Đề minh họa kỳ thi quốc gia 2015 – môn toán

ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MễN TOÁN 
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ 
Cõu 1: (2điểm) Cho hàm số 
1 
1 2 
+ 
- = 
x 
x 
y 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho. 
b) Xỏc định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng  (D) : y = x – 1 
Cõu 2: (1điểm) 
a)  Giải phương trỡnh : ( ) ( ) 3 cos2 ư sin cos 2sin 1 0 x x x x + + =  . 
b)  Tỡm phần thực, phần ảo của cỏc số phức z, biết: 
ợ 
ớ 
ỡ 
= 
= + 
. 13 
. 10 
z 
z z 
Cõu 3: (0,5điểm) Giải phương trỡnh  0 1 5 . 26 5  2 2 2 = + - - -  x x 
Cõu 4: (1điểm) Giải hệ phương trỡnh : 
3 2 
2 
1 3 ( 1) 1 
5 5 
ỡ - + + = + + + - + ù 
ớ 
+ - = ù ợ 
y x y x y x xy y 
y y x 
Cõu 5: (1điểm) Tớnh cỏc tớch phõn: ũ = 
2 
0 
3  . sin . 2 sin 
p 
dx x x I 
Cõu 6: (1điểm) Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật,  biết AB = 2a , AD = a . Trờn cạnh 
AB lấy điểm M sao cho 
2 
a 
AM =  , cạnh AC cắt MD tại  H . Biết SH vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) và 
SH = a . Tớnh thể tớch khối chúp S. HCD và tớnh khoảng cỏch  giữa hai đường thẳng  SD và AC theo a. 
Cõu 7: (1điểm) Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB // CD, CD = 2AB. Gọi I là giao điểm của hai 
đường chộo AC và BD. Gọi M là điểm đối xứng của I qua A với 
2 17 
3 3 
M ; ổ ử ỗ ữ 
ố ứ 
. Biết phương trỡnh đường 
thẳng DC : x + y – 1= 0 và diện tớch hỡnh thang ABCD bằng 12. Viết phương trỡnh đường thẳng BC biết 
điểm C cú hoành độ dương. 
Cõu 8: (1điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): 
2 2 2  2 4 6 2 0 x y z x y z + + - + - - =  và mặt phẳng (P): x + y + z + 2015 = 0 
a) Xỏc định tọa độ tõm I và tớnh bỏn kớnh của mặt cầu (S). Viết phương trỡnh đường thẳng qua I và 
vuụng gúc với mặt phẳng (P) 
b) Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) và tiếp xỳc (S) 
Cõu 9: (0,5điểm)Cú 30 tấm thẻ được đỏnh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiờn ra 10 tấm thẻ. Tớnh xỏc 
suất để cú 5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đú chỉ cú duy nhất  1 tấm mang số 
chia hết cho 10. 
Cõu 10: (1điểm) Cho 3 số dương x, y, z thỏa món xy + yz + zx = 3xyz. 
Chứng minh rằng : 
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 
3 
4 
xy yz zx 
x y x z y z y z y x z x z x z y x y 
+ + Ê 
+ + + + + + + + + 
ưưưưưưưưưưưưư HẾTưưưưưưưưưưưư 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ đờn 
www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MễN TOÁN 
Cõu 1. 
(2,0đ) 
1. 
2 1 
1 
x 
y 
x 
- 
= 
+ 
Tập xỏc định: D = Ă \{–1}. 
x 
lim y 2 
đ±Ơ 
=  Tiệm cận ngang:  2 = y 
x 1 x 1 
lim y ; lim y 
+ - đ- đ- 
= -Ơ = +Ơ  Tiệm cận đứng:  1 - = x 
0,25 
2 ) 1 ( 
3 
' 
+ 
= 
x 
y  > 0, "xẻD 
Hàm số tăng trờn (–Ơ;–1), (–1;+Ơ) 
Hàm số khụng cú cực trị. 
0,25 
x  –Ơ  –1  +Ơ 
y’  +  + 
y 
2 
+Ơ 
–Ơ 
2 
0,25 
x ư5  ư4  ư3  ư2  ư1  1  2  3  4 
y 
ư2 
ư1 
1 
2 
3 
4 
5 
0,25 
2. Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (C) và (D) là : 
2 1 
1 
1 
x 
x 
x 
- 
= - Û 
+ 
x 2 – 2x = 0 
0,25 
Û x = 0 hay x = 2 suy ra y = ư1 hay y = 1  0,5 
Vậy tọa độ giao đểm là (0; ư1) hay (2; 1)  0,25 
Cõu 2  1. Giải phương trỡnh: ( ) ( ) 3 cos2 ư sin cos 2sin 1 0 x x x x + + =
(1,0đ)  sin 2 3 cos 2 3 sin cos 
1 3 3 1 
sin 2 cos 2 sin cos 
2 2 2 2 
x x x x 
x x x x 
Û + = - 
Û + = - 
sin 2 cos cos 2 sin sin cos cos sin 
3 3 6 6 
x x x x p p p p Û + = - 
sin(2 ) sin( ) 
3 6 
x x p p Û + = -  0,25 
2 2 
3 6  ( ) 
2 ( ) 2 
3 6 
x x k 
k 
x x k 
p p p 
p p p p 
ộ + = - + ờ 
Û ẻ ờ 
ờ + = - - + ờ ở 
 
2 
2  ( ) 
5 2 
18 3 
x k 
k 
k 
x 
p p 
p p 
ộ = - + ờ 
Û ẻ ờ 
ờ = + 
ờ ở 
 
0,25 
2. Tỡm phần thực, phần ảo của cỏc số phức z, biết: 
ợ 
ớ 
ỡ 
= 
= + 
. 13 
. 10 
z 
z z 
Giả sử z = x + yi => z = x– yi.   (x, yẻIR) 
Theo đề bài ta cú : 
ù ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
= + 
= 
. 13 
. 10 2 
2 2  y x 
x 
. 
0,25 
Û 
ợ 
ớ 
ỡ 
± = 
= 
12 
5 
y 
x 
.  0,25 
Cõu 3 
(0,5đ) 
Giải phương trỡnh  0 1 5 . 26 5  2 2 2 = + - - -  x x 
Đặt t = 5 x >0.  Pt  t 2 –26t + 25 = 0  ờ 
ở 
ộ 
= 
= 
25 
1 
t 
t 
0,25 
 ờ 
ở 
ộ 
= 
= 
2 
0 
x 
x 
.  0,25 
Cõu 4 
(1,0đ)  Giải hệ phương trỡnh : 
3 2 
2 
1 3 ( 1) 1 
5 5 
ỡ - + + = + + + - + ù 
ớ 
+ - = ù ợ 
y x y x y x xy y 
y y x 
0
Điều kiện : 
0 
1 
> ỡ 
ớ + ³ - ợ 
y 
x y 
( vỡ y=0 khụng thỏa hpt) 
(1)  2 
( 1) 
( 1)( 1) 3 ( 1)( 1) 
1 
- + 
Û = + - + + + + - 
+ + + 
x 
x x x y x x y 
y x y 
2 2  1 ( 1)[ 3 3 3 1 ]
1 
Û + - + + - + + 
+ + + 
x x x xy y y 
y x y 
2 2  1 ( 1)[ (3 1) 3 3 1 ]  (3) 
1 
Û + + - + - + + 
+ + + 
x x y x y y 
y x y 
0,25 
0,25 
Xột A = x 2 + (3y – 1 )x + 3y 2 – 3y + 1 
D = ư3(y ư 1) 2  0 Ê " ẻ x R  =>  0  , ³ " ẻ A x y R 
(3) Û  x = ư1 
0,25 
Thay x = ư1 vào (2)  ta cú  :  2  5 5 + + = y y 
1 17 
2 
1 17 
( ) 
2 
ộ - + 
= ờ 
ờ Û 
ờ - - 
= ờ ở 
y 
y l 
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ( ư 1 ; 
1 17 
2 
- + 
) 
0,25 
Cõu 5 
(1,0đ)  Tớnh cỏc tớch phõn: ũ = 
2 
0 
3  . sin . 2 sin 
p 
dx x x I 
I = ũ 
2 
0 
4  . cos . sin 2 
p 
dx x x  . 
Đặt  t=sinx => dt=cosxdx 
0,25 
▪ ũ = 
1 
0 
4 2  dt t I  .  0,25 
= 
1 
0 
5 
5 
2 
t 
= 
5 
2 
.  0,25x2
Cõu 6(1,0 
điểm) 
* Tớnh thể tớch khối chúp S.HCD: 
Hai tam giỏc vuụng AMD và DAC cú 
AM AD 1 
AD DC 2 
= =  nờn đồng dạng, 
Suy ra  ã ã ADH DCH =  , mà  ã ã ã ADH HDC 90 DHC 90 + = ị = o o 
D ADC vuụng tại D:  2 2 2 AC AD DC AC a 5 = + ị = 
Hệ thức lượng D ADC: DH.AC = DA.DC 
Suy ra: 
DC.DA 2a 
DH 
AC  5 
= = 
D DHC vuụng tại H:  2 2 
4a 
HC DC DH 
5 
= - = 
0,25 
Do đú diện tớch D HCD: 
2 
HCD 
1 4a 
S DH.HC 
2 5 
= = 
Thể tớch khối chúp SHCD: 
3 
S.HCD HCD 
1 4a 
V SH.S 
3 15 
= = 
0,25 
Tớnh khoảng cỏch giữa SD và AC: 
Dựng HE SD ^ 
Ta cú SH ^  (ABCD) nờn SH ^  AC và DH ^  AC , do đú AC ^ (SHD) 
Mà HE è  (SHD) nờn HE ^  AC 
Từ đú HE là đoạn vuụng gúc chung của SD và AC. 
nờn ( ) HE d SD;AC = 
0,25 
D SHD vuụng tại H nờn:  0,25
2 2 2 
1 1 1 2a 
HE 
3 HE SH HD 
= + ị = 
Vậy ( )  2a d SD;AC HE 
3 
= = 
Cõu 7(1,0 
điểm) 
I 
A 
D  C 
B 
M 
H 
Ta cú : tam giỏc MDC vuụng tại D 
=>(MD) : x – y + 5 = 0 
=> D(ư2; 3) 
0,25 
MD = 
8 2
3 
=> HD = 
3 
4 
MD = 2  2 
Gọi AB = a => SABCD = 
3a.2 2 
2 
= 12 => a = 2  2 
0,25 
=>DC = 4  2 
Gọi C(c; 1 –c ) => DC 2 = 2(c + 2 ) 2  => c = 2 hay c = ư6 (loại)=>C(2; ư1) 
0,25 
=>B(3; 2) 
=> (BC): 3x – y – 7 = 0 
0,25 
Cõu 8 (1,0 
điểm) 
(S):  2 2 2  2 4 6 2 0 x y z x y z + + - + - - =  và  (P): x + y + z + 2015 = 0 
a)  (S) cú tõm I(1; ư2; 3) và R = 4  0,25 
(D) qua I(1; ư2; 3) và cú VTCP u 
r 
= (1; 1; 1;) cú ptts : 
x 1 t 
y 2 t 
z 3 t 
= + ỡ 
ù = - + ớ 
ù = + ợ 
0,25 
b)  (Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = 0 (D ạ 2015) 
( ) ( ) , 4 2 4 3 d I Q D = Û = - ± 
0,25
Vậy (Q) : x + y + z  2 4 3 0 - ± =  0,25 
Cõu 9: 
(0,5điểm) 
Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong 
đú chỉ cú 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. 
Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ cú : C 10 30 cỏch chọn 
Ta phải chọn : 
5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ cú C15 
5 cỏch chọn. 
1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, cú : C 1 3 cc 
4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng khụng chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy, cú : 
C 4 12 
0.25 
Vậy xỏc suất cần tỡm là : P(A) = 
5 4 1 
15 12 3 
10 
30 
. .  99 
667 
= 
C C C 
C 
0.25 
Cõu 10 (1,0 
điểm) 
Chứng minh rằng : 
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 
3 
4 
xy yz zx 
x y x z y z y z y x z x z x z y x y 
+ + Ê 
+ + + + + + + + + 
Ta cú : xy + yz + zx = 3xyz 
1 1 1 
3 Û + + = 
x y z 
Với x >0; y > 0; z > 0 ta cú x 3 + y 3 ≥ xy(x + y) ; 
1 1 1 1 
( ) 
4 
Ê + 
+ x y x y 
;x 2 + y 2 ≥ 2xy 
0,25 
3 3 2 2 2 2 2 2 
1 1 
4 
xy xy xy 
xy(x y) x y x z y z xy(x y) (x y )z (x y )z 
ộ ự 
Ê Ê + ờ ỳ + + + + + + + + ở ỷ 
3 3 2 2 2 2 
1 1 1 1 1 
4 4 2 
xy xy 
(x y) (x y) z x y x z y z (x y )z 
ộ ự ổ ử 
ị Ê + Ê + ờ ỳ ỗ ữ + + + + + + ố ứ ở ỷ 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 
4 4 2 16 8 x y z x y z 
ộ ự ổ ử ổ ử 
Ê + + = + + ờ ỳ ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ ở ỷ 
(1) 
0,25 
Chứng minh tương tự : 
3 3 2 2 
1 1 1 1 
16 8 
yz 
y z x y z y x z x 
ổ ử 
Ê + + ỗ ữ + + + ố ứ 
(2) 
0,25
3 3 2 2 
1 1 1 1 
16 8 
zx 
z x y z x z y x y 
ổ ử Ê + + ỗ ữ + + + ố ứ 
(3) 
Cụng (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm 
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 
0,25 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ đờn 
www.laisac.page.tl