Chuyên đề : Hình giải tích trong không gian

Chuyªn ®Ò : h×nh gi¶i tÝch trong kh«ng gian
Chó ý: 	
CMR và cắt nhau. Viết phương trình (P) qua và . 
CMR và song song với nhau . Viết phương trình (P) qua và 
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với và song song với 
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và vuông góc với ().
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và song song với 
Viết phương trình (P) qua A, B và cách C đoạn r. 
Tìm toạ độ trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Viết phương trình đường thẳng qua A , song song với mặt phẳng () và vuông góc với (d)
Viết phương trình đường thẳng là đường vuông góc chung của () và (). 
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi vaø 
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng coù VTCP vaø caét caû 2 ñöôøng thaúng vaø 
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A vuoâng goùc vôùi vaø caét 
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A caét caû 2 ñöôøng thaúng vaø
Vieát phöông trình d naèm trong , vuoâng goùc vôùi vaø qua giao ñieåm cuûa vaø ().
Cho hai ñieåm Ai vaø ñöôøng thaúng d. Tìm treân d ñieåm M ñeå :
	1, nhoû nhaát. 	 2, nhoû nhaát 
Bµi tËp
VD 1. Cho A ( -1; 2; 3) và đường thẳng d có phương trình 
1, Viết phương trình (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d 
2, Tìm hình chiếu của A trên d 
VD 2. Cho A ( 1; 4; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y + z -1 = 0
1, Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với mp ( P) 
2, Tìm hình chiếu của A lên ( P) 
VD 3. Cho mặt phẳng (P): , và A(3; -2; -4).
 1, Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu của A trên (P).
 2, Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với (P).
VD 4. Cho điểm A( 2; 4; 3 ) và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – y + 2z - 9 = 0.
1, Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P).
2, Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
VD 5. Cho điểm A(1; 2; 3), : và (): 2x + 2y + z - 1 = 0.
1, Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng ().
2, Viết phương mặt cầu (S) tâm I nằm trên , tiếp xúc với mặt phẳng () và có bán kính bằng 2.
VD 6. Cho điểm M (2; 1; 3) và đường thẳng (d): 
1, Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và chứa trục Ox.
2, Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với đường thẳng (d).
VD 7. Cho ba điểm A(–1; 3; 2), B(4; 0; –3) và C(5; –1;4).
1, Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên đường thẳng BC.
2, Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với BC.
VD 8. Cho 3 điểm A(2,0,0); B(0,1,0); C(0,0,3).
 1, Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
 2, Viết phương trình mặt cầu có tâm là gốc tọa độ, tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).
VD 9. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q) : và cách điểm M(1;2;) một khoảng bằng . 
VD 10. Cho đường thẳng (d ) : và mặt phẳng (P) : .
1, Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d), bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P).
2, Viết phương trình () qua M(0;1;0), nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng (d).
VD 11. Cho mặt phẳng (P): và các điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0)
1, Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
2, Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
VD 12. Cho điểm M(1;-1;1); và (P): y + 2z = 0.
1. Tìm điểm N là hình vuông chiếu góc của điểm M lên đường thẳng (D2).
2. Viết phương trình đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng D1, D2 và nằm trong (P).
VD 13. Cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng :
1. Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2	
VD 14. Cho hai đường thẳng: 
1, Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với . 
2, Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng . 
VD 15. Cho và 
1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A đồng thời vuông góc với đường thẳng d.
 2, Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cắt đường thẳng .
VD 16. Cho (P) :2x+2y-z+1=0, A(1;2;-1), B(3;-2;1), C(4;2;-1). T×m to¹ ®é M trªn (P) tho¶ m·n 
 lµ nhá nhÊt.
VD 17. Cho hai đường thẳng: (d): và (d’): 
 T×m to¹ ®é A, B biết (d) qua M(0;1; 2) , cắt (d) tại A và cắt (d’) tại B sao cho MA = 3MB
VD 18. Cho (P): và (d):. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;0;-1) và cắt (d) tại điểm A, cắt (P) tại điểm B sao cho M là trung điểm của AB.
VD 19. Cho hai đường thẳng d1: , d2: và (P): x + y - z - 3 = 0. 
Tìm điểm A trên đường thẳng d1, điểm B trên đường thẳng d2 sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB là M thuộc mặt phẳng (P) và độ dài AB = 6.
VD 20. Cho hai điểm A(3; 1; 2) và B(1 ; 2 ; 0). Tìm tọa độ điểm C trên mp(Oxy) sao cho 
vuông cân tại B.
VD 21. Cho tam giác ABC có A( 1;-2;3) , B(2;1;2), C(0;-1;-2) 
1, Tìm toạ độ trực tâm của tam giác.
2, Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
VD 22. Cho ba điểm A(3; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 4). Tìm tọa độ các điểm M, N, P sao cho ABC.MNP là lăng trụ đứng có độ dài cạnh bên bằng và M có cao độ dương. 
VD 23. Cho điểm A(1; 2; -1) và đường thẳng d : . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
VD 24. Cho hình chữ nhật ABCD có A(4;1;-1),. 
Tìm B, C, D.
VD 25. Cho hình thoi ABCD có S=, ,. 
 Tìm A, B, C, D.
VD 26. Cho A(5;5;0), . Tìm B, C trên d sao cho cân tại A và .
VD27. Cho các điểm A(1;4;-3), B(4;0;1) và đường thẳng d: . Xác định C, D sao cho ABCD là hình thoi biết rằng D nằm trên d.
VD 28. Cho . 
Tìm .
VD 29. Cho B(-1;-4;-1); C(0;-2;-2); D(-1;-2;-3). Gọi A là trung điểm của BD và (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD. Tìm điểm E trên (P) sao cho tam giác ACE vuông tại A và 
VD 30. Cho M(2;2;1) và , (S): x2+y2+z2+4x-6y+m=0. Tìm m sao cho d cắt (S) tại A, B phân biệt thoả: 
VD 31. Cho mặt cầu , hai điểm và . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M, N và cắt mặt cầu (S) tại duy nhất một điểm.
Chuyªn ®Ò : H×NH HäC ph¼ng.
 A. Lý thuyÕt c¬ b¶n:
1, Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d:
Qua 
Qua 
2, Kho¶ng c¸ch : Cho 
3, Gãc : Cho cã VTPT lÇn l­ît lµ 
4, Ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn:
T©m 
 cã t©m . 
5, Mét sè bµi to¸n: 
Trong tam gi¸c:
NÕu cã ®­êng cao, trùc t©m th× dïng vu«ng gãc.
NÕu cã trung tuyÕn, trung ®iÓm th× dïng to¹ ®é trung ®iÓm, träng t©m.
NÕu cã ph©n gi¸c trong, trung trùc th× lÊy ®èi xøng.
NÕu cã t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp th× chó ý t©m c¸ch ®Òu ®Ønh, lµ giao cña c¸c ®­êng trung trùc.
NÕu cã r, R th× dïng S=p.r, §Þnh lý sin.
Hình bình hành: 
Các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau
Giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng, 
khoảng cách từ tâm đối xứng đến các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Tứ giác nội tiếp
Hình thoi: 
Các cặp cạnh đối diện song song, các cạnh bằng nhau
Giao điểm I của hai đường chéo là tâm đối xứng. Khoảng cách từ I đến các cạnh bằng nhau.
Các đường chéo là các đường phân giác của các góc.
Tứ giác nội tiếp
 Hình chữ nhật: 
Các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau
Giao điểm I của hai đường chéo là tâm đối xứng, khoảng cách từ tâm đối xứng đến các cặp cạnh đối diện là bằng nhau. Hình chiếu của I trên mỗi cạnh là trung điểm của nó.
 Hai cạnh liên tiếp vuông góc với nhau. 
Tứ giác nội tiếp
 Hình vuông:
Các cặp cạnh đối diện song song và các cạnh bằng nhau
Hai cạnh liên tiếp vuông góc với nhau.
Các đường chéo là các đường phân giác của các góc và bằng nhau
 Giao điểm I của hai đường chéo là tâm đối xứng, khoảng cách từ tâm đối xứng 
đến các cạnh là bằng nhau. Hình chiếu của I trên mỗi cạnh là trung điểm của nó 
Tứ giác nội tiếp
Một số kết quả hình học phẳng thường dùng
Tính chất 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I, tiếp tuyến Cx tại C. Khi đó .
Tính chất 2. Cho hình vuông ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Khi đó .
Tính chất 3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I. Có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Khi đó .
Tính chất 4. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I. Gọi H, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C xuống các cạnh AC, BC. Khi đó 
Tính chất 5. Cho ABC có trực tâm H . Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp và M là giao điểm của AH với BC. Khi đó M là trung điểm của HD.
Tính chất 6. Cho ABC có tâm đường tròn nội tiếp J . Gọi D là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AJ và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC và .
Tính chất 7. Cho có trực tâm H; E, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, B lên các cạnh AB và AC. Gọi P là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC. Khi đó 
Tính chất 8. Cho ABC có trực tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB. Khi đó H là tâm đường tròn nội tiếp .
B. BµI TËP:
VD 1. Cho tam giác ABC có điểm M(3;1)AB, đường phân giác trong từ A là lA: x -y -1 = 0 và đường cao từ C là hc : 2x +y +4 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết diện tích tam giác ABC bằng 9/2.
VD 2. Cho ABC trọng tâm , trực tâm và trung điểm của cạnh BC là điểm . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
VD 3. Cho tam giác ABC có trực tâm là H(3;-1/4), tâm đường tròn ngoại tiếp là K(0;), trung điểm cạnh BC là M(). Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C; biết xB >xC
VD 4. Cho tam giác nhọn ABC. Đường trung tuyến từ A là d: 3x+5y-8=0, BC: x-y-4=0. Đường cao từ A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D(4;-2). 
Tìm tọa độ A, B, C biết . 
VD 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABM. D(7;-2) nằm trên đoạn MC sao cho GA=GD. AG: 3x-y-13=0, xA<4. Viết phương trình AB.
VD 6. Cho tam giác AEC, gọi H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ C và A lên các cạnh AE và CE. Gọi D là trực tâm của tam giác AEC, B là điểm đối xứng của D qua cạnh AE và . Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và M(0; 10) là trung điểm của AC. Tìm tọa độ điểm A
VD 7. Cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3;-1). E(-1;-3) nằm trên đường cao từ đỉnh B. Đường thẳng AC qua F(1;3). Tìm tọa độ A, B, C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính AD với D(4;-2).
VD 8. Cho tam giác ABC có trực tâm H(3;0) và trung điểm của BC là I(6;1). AH: x+2y-3=0. D, E lần lượt là chân đường cao từ B, C của tam giác. DE: x-2=0. yD>0. Tìm tọa độ A, B, C.
VD 9. Cho tam giác có góc nhọn, điểm là trung điểm đoạn điểm nằm trên đường thẳng Dựng bên ngoài tam giác các tam giác vuông cân tại Biết phương trình đường thẳng và điểm có tung độ nhỏ hơn . Xác định tọa độ các điểm 
VD 10. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;1) và . Chân đường cao hạ từ A là D(-1;-1), AC qua M(-1;4). Tìm tọa độ A, B, C biết xA>0.
VD 11. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T):. Gọi K(-1;1), H(2;5) lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B của tam giác ABC. Tìm tọa độ A, B, C biết 
VD 12. Cho nội tiếp trong đường tròn , đường thẳng AC đi qua điểm K(2;1). Gọi M, N lần lượt là chân đường cao hạ từ B và C. Tìm tọa độ các đỉnh của biết phương trình đường thẳng MN là và 
VD 13. Cho đường tròn . Tam giác ABC vuông tại A có AC là tiếp tuyến của (C) tại A. Chân đường cao hạ từ A là H(2;0). Tìm tọa độ B biết . 
VD 14. Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn tâm I. BI cắt (C) tại M(5;0). Đường cao từ C cắt (C) tại . Tìm tọa độ A, B, C biết xA>0.
VD 15. Cho đường tròn (T): và . Chứng minh rằng từ M kẻ đến (T) được hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
VD 16. Cho tam giác ABC nhọn có A(-1;4), trực tâm H. Đường thẳng AH cắt cạnh BC tại M, CH cắt AB tại N. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN là I(2;0), BC qua P(1;-2). 
Tìm tọa độ B, C biết B thuộc d: x+2y-2=0.
VD 17. Cho ABC vuông tại A có B(3; 0) và AC : x – y + 1 = 0. Gọi M là trung điểm AB, H là hình chiếu của M lên cạnh BC. Biết rằng . 
 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp AHM.
VD 18. Cho ABC với A(-1; -1), phương trình đường tròn ngoại tiếp là (T): . Viết phương trình đường thẳng , biết là tâm đường tròn nội tiếp .
VD 19. Cho đường thẳng và điểm . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng hai điểm B, C thuộc d, tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng .
VD 20. Cho tam giác ABC vuông tại B có BC=2AB. Gọi M (2;-2) là trung điểm của AC và N là điểm thuộc BC sao cho là giao điểm của AN và BM . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .
VD 21. Cho nội tiếp trong đường tròn Đường phân giác trong góc cắt đường tròn (C) tại điểm . Xác định tọa độ các đỉnh của , biết đường thẳng BC đi qua điểm N(-5 ;2) và đường thẳng AB đi qua điểm P(-3 ;-2) .
VD 22. Cho tam giác ABC có tọa độ trực tâm H(2; 1) và tâm đường tròn ngoại tiếp I(1; 0). Trung điểm của BC nằm trên đường thẳng có phương trình x – 2y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểm E(6; -1) và hoành độ điểm B nhỏ hơn 4.
VD 23. Cho cân tại A có C(1;-4) ; M là trung điểm đoạn AB. Biết là tâm đường tròn ngoại tiếp và là trọng tâm tam giác ACM. Tìm tọa độ A, B, C biết 
VD 24. Cho cân tại A có M là trung điểm đoạn AB. Biết là tâm đường tròn ngoại tiếp và là trọng tâm tam giác ACM. Các đường thẳng AB, CM lần lượt đi qua các điểm E(0;3), F(2;0). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết A có tung độ dương.
VD 25. Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của cạnh BC, đường thẳng DM:; A thuộc đường thẳng . Xác định tọa độ các đỉnh A, B, D.
VD 26. Cho hình vuông ABCD có , đỉnh thuộc . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh BC, CD sao cho BM = CN. Biết AM giao BN tại điểm . Tìm C.
VD 27. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. và 
BN: 2x+9y-34=0. Tìm tọa độ A, B biết xB<0.
VD 28. Cho hình vuông ABCD có D(5;1). Gọi M là trung điểm BC, N thuộc đoạn AC sao cho AC=4AN. Tìm tọa dộ C biết MN: 3x-y-4=0 và yM>0.
VD 29. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm cạnh AD. là hình chiếu của B lên CE và là trung điểm của BH. Tìm A, B, C, D biết xA<0.
VD 30. Cho hình vuông ABCD có A(1;1). M là trung điểm của BC, là hình chiếu của D lên AM. Tìm B, C, D biết xB<2.
VD 31. Cho hình vuông ABCD. là trung điểm của AD. EK: 19x-8y-18=0 với E là trung điểm của cạnh AB, K thuộc cạnh DC và KD=3KC. Tìm tọa độ C biết xE<3. 
VD 32. Cho hình vuông ABCD, đường tròn đường kính AM cắt BC tại B, M(5;7) và cắt đường chéo BD tại N(6;2), C thuộc d: 2x-y-7=0. Tìm tọa độ A, B, C, D biết 
VD 33. Cho hình vuông ABCD có đường chéo AC: x+y-5=0. Trên tia đối của tia CB lấy M và trên tia đối của tia DC lấy N sao cho DN=BM. Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau tại F(0;-3). Tìm tọa độ A, B, C, D biết M nằm trên Ox.
VD 34. Cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. . H là trung điểm của DI, . 
Tìm tọa độ A, B, C, D biết xA<4.
VD 35. Cho hình vuông ABEM có G là trung điểm của EM. H và D là hình chiếu vuông góc của A và E lên BG. Gọi C là điểm đối xứng của A qua M; K là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng AD. Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và trung điểm của AC thuộc d: x – y + 10 = 0. Tìm A.
VD 36. (HSG HY 15). Cho hình vuông ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và BC; điểm M thuộc cạnh CD sao cho ; G là trọng tâm của tam giác BKD. Biết phương trình đường thẳng IM: 3x - y - 11 = 0 và tọa độ điểm . Viết phương trình đường chéo BD của hình vuông ABCD. 
VD 37. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Gọi H là giao điểm của AN và BD. Giả sử và . Tìm A.
VD 38. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm thuộc đường chéo BD sao cho BH = 3HD, MH cắt cạnh AD tại P. Giả sử điểm I(-1; 2) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMP, AD : 2x - y - 6 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
VD 39. Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(-4;0). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Gọi là giao điểm của AM và BN. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh B thuộc đường thẳng (d): .
VD 40. Cho hình chữ nhật ABCD có B thuộc (d1): 2x – y + 2 = 0, đỉnh C thuộc (d2): x – y – 5 = 0. Gọi H là hình chiếu của B xuống AC. Biết điểm lần lượt là trung điểm của AH và CD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết đỉnh C có tung độ dương. 
VD 41. Cho hình chữ nhật ABCD có BC=2BA. Gọi F(1;1) là điểm trên cạnh BC sao cho 
. Điểm là giao điểm của BD và AF. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết B nằm trên đường thẳng (d): x+2y-6=0.
VD 42. Cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1; 2) là hình chiếu vuông góc của A xuống BD, điểm là trung điểm của BC. Trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH là (d): 4x + y – 4 = 0. 
Viết phương trình BC.
VD 43. Cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác trong của góc đi qua trung điểm M của AD, BM: x-y+2=0. D nằm trên d: x+y-9=0. 
 Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết xB<0 và E(-1;2) thuộc AB.
VD 44. Cho hình chữ nhật ABCD có Tìm tọa độ A, B biết 
VD 45. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC, H là hình chiếu A lên BD, E, F lần lượt là trung điểm của CD và BH. A(1;1), EF: 3x-y-10=0, yE<0. Tìm tọa độ B, C, D. 
VD 46. Cho hình thang với hai đáy làvà biết . Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang để , tam giác có diện tích bằng 12, điểm có hoành độ dương và điểmcó hoành độ âm.
VD 47. Cho hình thang cân ABCD đáy AD, BC, AB=BC, AD=7, AC: x-3y-3=0, M(-2;-5) thuộc AD. B(1;1). Viết phương trình CD.
VD 48. Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm của CD và BN: 13x – 10y + 13 = 0, điểm M(-1; 2) thuộc đoạn AC sao cho AC = 4AM. Gọi H là điểm đối xứng của N qua C. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành, biết rằng 3CA = 2AB và điểm H thuộc đường thẳng : 2x – 3y = 0.
VD 49. Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD = 3AB, C(–3; –3), trung điểm của AD là M(3; 1). Tìm tọa độ đỉnh B biết SBCD = 18, AB = và đỉnh D có hoành độ nguyên dương.
VD 50. Cho đường tròn (C) tâm I ( ). (C) qua A(-2;3) và tiếp xúc với tại B, (C) cắt tại C, D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD, BC. 
 Tìm tọa độ B, C, D biết . 
VD 51. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn và CB = CD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = AB. BC: x – 3y + 13 = 0; AC: x – y – 1 = 0. 
 Tìm toạ độ A, B biết x A < 3 và E(14; 1).
VD 52. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, biết , điểm B thuộc đường thẳng . Điểm M trên cạnh AB thỏa mãn BM = 2AM và CM vuông góc với DM. Điểm là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng CD. Tìm tọa độ các điểm B, C, D.
VD 53. Cho đường tròn (C) tâm I , (C) qua A(-2;3) và tiếp xúc tại B. (C) cắt tại C, D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD, BC, . 
Tìm tọa độ B, C, D. 
VD 54. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường kính AC. M(3;-1) là trung điểm của BD, C(4;-2). 
N(-1;-3) nằm trên đường thẳng qua B và vuông góc với AD. AD qua P(1;3). 
Tìm tọa độ A, B, D. 
VD 55. Cho hình bình hành ABCD có . Gọi hình chiếu của D lên AB, BC lần lượt là M(-2;-1), N(2;-1), AC: x-7y=0. Tìm tọa độ A, C.