Tóm tắt Giải tích 12

TÓM TẮT GIẢI TÍCH 12
@. 
1. phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì 
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); D=b2-4ac (D’=b’2-ac với b’=b/2)
Thì 
nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0 thì x1=1; x2= -c/a;
S=x1+x2= - b/a ; P=x1.x2= c/a (đl Vieet)
2. tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c
+ D<0 thì f(x) cùng dấu a +
+ +
+ +
3. phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0
nếu a+b+c+d=0 thì x1=1; 
nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner
ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + bx + g) = 0
với b=a+b ; g=b+c
4. các công thức về lượng giác, cấp số và lôgarit:
 ; 1+tg2x= 
cấp số cộng: ¸ a,b,c, d = c – b = b – a 
cấp số nhân: a,b,c, 
I. ĐẠO HÀM
Qui Tắc:
 (u ± v)’ = u’ ± v’ ; 
(u.v)’ = u’v + v’u 
 (ku)’ = ku’ (k:const)
2. Công thức:
(xn)’ = nxn-1
 (un)’ = nun-1u’
(sinx)’ = cosx 
 (sinu)’ = u’cosu
(cosx)’ = - sinx 
 (cosu)’ = - u’sinu
(tgx)’ = 
(tgu)’ = 
(cotgx)’ = 	 
 (cotgu)’ = 
 (ex)’ = ex 
 (eu)’ = u’eu
 (ax)’ = ax.lna
 (au)’ = u’au.lna
(lnx)’ = 	
 (lnu)’ = 
 (logax)’ = 
 (logau)’ = 
II. KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1. Hàm bậc ba : y = ax3+bx2+cx+d:
Miền xác định D=R
Tính y’= 3ax2+2bx+c
y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
tính y’’ tìm 1 điểm uốn
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị (đt)
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: 
- để hs tăng trên D
- để hs giảm trên D
- để hs có cực trị trên D Ûy’=0 có 2 n0 pb
- để hs không có cực trị Ûy’=0 VN hoặc có nghiệm kép
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị
- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu.
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau Û ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc Û y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox.
2. Hàm trùng phương : y = ax4+bx2+c:
Miền xác định D=R
Tính y’
y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương:
- đt nhận oy làm trục đối xứng.
- để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D Û y’=0 có 3 n0 pb (hoặc 1 n0)
- để hs có điểm uốn Û y’’=0 có 2 n0 pb
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb Û D>0 ; P>0 ; S>0.
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc Û D>0 ; P>0 ; S>0 ; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet.
3. Hàm nhất biến 
Miền xác định D=R\
Tính (>0, <0)
TCĐ vì 
TCN vì 
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
4. Hàm hữu tỷ chia bằng Hoocner
Miền xác định D=R\
Tính y’=
y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có.
TCĐ vì 
TCX vì 
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
* Một số kết quả quan trọng:
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
- có 2 cực trị hoặc không Û y’= 0 có 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN
- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị.
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb Û ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm pb
* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:
1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt)
@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0) Î y=f(x) 
 tính: y’=
 y’(x0)=
 pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0
@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước
 ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là: y = k(x-x0)+y0
pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a
pttt ^y=ax+b có hệ số góc k = -1/a.
@ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x)
ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x0)+y0 
để d là tt thì hệ sau có nghiệm:
 thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay 
vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên.
2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y = g(x)
+ ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm.
 + bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m)
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị.
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta có: từ đó tìm điểm tiếp xúc x
3/ đơn điệu: cho y = f(x) ; đặt g(x) = y’
a/ g(x) = ax2+bx+c ³ 0 trong (a,+¥) Û a>0 ; ; g(a)³0.
b/ g(x) = ax2+bx+c £ 0 trong (a,+¥) Û a<0 ; ; g(a)£0.
c/ g(x) = ax2+bx+c ³ 0 trong (a,b) Û ag(a)£0 ; ag(b)£0
{áp dụng cho dạng có m2}
d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng 
m > h(x) (hoặc m giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x))
e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x0} thì
tăng trên (a,+¥)Û y’³0 ; x0£a
giảm trên (a,+¥)Û y’£0 ; x0£a
4. Cực trị:
 * y = f(x) có cực trị Û y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”¹0)
* y=f(x) có cực đại tại x0 Û
* y=f(x) có cực tiểu tại x0Û
1. T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d
 iTập xác định D = R
Tính y/
Để hàm số có cực trị thì y/ = 0 có hai n pb 
2. T.Hợp 2: Hàm số 
 Tập xác định 
 Tính 
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = 0 có hai nghiệm pb thuộc D 
5. GTLN, GTNN:
	a. Trên (a,b) Tính y’ 
Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
KL: , 
b. Trên [a;b] Tính y’ 
Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm 
Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)
 Chọn số lớn nhất M KL:
 Chọn số nhỏ nhất m , KL:
III. Hàm số mũ và logarit:
Công thức lũy thừa:
 Với a>0, b>0; m, nÎR ta có:
 anam =an+m ; ; (=a-m ; a0=1 ; a-1=) ; (an)m =anm 	
 (ab)n=anbn ;	 ;	.
Công thức logarit: logab = cÛac=b ( 00)
 Với 00 ; aÎR ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; 
 loga= logax1-logax2;
 ; logaxa=a logax ; ; (logaax=x);	 
 logax=; (logab=) ; logba.logax=logbx ; alogbx=xlogba.
Phương trình mũ- lôgarít : 
 * Dạng ax= b ( a> 0 , )
b0 : pt vô nghiệm 
 b>0 : 
* Đưa về cùng cơ số: Af(x) = Bg(x) Û f(x) = g(x)
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa
* Dạng ( a> 0 , )
Điều kiện : x > 0 ; 
logaf(x) = logag(x) Û f(x) = g(x)
Đặt ẩn phụ; mũ hóa
 4. Bất PT mũ – logarit: 
 * Dạng ax > b ( a> 0 , ) ; b0 : Bpt có tập nghiệm R
 b>0 : , khi a>1
 	 , khi 0 < a < 1
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa
* Dạng ( a> 0 , , x>0 )
 , khi a >1
 , khi 0 < x < 1
Đặt ẩn phụ; mũ hóa
VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)
 F , 
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
Các phương pháp tính tích phân: Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức. 
Phương pháp đổi biến số : 
 P.Pháp: Đặt : t = 
 Đổi cận: 
Do đó: 
Các dạng đặc biệt cơ bản:
 P.Pháp: Đặt: 
Đổi cận:
 2. Tính 
P.Pháp: Đặt 
Đổi cận
Phương pháp tính tích phân từng phần
Loại 1: Có dạng: A= 
 Trong đó P(x)là hàm đa thức
 Phương pháp: Đặt u = P(x) du = P(x).dx
 dv = .dx v = ...
 Áp dụng công thức tích phân từng phần A = 
 Loại 2: B = 
 Phương pháp:
Đặt u = Ln(ax+b) 
 dv = P(x).dx v = ...
 Áp dụng: B = 
Dạng :
 Hay 
Nếu n chẵn: 
 Áp dụng công thức ; 
2. Nếu n lẻ:
 Đặt (Đổi thành Cosx )
Dạng : Hay 
 PP:Đặt làm thừa số
 Thay 
IV. Diện tích hình phẳng:
1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi(c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b:
i DTHP cần tìm là: (a < b)
Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0
SNếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn thì: 
SNếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn . Giả sử x = , x = thì
++
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y =f(x) và trục hoành:
 P.Pháp:
HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường (c): y = f(x) và(c): y = g(x) và hai đường x = a; x = b:
P.Pháp
DTHP cần tìm là: 
HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0
Lập luận giống phần số 1
Thể tích vật thể:
Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn . Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích: 
 Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn . Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích: . 
.......................................................................................................................................................................
IV. SỐ PHỨC:
Số i : i2 = -1
Số phức dạng : z = a + bi ; a,bÎR 
Modun của số phức : 
Số phức liên hợp của z = a + bi là ; 
 với mọi , .
 ; ; ; 
 z là số thực ; z là số ảo 
a+ bi = c + di 
(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
(a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
 Ta có: .
 .
 ; .
Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : 
Xét phương trình bậc hai : 
ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ;) Đặt 
Nếu = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x = 
Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : 
Nếu < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : 
? Định lý Viet : 
Nếu phương trình bậc hai () 
có hai nghiệm thì : và .
F Định lý đảo của định lý Viet :
	Nếu hai số có tổng và thì là nghiệm của phương trình :.
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
HÌNH HỌC 12
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG 
. sin = (ĐỐI chia HUYỀN) 
. tan = (ĐỐI chia KỀ) 
 cos = (KỀ chia HUYỀN)
 . cot = (KỀ chia ĐỐI)
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)
=>AB2 = BC2 - AC2 
2. AB2 = BH.BC 
3. AC2 = CH.BC
 4. AH2 = BH.CH
 5. AB.AC = BC.AH 
6. 
III. ĐỊNH LÍ CÔSIN
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA
 2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 
 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC
IV. ĐỊNH LÍ SIN 
V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC
a) ; b) 
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S = b) S = (Công thức Hê-rông)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = ; b) S = 
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông: a) S = ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S = a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) 
b) Cạnh huyền bằng a
5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o
b) BC = 2AB c) AC = d) S = 
6. Tam giác cân: 
a) S = (h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
 9. Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn: a) C = 2R (R: bán kính đường tròn) 
 b) S = R2 (R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN
2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau. 
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy). 
Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp(): a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp() Tức là: d ()
b) d ()
c) Đt d vuông góc với mp() thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp()
4. Góc giữa đt d và mp(): d cắt () tại O và Ad
 Nếu thì góc giữa d và () là hay = 
5. Góc giữa 2 mp() và mp():
Nếu 
thì góc giữa () và () là hay = 
Khoảng cách từ điểm A đến mp():
 Nếu AH () thì d(A, ()) = AH (với H ())
IX. KHỐI ĐA DIỆN:
Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
Thể tích khối chóp: V = (diện tích đáy là đa giác)
Tỉ số thể tích của khối chóp: 
Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = (R: bk đường tròn; l: đường sinh
Thể tích của khối nón tròn xoay: V = (diện tích đáy là đường tròn)
6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: 
 Sxq = 2 (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = h ( h: chiều cao khối trụ)
Diện tích của mặt cầu: S = 4 (R: bk mặt cầu )
Thể tích của khối nón tròn xoay: 	 
 V = (R: bán kính mặt cầu)
PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN
I. CÔNG THỨC VECTƠ:
À. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 
 và 
 Ta có: 
Tích có hướng của hai vectơ và là
 cùng phương 
 hay 
 , , đồng phẳng 
­ Ứng dụng của vectơ:
II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
Trog không gian Oxyz cho ; 
G là trọng tâm , ta có:
G là trọng tâm tứ diện ABCD 
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta có:
 , 
I là trung điểm của đoạn AB thì:
III. MẶT PHẲNG:
Giả sử mp có cặp VTCP là : ; 
Nên có VTPT là: 
Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax + By + Cz + D = 0
 Với ; trong đó là VTPT của mp 
Phương trình các mặt phẳng toạ độ:
(Oxy) : z = 0 ; (Ozy) : x = 0
(Oxz) : y = 0
Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau: 
P.tr của chùm mp xác định bởi và là:
 với 
 Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng:
 Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng
Tìm VTPT và điểm đi qua
dạng: 
 Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C
Tính 
Mp (ABC) có VTPT là và qua A
Kết luận.
 Vấn Đề 3: Viết phương trình mp đi qua điểm A và vuông góc BC
 Mp BC. Nên có VTPT là BC qua A
Chú ý:
Trục Ox chứa 
Trục Oy chứa 
Trục Oz chứa 
 Vấn Đề 4: Viết phương tình mp là mặt phẳng trung trực của AB.
Mp AB. Nên có VTPT là AB đi qua I là trung điểm của AB 
Kết luận.
 Vấn Đề 5: Viết phương tình mp đi qua điểm vaø song song với mặt phẳng 
. Nên phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D= 0
Kết luận
Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q)
Mp (P) có cặp VTCP là: và VTPT của (Q) là 
Mp (P) có VTPT là và qua A
Kết luận.
Vấn Đề 7: Viết phương trình mp đi qua các điểm là hình chiếu của điểm trên các trục toạ độ.
P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0)
* Phương trình mp là: 
Vấn Đề 8: Viết phương trình mp đi qua điểm M0 và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
(P) có VTPT là 
(Q) có VTPT là 
Mp có VTPT là và qua Mo
Kết luận.
Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A.
Xác định tâm I của mặt cầu (S) 
Mặt phẳng : Mp tiếp diện có VTPT : 
Viết phương trình tổng quát. 
IV. ĐƯỜNG THẲNG:
J Phương trình đường thẳng:
Phương trình tổng quát của đường thẳng: 
 với A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm có VTCP là: 
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M0 có VTCP: là Với 
S Qui ước: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0
J Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đường thẳng tổng quát. 
 P.Pháp: có VTCP là : 
J Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng :
Cần biết VTCP và điểm 
Viết phương trình tham số theo công thức (2)
Viết phương trình chính tắc theo công thức (3)
Viết phương trình tổng quát. thì từ phương trình chính tắc , ta có phương trình tổng quát: 
Rút gọn về dạng (1)
S Chú ý: Viết phương trình tổng quát về phương trình tham số Hoặc chính tắc. Ta tìm:
VTCP bằng vấn đề 11
Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào đó.Giải hệ tìm x, y => z
Có điểm thuộc đường thẳng 
Kết luận.
J Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng 
i Mp có VTPT là 
Đường thẳng đi qua điểm M0 và có VTCP là 
Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng quát
J Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu của d trên mp 
Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp 
Gọi là mặt phẳng chứa d và 
Nên có cặp VTCP là 
VTCP của d là và là VTPT của mặt phẳng 
Mp có VTPT 
Mp đi qua điểm M0 d
Viết phương trình tổng quát của Mp 
Phương trình đường thẳng d/: 
 J Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm và vuông góc với hai đường và 
 có VTCP 
 có VTCP 
d vuông góc với và . Nên d có VTCP là 
J Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt cả hai đường và . 
Thay toạ độ A vào phương trình và 
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 
P.tr đường thẳng d: 
J Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d cắt cả hai đường và .
Gọi 
Gọi 
Đường thẳng chính là đường thẳng AB
J Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 và cắt cả hai đường và .
Gọi (P) là mặt phẳng chứa và (P) // d1
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa và (Q) // d1
Phương trình đường thẳng d 
J Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và .
Gọi và lần lượt là VTCP của và 
Gọi 
Gọi (P) là mặt phẳng chứa và có một VTCP là . Nên có VTPT là phương trình mặt phẳng (P) 
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa và có một VTCP là . Nên có VTPT là phương trình mặt phẳng (Q) 
Phương trình đường vuông góc chung của và : 
J Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng và 
Gọi là mặt phẳng chứa và có một VTCP là ( VTPT của (P) )
Gọi là mặt phẳng chứa và có một VTCP là ( VTPT của (P) )
Đường thẳng 
J Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng 
Gọi là mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc 
Gọi là mặt phẳng đi qua điểm M0 và chứa 
Đường thẳng 
J Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng và 
P.Pháp:
Gọi 
Gọi là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với . Nên có VTPT là VTCP của 
Đường thẳng 
V. MẶT CẦU:
Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: 
 (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 
Mặt cầu (S) có phươngtrình : 	
	x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = 0 với đk a2 + b2 + c2 –d > 0 
thì (S) có : Tâm I(a ; b ; c)
 Bán kính 
J Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu
P.Pháp: Cần:
Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu
Bán kính R
Viết phương trình mặt cầu 
 (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
J Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
P.Pháp: 
Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ độ I => I là tâm mặt cầu 
Bán kính 
 Viết phương trình mặt cầu
J Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với : Ax + By + Cz + D = 0
P.Pháp:
Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với . Nên có bán kính 
Viết phương trình mặt cầu
J Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
Phương trình mặt cầu (S) có dạng : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0 
A, B, C, D thuộc (S). Ta có hệ phương trình 
Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D
Kết luận
 J Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy
Gọi I ( xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu, 
Ta có AI2 = BI2 = CI2
Ta có Hpt 
Giải Hpt I IA = R
Kết luận
......................................................................................................................................
VI. KHOẢNG CÁCH:
Khoảng cách giữa hai điểm AB : 
Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng 
 : Ax + By + Cz + D = 0 ; 
Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d
Lấy M0 d
Tìm VTCP của đường thẳng d là : 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và 
Gọi và lần lượt là VTCP của và 
 đi qua điểm M0 , : 
VII. GÓC:
Góc giữa hai vectơ và : Gọi là góc giữa hai vectơ và 
2. Góc giữa hai đường thẳng (a) và (b) ; Gọi là góc giữa hai đường thẳng (a) và (b) 
Đường thẳng (a) và (b) có VTCP lần lượt là : ; 
 ¯ Đặc biệt: 
3. Góc giữa hai mặt phẳng và 
: Ax + By + Cz + D = 0 ; : A/x + B/y + C/z + D/ = 0
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và ; 
4. Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng 
(d): có VTCP là = (a, b, c) ; : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi là góc nhọn giữa (d) và ; 
5. Vị trí tương đối giữa mp và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R
Tính d(I, )
Nếu d ( I, ) > R => không cắt (S)
Nếu d ( I, ) = R => tiếp xúc (S)
Nếu d ( I, ) cắt (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính 
Gọi d/ là đường thẳng đi qua tâm I và 
Gọi là tâm đường tròn giao tuyến
6. Tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu (S)
 * Viết phương trình đường về dạng phương trình tham số 
 * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình (­) theo t
Nếu ptr (­) vô nghiệm => không cắt mặt cầu (S)
Nếu ptr (­) có nghiệm kép => cắt (S) tại một điểm 
Nếu ptr (­) có hai nghiệm => cắt (S) tại hai điểm. 
Thế t = ... vào phương trình tham số của => Tọa độ giao điểm
J Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng của M qua mặt phẳng 
Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối xứng của M qua 
Gọi d là đường thẳng đi qua M và . Nên d có VTCP là 
Viết phương trình tham số của d
Gọi
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình =>Tọa độ điểm H 
Vì H là trung điểm của MM/ => Tọa độ điểm M/
 J Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng của M0 qua đường thẳng d
Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) 
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và . Nên (P) nhận VTCP của d làm VTPT 
Gọi
M/ là điểm đối xứng của M0 qua đường thẳng d. Nên H là trung điểm của đoạn M0M/
 Ta có: => M/
ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản :
. Xác định 1 điểm và 1 VTPT
. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D.
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau: 
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT =(A;B;C)
	A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
	Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)
- Từ ptmp(Q) VTPT Q = (A;B;C)
- Vì (P) // (Q) VTPT P = Q = (A;B;C)
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT P
Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d
- Từ (d) VTCP d = (A;B;C)
- Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT P=d =(A;B;C)
Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt P.
Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) , (R)
- Từ pt mp (Q) và (R) VTPT Q ; VTPT R
- Vì (P) (Q) và (R) VTPT P và P R
Chọn P = [Q; R]
- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT P = [Q; R]
Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng
- Tính , và = [, ]
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT P= = [, ]
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q)
- Tính , vtpt Q và tính [,Q]
- Vì A, B (P) ; (Q) (P) nên chọn P=[,Q]
- Viết ptmp (P)
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và // với dt (d)
- Tính VTPT Q của mp (Q); VTCP d của đường thẳng (d).
- Tính [d,Q]
- Vì (P) (Q) và // (d) nên VTPT P = [d,Q]
- Từ đó viết được PT mp (p)
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
- Tình trung điểm I của ABvà 
- Mp (P) đi qua I và nhận làm VTPT.
Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VTCP d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d)
- Tính và [d, ]
- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT P =[d, ]. 
Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ()
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Từ () VTCP và tính [d, ]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT = [d, ].
Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q)
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Từ (Q) VTPT Q và tính [d, Q]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT =[d, Q].
Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 
( theo pt của mp (Q) , trong đó D DQ)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Vì (d) nằm trong (P) d. P=0 (1)
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 900
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Vì d (P) d. P=0 (1)
- Tính cos ((P),(Q)) (2)
- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt()một góc 900
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Vì d (P) d. P=0 (1)
- Tính sin ((P),( )) (2)
- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất 
- Gọi H là hình chiếu của A lên (d) 
- Ta có : d(A,(P)) = AK AH 
(tính chất đường vuông góc và đường xiên)
Do đó d(A(P)) max AK = AH KH
- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 
 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ).
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= Rtìm được D' 
- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm 
 Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C = và diện tích S = tính r.
- d(I,(P)) = (1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 
 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ)
- Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D' viết được pt (P).
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- d (P) d. P=0 (1)
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).
Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C = và diện tích S = tính r.
- Vì d (P) d. P=0 (1)
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0, 
 chọn M trên đường thẳng d. =>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).
Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Bán kính r = để r min d(I,(P)) max
- Gọi H là hình chiếu của I lên (d) ; K là hình chiếu của I lên (P)
- Ta có: d(I,(P))= IKIh ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,(P)) max AK = AH KH
- PT mp(P) đi qua H và nhận làm VTPT
ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng
 Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP =(a,b,c)
 PP: phương trình tham số của đường thẳng d là:
 (d): với t R 
* Chú ý : Nếu cả a, b, c 0 thì (d) có PT chính tắc 
* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d.
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B
- Tính 
- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận làm VTCP
Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng ()
- Từ pt() VTCP 
- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận làm VTCP
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P)
- Tìm VTPT của mp(P) là P
- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP d = P
Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)
- Từ (d1),(d2)=> tính [,].
- Vì (d) (d1),(d2) nên có VTCP d= [,]
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP d= [,]
Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp 
(P):Ax + By + Cz + D = 0
(Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0
- Từ (P) và (Q) P ,Q
- Tính [P ,Q]
- Xét hệ . Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó Md
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP d =[P ,Q].
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)
 Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
 - Hình chiếu cần tìm d' = (P)(Q)
 Cách 2: + Tìm A = ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )
 + Lấy M và xác định hình chiếu H của M lên (P)
 + Viết phương trình d' đi qua M, H
Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: 
 Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng () đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
 * Tìm B = 
 * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
 Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng () đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
 - Viết pt mặt phẳng () đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2
 - Đường thẳng cần tìm d = 
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 
 - Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2
 - Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3
 - Đường thẳng cần tìm d = 
Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2 
Cách 1 : - Viết pt mp qua A và vuông góc d1 
 - Tìm giao điểm B = 
 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : * Viết pt mp qua A và vuông góc d1
 * Viết pt mp qua A và chứa d1
 * Đường thẳng cần tìm d = 
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp, cắt đường thẳng d'
Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với 
 - Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d'
 - Đường thẳng cần tìm d = 
Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với 
 * Tìm B = 
 * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước.
 - Tìm giao điểm A=d1và B=d2
 - Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'.
 * Tìm giao điểm I' = d'
 * Tìm VTCP của d' và VTPT của (P) và tính 
 * Viết ptđt d qua I và có VTCP 
Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : 
 - Gọi , ; và 
 là các chân đường vuông góc chung của d1, d2
 - Ta có hệ .
 - Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N.
 ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc)
Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 .
 * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P)
 * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P)
 * Đường thẳng d = 
Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 .
 - Viết pt mp qua A và vuông góc d1 
 - Tìm giao điểm B = 
 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc (= 300, 450, 600) 
 * Gọi VTCP của d là 
 * Vì =>phương trình (1) ; Vì => phương trình (2)
 Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.
( chú ý : nếu thay giả thiết là