lượngđó biết
* Lập PT - Hệ phương trỡnh
Bước 2: Giải PT - HPT 
Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm tỡm được cú thoả món điều kiện của ẩn hay khụng( Loại bỏ giỏ trị khụng thớch hợp) rồi kết luận và trả lời.
II/ Một số chỳ ý.
Khi lập cỏc PT ta thường phải vận dụng cỏc kiến thức về cỏc tương quan tỉ lệ,đặc biệt là tương quan tỉ lệ thuận – tỉ lệ nghịch( Cỏc quy tắc tam suất). Cụ thể:
1- Sự liờn hệ giữa cỏc đại lượng trong toỏn chuyển động: S = v.t
2- Sự liờn hệ giữa số và chữ số: ;với a,b,cN; 
3- Sự liờn hệ giữa lượng riờng (d);K.lượng (m);Thể tớch (V) trong vật lý 
4- Sự liờn hệ giữa số tiền phải trả (P). Số đơn vị mua (x), giỏ tiền mỗi đơn vị hàng húa (y): 
P = xy
 5- Sự liờn hệ giữa khối lượng cụng việc,thời gian hoàn thành, số người, năng suất lao động của mỗi người,,hoặc khối lượng nước và cụng suất của cỏc vũi nước,
 ; 
+ Sau khi chọn ẩn và đặt ĐK ta cần lưu ý biểu thị đầy đủ cỏc đại lượng bài toỏn ra và dựa vào sự tương quan giữa cỏc đại lượng lập PT,HPT.
--------------------------------------------------@@@------------------------------------------------