Tóm tắt Giải tích 12

Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 1 
TĨM TẮT GIẢI TÍCH 12 
@. 
1. phƣơng trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì 
ax
2
+bx+c = a(x-x1)(x-x2); =b
2
-4ac (’=b’2-ac với b’=b/2) 
Thì 







 



a
b
x
a
b
x
2
''
2
2,12,1
nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0 thì x1=1; x2= -c/a; 
S=x1+x2= - b/a ; P=x1.x2= c/a (đl Vieet) 
2. tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c 
+ <0 thì f(x) cùng dấu a + 0)(21   afxx 
+ 






0
0
0)(
a
xf +






0
0
0)(
a
xf 
+ 











0
2
0)(
0
21


S
afxx +











0
2
0)(
0
21


S
afxx
3. phƣơng trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0 
nếu a+b+c+d=0 thì x1=1; 
nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner 
ax
3
+bx
2
+cx+d=(x-1)(ax
2
 + x + ) = 0 
với =a+b ; =+c 
4. các cơng thức về lƣợng giác, cấp số và lơgarit: 
);2cos1(
2
1
cos
 );
2
cos(sin- );
2
sin(cos
2 xx
xxxx



)2cos1(
2
1
sin 2 xx  ; 1+tg2x=
x2cos
1
x
x
2
2
sin
1
cotg1  
cấp số cộng:  a,b,c, d = c – b = b – a 
cấp số nhân: a,b,c, 
a
b
b
c
q  
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 2 
I. ĐẠO HÀM 
1. Qui Tắc: 
 (u  v)’ = u’  v’ ; (u.v)’ = u’v + v’u 
2
'
v
u'vv'u
v
u 






 (ku)’ = ku’ (k:const) 
2. Cơng thức: 
(x
n)’ = nxn-1 (un)’ = nun-1u’ 
2
'
x
1
x
1






 2
'
u
'u
u
1






 
x2
1
x
'
  
u2
'u
u
'
 
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu 
(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu 
(tgx)’ = 
xcos
1
2
(tgu)’ = 
ucos
'u
2 
(cotgx)’ = 
xsin
1
2
 (cotgu)’ = 
usin
'u
2
 
 (e
x)’ = ex (eu)’ = u’eu 
 (a
x)’ = ax.lna (au)’ = u’au.lna 
(lnx)’ = 
x
1
 (lnu)’ = 
u
'u
 (logax)’ = 
alnx
1
 (logau)’ = 
alnu
'u
II. KHẢO SÁT HÀM SỐ: 
1. Hàm bậc ba : y = ax3+bx2+cx+d: 
 Miền xác định D=R 
 Tính y’= 3ax2+2bx+c 
 y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc khơng (nếu cĩ) 
 tính y’’ tìm 1 điểm uốn 
 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (2điểm) 
 đồ thị (đt)\ 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 3 
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: 
- để hs tăng trên D






0
0
0'
'y
a
y 
- để hs giảm trên D






0
0
0'
'y
a
y 
- để hs cĩ cực trị trên D y’=0 cĩ 2 n0 pb 
- để hs khơng cĩ cực trị y’=0 VN hoặc cĩ nghiệm kép 
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị 
- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá 
trị cực trị là: yi=mxi+n 
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu. 
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau  ax3+bx2+cx+d=0 cĩ 3 nghiệm lập thành csc  
y’=0 cĩ 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox. 
2. Hàm trùng phƣơng : y = ax4+bx2+c: 
 Miền xác định D=R 
 Tính y’ 
 y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị 
 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (2điểm) 
 đồ thị 
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phƣơng: 
- đt nhận oy làm trục đối xứng. 
- để hs cĩ 3 (hoặc 1) cực trị trên D  y’=0 cĩ 3 n0 pb (hoặc 1 n0) 
- để hs cĩ điểm uốn  y’’=0 cĩ 2 n0 pb 
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb  >0 ; P>0 ; S>0. 
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc  >0 ; P>0 ; S>0 ; x2 = 9x1 và sử dụng đlý 
Vieet. 
3. Hàm nhất biến 
dcx
bax
y


 
 Miền xác định D=R\ cd 
 Tính 
 2
'
dcx
bcad
y


 (>0, <0) 
 TCĐ 
c
dx  vì 0lim 

y
c
dx
 TCN c
ay  vì c
ay
x


lim 
 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (4điểm) 
 đồ thị 
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng 
4. Hàm hữu tỷ 
edx
x
edx
cbxax
y







2
 chia bằng Hoocner 
 Miền xác định D=R\ de 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 4 
 Tính y’=
   2
2
2
.
edx
pnxmx
edx
d






 
 y' = 0 tìm 2cực trị hoặc khơng cĩ. 
 TCĐ 
d
e
x  vì 0lim 

y
d
ex
 TCX   xy vì 0lim 
 edxx

 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (4điểm) 
 đồ thị 
* Một số kết quả quan trọng: 
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng 
- cĩ 2 cực trị hoặc khơng  y’= 0 cĩ 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN 
- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là 
d
bax
y ii


2
 và đĩ cũng là đt qua 2 điểm cực trị. 
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb  ax2+bx+c=0 cĩ 2 nghiệm pb 
* CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN KSHS: 
1/ Phƣơng trình tiếp tuyến: (pttt) 
@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0)  y=f(x) 
 tính: y’= 
 y’(x0)= 
 pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0 
@ Loại 2: pttt cĩ hệ số gĩc k cho trước 
 ta cĩ: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đĩ ta cĩ pttt là: y = k(x-
x0)+y0 
 pttt // y=ax+b cĩ hệ số gĩc k = a 
 pttt y=ax+b cĩ hệ số gĩc k = -1/a. 
@ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x) 
ptđt d qua M cĩ hệ số gĩc k là: y = k(x-x0)+y0 
để d là tt thì hệ sau cĩ nghiệm: 





(2) 
(1) 
kxf
yxxkxf
)('
)()( 00
 thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay 
vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên. 
2/ Giao điểm của 2 đƣờng: Cho y=f(x) và y = g(x) 
+ ptrình hồnh độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là cĩ mấy giao điểm. 
 + bài tốn ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m) 
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đĩ biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị. 
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta cĩ: 





(x) ')('
)()(
gxf
xgxf
từ đĩ tìm điểm tiếp xúc x 
3/ đơn điệu: cho y = f(x) ; đặt g(x) = y’ 
a/ g(x) = ax
2
+bx+c  0 trong (,+)  a>0 ; 
a
b
2
 ; g()0. 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 5 
b/ g(x) = ax
2
+bx+c  0 trong (,+)  a<0 ; 
a
b
2
; g()0. 
c/ g(x) = ax
2
+bx+c  0 trong (,)  ag()0 ; ag()0 
{áp dụng cho dạng cĩ m2} 
d/ trong g(x) cĩ chứa m biến đổi về dạng 
m > h(x) (hoặc m giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x)) 
e/ đối với hàm cĩ mxđ D=R\{x0} thì 
 tăng trên (,+) y’0 ; x0 
 giảm trên (,+) y’0 ; x0 
4. Cực trị: 
 * y = f(x) cĩ cực trị  y’= 0 cĩ nghiệm và đổi dấu qua điểm đĩ.(y’=0;y”0) 
* y=f(x) cĩ cực đại tại x0 
 
 




0''
0'
0
0
xy
xy
* y=f(x) cĩ cực tiểu tại x0
 
 




0''
0'
0
0
xy
xy
1. T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d 
 Tập xác định D = R 
 Tính y/ 
Để hàm số cĩ cực trị thì y/ = 0 cĩ hai n 0 pb 






0
0a
2. T.Hợp 2: Hàm số 
//
2
bxa
cbxax
y


 
 Tập xác định 







/
/
\
a
b
RD 
 Tính 
 2//
/
)(
bxa
xg
y

 
Để hàm số cĩ cực đại và cực tiểu thì y/ = 0 cĩ hai nghiệm pb thuộc D 








0)(
0
/
/
/
a
b
g
g
5. GTLN, GTNN: 
 a. Trên (a,b) Tính y’ 
 Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) 
 KL: 
 ;
max CD
a b
y y , 
 ;
min CT
a b
y y 
b. Trên [a;b] Tính y’ 
 Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm  0 ;x a b 
 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) 
 Chọn số lớn nhất M KL:  ;
max
a b
y M 
 Chọn số nhỏ nhất m , KL:
 ;
min
a b
y m 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 6 
III. Hàm số m và logarit: 
1. Cơng thức l y thừa: 
 Với a>0, b>0; m, nR ta cĩ: 
 a
n
a
m 
=a
n+m
 ; 
mn
m
n
a
a
a  ; (
na
1
=a
m
 ; a
0
=1 ; a
1
=
a
1
) ; (a
n
)
m 
=a
nm 
 (ab)
n
=a
n
b
n 
; m
nn
b
a
b
a






 ; 
n mn
m
aa  . 
2. Cơng thức logarit: logab = ca
c
=b ( 00) 
 Với 00 ; R ta cĩ: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; 
 loga
2
1
x
x = logax1logax2; 
 xa
xa log ; logax

= logax ; xx aa log
1
log

  ; (logaa
x
=x); 
 logax=
a
x
b
b
log
log
; (logab= ablog
1
) ; logba.logax=logbx ; a
log
b
x
=x
log
b
a
. 
3. Phƣơng trình m - lơgarít : 
 * Dạng ax= b ( a> 0 , 0a  ) 
b 0 : pt vơ nghiệm 
 b>0 : log
x
aa b x b   
* Đưa về cùng cơ số: Af(x) = Bg(x)  f(x) = g(x) 
* Đặt ẩn phụ; logarit hĩa 
* Dạng loga x b ( a> 0 , 0a  ) 
Điều kiện : x > 0 ; log
b
a x b x a   
 logaf(x) = logag(x)  f(x) = g(x) 
 Đặt ẩn phụ; mũ hĩa 
 4. Bất PT m – logarit: 
 * Dạng ax > b ( a> 0 , 0a  ) ; b 0 : Bpt cĩ tập nghiệm R 
 b>0 : log
x
aa b x b   , khi a>1 
 log
x
aa b x b   , khi 0 < a < 1 
* Đặt ẩn phụ; logarit hĩa 
* Dạng loga x b ( a> 0 , 0a  , x>0 ) 
log ba x b x a   , khi a >1 
 log
b
a x b x a   , khi 0 < x < 1 
 Đặt ẩn phụ; mũ hĩa 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 7 
VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: 
 Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b) 
  F    xfx / ,  bax ; 
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp 
  cxdx.1   ctgxdx
xCos
.
1
2 
 1
1
.
1





c
x
dxx   cCotgxdx
xSin
2
1
. 
  cxdx
x
ln.
1
   cedxe
xx
. 
  cSinxdxCosx. 
  c
a
a
dxa
x
x
ln
. 
  cCosxdxSinx. 
Nguyên hàm các hàm số thƣờng gặp: 
 
 
 



c
bax
a
dxbax
1
1
.
1

  
  
cbaxtg
a
dx
baxCos
.
1
.
1
2
 
cbax
a
dx
bax
ln.
1
.
1
  
  
cbaxCotg
a
dx
baxSin
.
1
.
1
2
     cbaxSin
a
dxbaxCos .
1
.  

ce
a
dxe
baxbax
.
1
. 
     cbaxCos
a
dxbaxSin .
1
.
 


c
a
a
m
dxa
nmx
nmx
ln
.
1
. 
Các phƣơng pháp tính tích phân: Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc 
hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức. 
Phƣơng pháp đổi biến số :        
b
a
xdxxfA ..
/
 P.Pháp: Đặt : t =  x     xdxdt ./ 
 Đổi cận: 
 
 




atax
btbx
Do đĩ:       
 
 
 





b
a
b
a
tFdttfA . 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 8 
Các dạng đặc biệt cơ bản: 
1.  

a
xa
dx
I
0
22
 P.Pháp: Đặt: tgtax . 




 



22
t  dtttgadt
tCos
a
dx .1.
2
2
 
 Đổi cận: 
 2. Tính dxxaJ
a
.
0
22
  
P.Pháp: Đặt 




 



22
int. tSax dtCostadx .. 
 Đổi cận 
Phƣơng pháp tính tích phân từng phần 
Loại 1: Cĩ dạng: A= dx
Cosx
Sinx
e
xP
b
a
x
.).(










 Trong đĩ P(x)là hàm đa thức 
 Phƣơng pháp: Đặt u = P(x)  du = P(x).dx 
 dv = 















Cosx
Sinx
e x
.dx  v = ... 
 Áp dụng cơng thức tích phân từng phần A =   
b
a
b
a
duvvu .. 
 Loại 2: B =  
b
a
dxbaxLnxP ).().( 
 Phƣơng pháp: 
Đặt u = Ln(ax+b)  dx
bax
a
du .

 
 dv = P(x).dx  v = ... 
 Áp dụng: B =   
b
a
b
a
duvvu .. 
Dạng : 
 dxxSinA
n
. Hay  dxxCosB
n
. 
1. Nếu n chẵn: 
 Áp dụng cơng thức 
2
21
2
aCos
aSin

 ; 
2
21
2
aCos
aCos

 
2. Nếu n lẻ: 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 9 
 
 dxSinxxSinA n ..1 
 Đặt Cosxt  (Đổi x
n 1
sin

 thành Cosx ) 
Dạng :  dxxtgA
m
. Hay  dxxCotgB
m
. 
 PP:Đặt 
2
tg làm thừa số 
 Thay 1
1
2
2 
xCos
tg 
IV. Diện tích hình phẳng: 
1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi(c): y = f(x) và hai đƣờng x = a; x = b: 
 DTHP cần tìm là: dxxfS
b
a
.)( (a < b) 
 Hồnh độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 
Nếu p.trình f(x) = 0 vơ nghiệm Hoặc cĩ nghiệm khơng thuộc đoạn  ba; thì: 

b
a
dxxfS ).( 
Nếu p.trình f(x) = 0 cĩ nghiệm thuộc đoạn  ba; . Giả sử x =  , x = thì 
 dxxfdxxfdxxfS
b
a
.)(.)(.)( 




 



a
dxxfS ).( + 


dxxf ).( + 

b
dxxf ).( 
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y =f(x) và trục hồnh: 
 P.Pháp: 
 HĐGĐ của (c) và trục hồnh là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 






bx
ax 
  
b
a
b
a
dxxfdxxfS ).(.)( 
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đƣờng (c 1 ): y = f(x) và(c 2 ): y = g(x) và hai đƣờng x = a; x 
= b: 
P.Pháp 
 DTHP cần tìm là: dxxgxfS
b
a
.)()(  
 HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0 
Lập luận giống phần số 1 
V. Thể tích vật thể: 
1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn  ba; . Khi (H) quay 
quanh trục ox tạo ra vật thể cĩ thể tích:   dxxfV
b
a
.)(.
2
 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 10 
2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn  ba; . Khi (H) quay 
quanh trục oy tạo ra vật thể cĩ thể tích: 
  dyygV
b
a
.)(.
2
 . 
....................................................................................................................................................................... 
IV. SỐ PHỨC: 
 Số i : i2 = -1 
 Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR 
 Modun của số phức : 
2 2z a b  
 Số phức liên hợp của z = a + bi là z a bi  '.'.;''; zzzzzzzzzz  ; 
z z
z z
  
 
 
0z  với mọi z , 0 0z z   . 
z z ; zz z z  ; zz
z z

 ; z z z z    
 z là số thực zz  ; z là số ảo zz  
 a+ bi = c + di 
a c
b d

 

 (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i 
 (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i 
 (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i 
 
  
2 2
a bi c dia bi
c di c d
 

 
 Ta cĩ: 
1 2 3 4, 1, , 1i i i i i i      . 
4 4 1 4 2 4 31, , 1,n n n ni i i i i i        . 
  
2
1 2i i  ;  
2
1 2i i   . 
Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a 
Xét phƣơng trình bậc hai : 
ax
2
 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; , ,a b c R ) Đặt 2 4b ac   
o Nếu  = 0 thì phương trình cĩ một nghiệm kép(thực) : x = 
2
b
a

o Nếu  > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực : 
1,2
2
b
x
a
  
 
o Nếu  < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức : 
1,2
2
b i
x
a
  
 
 Định lý Viet : 
Nếu phương trình bậc hai 
2 0az bz c   ( , , , 0a b c a  ) 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 11 
cĩ hai nghiệm 
1 2,z z thì : 1 2
b
z z
a
   và 1 2
c
z z
a
 . 
 Định lý đảo của định lý Viet : 
 Nếu hai số 1 2,z z cĩ tổng 1 2z z S  và 1 2z z P thì 1 2,z z là nghiệm của phương trình 
:
2 0z Sz P   . 
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 
HÌNH HỌC 12 
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12 
I. TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUƠNG 
. sin = 
AB
BC
 (ĐỐI chia HUYỀN) . tan = 
AB
AC
 (ĐỐI chia KỀ) 
 cos = 
AC
BC
 (KỀ chia HUYỀN) 
 . cot = 
AC
AB
 (KỀ chia ĐỐI) 
II. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG 
 1. BC
2
 = AB
2
 + AC
2 (Định lí Pitago) 
=>AB
2
 = BC
2
 - AC
2
2. AB
2
 = BH.BC 
3. AC
2
 = CH.BC 4. AH
2
 = BH.CH 
 5. AB.AC = BC.AH 
6. 
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
  
III. ĐỊNH LÍ CƠSIN 
1. a
2
 = b
2
 + c
2
 – 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC 
IV. ĐỊNH LÍ SIN 
a b c
2R
sin A sin B sinC
   
V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC 
a) 
AM AN MN
AB AC BC
  ; b) 
AM AN
MB NC
 
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 
1. Tam giác thường: 
a) S = 
1
ah
2
 b) S = p(p a)(p b)(p c)   (Cơng thức Hê-rơng) 
c) S = pr (r: bk đ.trịn nội tiếp tam giác) 
NM
CB
A

H
CB
A
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 12 
2. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = 
a 3
2
; b) S = 
2a 3
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 
3. Tam giác vuơng: a) S = 
1
2
ab (a, b là 2 cạnh gĩc vuơng) 
b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 
4. Tam giác vuơng cân (nửa hình vuơng): 
a) S = 
1
2
a
2
 (2 cạnh gĩc vuơng bằng nhau) 
b) Cạnh huyền bằng a 2 
5. Nửa tam giác đều: 
a) Là tam giác vuơng cĩ một gĩc bằng 30o hoặc 60o 
b) BC = 2AB c) AC = 
a 3
2
 d) S = 
2a 3
8
6. Tam giác cân: 
a) S = 
1
ah
2
(h: đường cao; a: cạnh đáy) 
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 
8. Hình thoi: S = 
1
2
d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 
 9. Hình vuơng: a) S = a
2
 b) Đường chéo bằng a 2 
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 
11. Đường trịn: a) C = 2R (R: bán kính đường trịn) 
 b) S = R2 (R: bán kính đường trịn) 
VII. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC 
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác 
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm 
b) * BG = 
2
3
BN; * BG = 2GN; * GN = 
1
3
BN 
2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường trịn ngoại tiếp tam 
giác 
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường trịn nội tiếp tam 
giác 
VIII. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 
60o 30o
CB
A
G
P
NM
CB
A
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 13 
1. Hình tứ diện đều: Cĩ 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau. 
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy). 
Các cạnh bên tạo với mặt đáy các gĩc bằng nhau 
2. Hình chĩp đều: Cĩ đáy là đa giác đều .Cĩ các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân 
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các gĩc bằng nhau 
3. Đường thẳng d vuơng gĩc với mp( ): a) Đt d vuơng gĩc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp( ) 
Tức là: 
d a; d b
a b
a,b
 


  
d  ( ) 
b) 
( ) ( )
( ) ( ) a
a d ( )
  

   
   
 d  ( ) 
c) Đt d vuơng gĩc với mp( ) thì d vuơng gĩc với mọi đt nằm trong mp( ) 
4. Gĩc  giữa đt d và mp( ): d cắt ( ) tại O và Ad 
 Nếu 
AH ( )
H ( )
 

 
 thì gĩc giữa d và ( ) là  hay ˆAOH =  
5. Gĩc giữa 2 mp( ) và mp( ): 
Nếu 
( ) ( ) AB
FM AB;EM AB
EM ( ),FM ( )
   

 
    
thì gĩc giữa ( ) và ( ) là  hay ˆEMF =  
6. Khoảng cách từ điểm A đến mp( ): 
 Nếu AH  ( ) thì d(A, ( )) = AH (với H ( )) 
IX. KHỐI ĐA DIỆN: 
1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) 
2. Thể tích khối chĩp: V = 
1
Bh
3
 (diện tích đáy là đa giác) 
3. Tỉ số thể tích của khối chĩp: S.A B C
S.ABC
V SA SB SC
. .
V SA SB SC
  
  
 
4. Diện tích xq của hình nĩn trịn xoay: Sxq = Rl (R: bk đƣờng trịn; l: đƣờng sinh 
5. Thể tích của khối nĩn trịn xoay: V = 
1
Bh
3
 (diện tích đáy là đƣờng trịn) 
 O
H
A
d'
d

Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 14 
6. Diện tích xq của hình trụ trịn xoay: 
 Sxq = 2 Rl (R: bk đƣờng trịn; l: đƣờng sinh) 
7. Thể tích của khối trụ trịn xoay: V = Bh = 
2R h ( h: chiều cao khối trụ) 
8. Diện tích của mặt cầu: S = 4
2R (R: bk mặt cầu ) 
9. Thể tích của khối nĩn trịn xoay: 
 V = 
34 R
3
 (R: bán kính mặt cầu) 
PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN 
I. CƠNG THỨC VECTƠ: 
. Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho 
  321 ;; aaaa 

  
321
;; bbbb 

 và Rk 
 Ta cĩ: 
1)  332211 ;; babababa 

2)  
321
;; kakakaak 

3) 332211. babababa 

4) 
2
3
2
2
2
1
aaaa 

5) Tích cĩ hướng của hai vectơ a

 và b

 là 
   







21
21
13
13
32
32
;;,
bb
aa
bb
aa
bb
aa
ba

6)    baSinbaba

,..,  
7) 









33
22
11
ba
ba
ba
ba

8) a

 cùng phương b

   0,

 ba 
9)  baa

, hay  bab

, 
10) a

, b

, c

 đồng phẳng   0.,  cba 

11) 0332211  babababa

 Ứng dụng của vectơ: 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 15 
  ACABS
ABC
,.
2
1
 
   /
.
.,
////
AAADABV
DCBAHộpABCD
 
  ADACABV
CDTứdiệnAB
.,.
6
1
 
II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM: 
Trog khơng gian Oxyz cho  
AAA
zyxA ;; ;  
BBB
zyxB ;; 
1)  
ABABAB
zzyyxxAB  ;; 
2)      222
ABABAB
zzyyxxAB  
3) G là trọng tâm ABC , ta cĩ: 















3
3
3
CBA
G
CBA
G
CBA
G
zzz
z
yyy
y
xxx
x
4) G là trọng tâm tứ diện ABCD 0

 GDGCGBGA 
  















4
4
4
DCBA
G
DCBA
G
DCBA
G
zzzz
z
yyyy
y
Xxxx
x
5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta cĩ: 


















k
kzz
z
k
kyy
y
k
kxx
x
BA
M
BA
M
BA
M
1
1
1
 , 1k 
6) I là trung điểm của đoạn AB thì: 















2
2
2
2
zz
z
yy
y
xx
x
A
I
BA
I
BA
I
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 16 
III. MẶT PHẲNG: 
1) Giả sử mp   cĩ cặp VTCP là :  
321
;; aaaa 

 ;  
321
;; bbbb 

Nên cĩ VTPT là: n

  







21
21
13
13
32
32
;;,
bb
aa
bb
aa
bb
aa
ba

2) Phƣơng trình tổng quát của mp   cĩ dạng: Ax + By + Cz + D = 0 
 Với 0
222  CBA ; trong đĩ  CBAn ;;

là VTPT của mp   
3) Phƣơng trình các mặt phẳng toạ độ: 
 (Oxy) : z = 0 ; (Ozy) : x = 0 
 (Oxz) : y = 0 
4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau: 
   0:
11111
 DzCyBxA 
   0:
22222
 DzCyBxA 
P.tr của chùm mp xác định bởi  1 và  2 là: 
    0
22221111
 DzCyBxADzCyBxA 
 với 0
22  
5. Các vấn đề viết phƣơng trình mặt phẳng: 
 Vấn Đề 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng 
 Tìm VTPT  CBAn ;;

 và điểm đi qua  0000 ;; zyxM 
 dạng:       0
000
 zzCyyBxxA 
 Vấn Đề 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C 
 Tính ACAB, 
 Mp (ABC) cĩ VTPT là  ACABn , và qua A 
 Kết luận. 
 Vấn Đề 3: Viết phƣơng trình mp   đi qua điểm A và vuơng gĩc BC 
 Mp    BC. Nên cĩ VTPT là BC qua A 
Chú ý: 
 Trục Ox chứa  0;0;1i

 Trục Oy chứa  0;1;0j

 Trục Oz chứa  1;0;0k

 Vấn Đề 4: Viết phƣơng tình mp   là mặt phẳng trung trực của AB. 
 Mp    AB. Nên cĩ VTPT là AB đi qua I là trung điểm của AB 
 Kết luận. 
 Vấn Đề 5: Viết phương tình mp   đi qua điểm  
0000
;; zyxM và song song với mặt 
phẳng   0:  DCzByAx 
     // . Nên phương trình   cĩ dạng: Ax + By + Cz + D / = 0 
   /
0
DM  
 Kết luận 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 17 
Vấn Đề 6: Viết phƣơng trình mp (P) đi qua hai điểm A, B và vuơng gĩc với mp (Q) 
 Mp (P) cĩ cặp VTCP là: AB và VTPT của (Q) là Qn

 Mp (P) cĩ VTPT là  
Q
nABn

, và qua A 
 Kết luận. 
Vấn Đề 7: Viết phƣơng trình mp   đi qua các điểm là hình chiếu của điểm  
000
;; zyxM 
trên các trục toạ độ. 
P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì M1(x0;0;0) , 
M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0) 
* Phương trình mp   là: 1
00

z
z
y
y
x
x
Vấn Đề 8: Viết phƣơng trình mp   đi qua điểm M0 và vuơng gĩc với hai mặt phẳng (P) và (Q). 
 (P) cĩ VTPT là Pn

 (Q) cĩ VTPT là Qn

 Mp   cĩ VTPT là  QP nn

, và qua Mo 
 Kết luận. 
Vấn Đề 9: Viết phƣơng trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A. 
 Xác định tâm I của mặt cầu (S) 
 Mặt phẳng   : Mp tiếp diện cĩ VTPT : IA 
 Viết phương trình tổng quát. 
IV. ĐƢỜNG THẲNG: 
 Phƣơng trình đƣờng thẳng: 
1) Phƣơng trình tổng quát của đường thẳng: 





0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
 với A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 
2) Phƣơng trình tham số của đường thẳng đi qua điểm  
0000
;; zyxM cĩ VTCP 
 
321
;; aaaa

 là: 








tazz
tayy
taxx
30
20
10
  Rt 
3) Phƣơng trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M0 cĩ VTCP:  321 ;; aaaa

 là 
3
0
2
0
1
0
a
zz
a
yy
a
xx 




 Với 0
2
3
2
2
2
1
 aaa 
 Qui ƣớc: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0 
 Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đƣờng thẳng tổng quát. :





0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
 P.Pháp:  cĩ VTCP là : 









21
11
22
11
22
11
;;
BA
BA
AC
AC
CB
CB
a

 Vấn Đề 2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  : 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 18 
 Cần biết VTCP  
321
;; aaaa 

 và điểm  
0000
;; zyxM  
 Viết phương trình tham số theo cơng thức (2) 
 Viết phương trình chính tắc theo cơng thức (3) 
 Viết phương trình tổng quát. thì từ phương trình chính tắc , ta cĩ phương trình tổng quát: 













3
0
1
0
2
0
1
0
a
zz
a
xx
a
yy
a
xx
 Rút gọn về dạng (1) 
 Chú ý: Viết phương trình tổng quát về phương trình tham số Hoặc chính tắc. Ta tìm: 
- VTCP  321 ;; aaau 

 bằng vấn đề 11 
- Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào đĩ.Giải hệ tìm x, y => z 
- Cĩ điểm thuộc đường thẳng 
- Kết luận. 
 Vấn Đề 3: Viết ptr đƣờng thẳng  đi qua điểm  
0000
;; zyxM và vuơng gĩc với mặt phẳng 
  0:  DCzByAx 
 Mp   cĩ VTPT là  CBAn ;; 
Đường thẳng  đi qua điểm M0 và cĩ VTCP là n

 Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng quát 
 Vấn Đề 4: Viết phƣơng trình hình chiếu của d trên mp   
 Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp   
 Gọi   là mặt phẳng chứa d và     
 Nên   cĩ cặp VTCP là 
 VTCP của d là du

 và n

 là VTPT của mặt phẳng   
 Mp   cĩ VTPT    nun d

, 
 Mp   đi qua điểm M0 d 
 Viết phương trình tổng quát của Mp   
 Phương trình đường thẳng d/: 
 
 




:
:
  Vấn Đề 5: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm  
0000
;; zyxM và vuơng gĩc với hai đƣờng 
1
 
và 
2
 
 1 cĩ VTCP 1u

 2 cĩ VTCP 2u

 d vuơng gĩc với 1 và 2 . Nên d cĩ VTCP là  21 ,uuud

 
 Vấn Đề 6: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt cả hai đƣờng 
1
 và 
2
 . 
 Thay toạ độ A vào phương trình 
1
 và 
2
 
21
,  AA 
 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 
1
 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 19 
 Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 
2
 
 P.tr đường thẳng d: 
 
 


:
:
Q
P
 Vấn Đề 7: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d  P cắt cả hai đƣờng 1 và 2 . 
 Gọi  PA 
1
 Gọi  PB 
2
 Đường thẳng chính là đường thẳng AB 
 Vấn Đề 8: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d // d1 và cắt cả hai đƣờng 1 và 2 . 
 Gọi (P) là mặt phẳng chứa 
1
 và (P) // d1 
 Gọi (Q) là mặt phẳng chứa 
2
 và (Q) // d1 
    QPd  
 Phương trình đường thẳng d 
 
 


:
:
Q
P
 Vấn Đề 9: Viết phƣơng trình đƣờng vuơng gĩc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau 
1
 và 
2
 . 
 Gọi 1u

 và 2u

lần lượt là VTCP của 1 và 2 
 Gọi  21 ,uuv

 
 Gọi (P) là mặt phẳng chứa 1 và cĩ một VTCP là v

. Nên cĩ VTPT là  vun
P

,
1
  phương 
trình mặt phẳng (P) 
 Gọi (Q) là mặt phẳng chứa 2 và cĩ một VTCP là v

. Nên cĩ VTPT là  vunQ

,
2
  
phương trình mặt phẳng (Q) 
 Phương trình đường vuơng gĩc chung của 1 và 2 : 
 
 


:
:
Q
P
 Vấn Đề 10: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d vuơng gĩc (P) và cắt hai đƣờng thẳng 
1
 và 
2
 
 Gọi   là mặt phẳng chứa 
1
 và cĩ một VTCP là Pn ( VTPT của (P) ) 
 Gọi   là mặt phẳng chứa 
2
 và cĩ một VTCP là Pn ( VTPT của (P) ) 
 Đường thẳng    d 
 Vấn Đề 11: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm M0 vuơng gĩc với đƣờng thẳng 1 và 
cắt đƣờng thẳng 2 
 Gọi   là mặt phẳng đi qua M0 và vuơng gĩc 1 
 Gọi   là mặt phẳng đi qua điểm M0 và chứa 2 
 Đường thẳng    d 
 Vấn Đề 12: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua giao điểm của đƣờng thẳng  và mặt 
phẳng   và    dd , 
P.Pháp: 
 Gọi    A 
 Gọi   là mặt phẳng đi qua A và vuơng gĩc với  . Nên   cĩ VTPT là VTCP của  
Đường thẳng    d 
Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng 
 GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 20 
V. MẶT CẦU: 
1. Phƣơng trình mặt cầu (S) cĩ tâm I (a;b;c) bán kính R là: 
 (x-a)
2
 + (y-b)
2
 + (z-c)
2
 = R
2
2. Mặt cầu (S) cĩ phƣơngtrình : 
 x
2 
 + y
2
 + z
2
 - 2ax - 2by -2cz + d = 0 với đk a2 + b2 + c2 –d > 0 
thì (S) cĩ : Tâm I(a ; b ; c) 
 Bán kính dcbaR 
222
 Vấn Đề 1: Viết phƣơng trình mặt cầu 
P.Pháp: Cần: 
 Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu 
 Bán kính R 
 Viết phương trình mặt cầu 
 (x-a)
2
 + (y-b)
2
 + (z-c)
2