Tài liệu ôn tập môn Toán Học Lớp 11 - Phần xác suất

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. 
	Toán xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tếVì vậy lí thuyết xác suất đã được đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này.
Để có thể học tốt toán xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm và các công thức cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán về tính xác suất . Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 môn Toán ở trường THPT Đức Hợp tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu sâu sắc các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất để giải các bài tập về tính xác suất.
 Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất, các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức.Thầy đóng vai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải. Chính vì lẽ đó trong hai năm học 2010-2011 và 2011-2012 Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề này. Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em không còn lúng túng trong việc giải các bài toán xác suất, hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói chung và các bài toán xác suất nói riêng. Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao hơn trong các giờ lên lớp, trả lời thoả đáng câu hỏi “Vì sao nghĩ và làm như vậy”.
 Với mong muốn ấy Tôi chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh tiếp cận và giải bài toán xác suất ở trường THPT Đức Hợp ”. Nội dung đề tài gồm ba bài toán:
Bài 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất giải các bài toán tính xác suất.
Bài 2: Sử dụng quy tắc cộng, qui tắc nhân giải các bài toán tính xác suất.
Bài 3: Sử dụng kết hợp các quy tắc xác suất giải các bài toán tính xác suất.
 Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì thời gian có hạn, rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường. Giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến xác suất trong các kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về toán cao cấp trong những năm đầu học đại học. 
2. Mục đích yêu cầu
	-Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán về tính xác suất
 	- Hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm do ban chuyên môn trường phát động
	- Tự học, bồi dưỡng nâng cao chuyên môn nghiệp vụ.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 
 	 - Khách thể: Học sinh lớp 11 trường THPT Đức Hợp. 
	 - Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc tính xác suất, các bài toán tính xác suất. 
	 - Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình SGK môn toán lớp 11.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu. 
Hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất bằng sơ đồ tư duy
b) Hướng dẫn học sinh giải các bài toán tính xác suất . 
5.Phương pháp nghiên cứu
Kết hợp hợp lý các phương pháp dạy học tích cực 
 Đánh giá trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh. 
Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyết các bài toán. 
PHẦN II: NỘI DUNG
Bài toán 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT
1. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán xác suất có không gian mẫu được mô tả cụ thể :
Phép thử ngẫu nhiên: Là một thí nghiệm hay hành động mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Ký hiệu T
 Yêu cầu học sinh tư duy lại các kiến thức cơ bản về xác suất theo sơ đồ: 
Khái niệm: Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A phụ thuộc vào kết quả của phép thử T. Tập hợp các kết quả thuận lợi của A ký hiện là WA. Số kết quả thuận lợi của biến cố A ký hiện là n()
Không gian mẫu: Là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Ký hiệu: W. Số phần tử của không gian mẫu ký hiệu: n(W)
Xác suất
Các biến cố đặc biệt:
Biến cố không: Tập hợp f được gọi là biến cố không
Biến cố chắc chắn: Tập hợp W được gọi là biến cố chắc chắn
Biến cố
Định nghĩa cổ điển của xác suất: Gỉa sử phép thử T có không gian mẫu W là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của biến cố A là một số ký hiệu là P(A)
Xác suất của biến cố
Bài 1: Đại học Đà Nẵng 1997
Xét phép thử T: Gieo đồng thời hai con súc sắc. 
1. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.
2. Tìm xác suất để tổng số chấm trên mặt hai con súc sắc là 1 số lẻ hoặc chia hết cho 3.
Hướng dẫn học sinh: 
Xét phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’
Mô tả không gian mẫu: => n(W)=6.6=36 phần tử
1. Xét biến cố A: “Tổng số chấm tròn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.”
Tập các kết quả thuận lợi của A : 
Xác suất của biến cố A: 
2. Xét biến cố B: “Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc là 1 số lẻ hoặc chia hết cho 3.”
Bài 2:
 Một máy bay có 4 bộ phận A, B, C, D đặt liên tiếp nhau. Máy bay rơi khi có 2 viên đạn trúng vào cùng một bộ phận hoặc 2 bộ phận kề nhau trúng đạn.
 Tìm xác suất để máy bay rơi trong trường hợp:
a/ 4 bộ phận có diện tích bằng nhau và máy bay trúng hai viên đạn
b/ Các bộ phận B,C, D có diện tích bằng nhau và bằng nửa diện tích bộ phận A và máy bay trúng hai viên đạn
 Hướng dẫn học sinh: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu.
a/ Đánh số 4 bộ phận A,B,C,D là 1,2,3,4 
Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’
Không gian mẫu: n( )= 4.4=16 phần tử
Xét biến cố A: máy bay rơi.
Tập các kết quả thuận lợi của A : 
Xác suất của A: 
 Hướng dẫn học sinh: mô tả không gian mẫu dưới dạng khái quát để cho các em tiếp cận với các không gian mẫu trừu tượng hơn 
 Chia bộ phận A thành 2 phần A1, A2 có diện tích bằng các phần B, C, D.
b/ Đánh số 4 bộ phận A1, A2 ,B,C,D là 1,2,3,4,5
Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’
Không gian mẫu: 5.5=25 phần tử
Xét biến cố A: máy bay rơi.
Tập các kết quả thuận lợi của A : 
Xác suất của biến cố A: 
Bài học kinh nghiệm: Để giải các bài toán về tính xác suất có không gian mẫu được mô tả cụ thể cần: 
 - Liệt kê các phần tử của không gian mẫu, đếm số phần tử của không gian mẫu
 - Liệt kê các khả năng thuận lợi của biến cố, tính số khả năng thuận lợi của biến cố
 - Thay vào công thức tính xác suất.
2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận các bài toán tính xác suất có không gian mẫu được mô tả trừu tượng hơn :
Bài 3: 
 Một tổ có 12 học sinh gồm 8 nam và 4 nữ. Chọn một nhóm lao động gồm 6 học sinh. Tính xác suất để có 4 nam và 2 nữ được chọn.
Hướng dẫn học sinh:
Phép thử T: ‘‘Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh từ 12 học sinh’’
	 Mỗi phần tử của không gian mẫu là một tổ hợp chập 6 của 12 phần tử
Xét biến cố A: “Có 4 nam và 2 nữ được chọn.”. Để chọn được 4 nam và 2 nữ ta phải thực hiện 2 công đoạn liên tiếp:
Công đoạn 1: Chọn 4 nam từ 8 nam có 
Công đoạn 2: Chọn 2 nữ từ 4 nữ có 
 có cách chọn ra 4 nam và 2 nữ 
Xác suất của A: 
Cho học sinh giải bài tập sau :
Bài 4: 
 Có 4 hành khách lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.
Hướng dẫn học sinh: Tìm số phần tử cua không gian mẫu:
Phép thử T: ‘‘Xếp 4 hành khách lên một đoàn tàu 4 toa’’
Mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có cách xếp 4 người lên một đoàn tàu 4 toa không gian mẫu: gồm phần tử 
Xét biến cố A: “1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.”
Xét 2 công đoạn liên tiếp:
Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn 
Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách (Cách)
Bài 5: Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm xác suất để số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lấy ra từ các số trên thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.
Hướng dẫn học sinh:
Không gian mẫu: Các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau: trong đó với i j
a1 Có 9 cách chọn a1
 Mỗi cách chọn a1 có 9 cách chọn a2
 Mỗi cách chọn a1, a2 có 8 cách chọn a3
 Mỗi cách chọn a1, a2, a3 có 7 cách chọn a4
 Mỗi cách chọn a1, a2, a3, a4 có 6 cách chọn a5 
Xét biến cố A: “ Số có năm chữ số lấy ra thoả mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước”. Vì chữ số 0 không thể đứng trước bất kỳ số nào nên xét tập hợp:
X= . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần
Bài học kinh nghiệm: Để tính được số phần tử của không gian mẫu được mô tả trừu tượng hơn cần phân tích đề bài và vận dụng toán Tổ hợp.
Yêu cầu học sinh về nhà giải các bài tập:
Bài 1: Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 10.
Bài 2: Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu xanh và 2 quả cầu đen. Chọn ngẫu nhiên 6 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 3 quả cầu lấy ra cùng màu.
Bài 3: ( Đại học Tài chính kế toán Hà Nội 1997)
 Mét hép bãng ®Ìn cã 12 bãng, trong ®ã cã 7 bãng tèt. LÊy ngÉu nhiªn 3 qu¶ bãng. TÝnh x¸c suÊt ®Ó lÊy ®­îc : 
a.	3 bãng tèt ?
b. Ýt nhÊt 2 bãng tèt ? 
c. Ýt nhÊt 1 bãng tèt ? 
Bµi 4: Mét ®ît xæ sè ph¸t hµnh 20000 vÐ trong ®ã cã 1 gi¶i nhÊt, 100 gi¶i nh×, 200 gi¶i ba, 1000 gi¶i t­ vµ 5000 gi¶i khuyÕn khÝch. T×m x¸c suÊt ®Ó mét ng­êi mua 3 vÐ, tróng 1 gi¶i nh× vµ 2 gi¶i khuyÕn khÝch
Bµi 5: Mét líp cã 30 häc sinh, trong ®ã gåm 8 häc sinh giái, 15 häc sinh kh¸ vµ 7 häc sinh trung b×nh. Ng­êi ta muèn chän ngÉu nhiªn 3 em ®Ó ®i dù §¹i héi. TÝnh x¸c suÊt ®Ó chän ®­îc : 
a. Ba häc sinh ®­îc chän ®Òu lµ häc sinh giái ? 
b. Cã Ýt nhÊt 1 häc sinh giái ? 
c. Kh«ng cã häc sinh trung b×nh ? 
Bài toán 2: SỬ DỤNG CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT
 Trước hết yêu cầu học sinh tư duy lại các loại biến cố hợp, biến cố giao các biến cố xung khắc, biến cố độc lập, biến cố đối , và quy tắc tính xác suất theo s¬ ®å t­ duy :
Biến cố hợp
Biến cố xung khắc
Quy tắc cộng xác suất
Biến cố đối
Quy tắc cộng xác suất
Quy tắc tính xác suất
Biến cố giao
Quy tắc nhân xác suất
Biến cố độc lập
Quy tắc nhân xác suất
1. Hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc cộng xác suất trong các bài toán tính xác suất:
Bài 1: 
Có 8 học sinh lớp A, 6 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiờn 8 học sinh. Tính xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp .
Hướng dẫn học sinh:
Không gian mẫu gồm phần tử
Gọi A là biến cố 8 học sinh được chọn đều thuộc lớp A, khi đó 
Gọi B là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A và B khi đó 
Gọi C là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A và C khi đó 
Gọi D là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp C và B khi đó 
A,B,C,D là các biến cố xung khắc
 là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp .
Vậy xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp bằng: 
Bài 2: Một chiếc hộp đựng 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ. Tính xác suất kết quả nhận được ghi trên 2 tấm thẻ là một số chẵn?
 Học sinh vận dụng giải bài toán, giáo viên đưa ra thông tin phản hồi đề học sinh so sánh:
Không gian mẫu: n(W)= 
Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”
Gọi B là biến cố “ Rút được hai thẻ đề chẵn” 
Nhận xét: hai biến cố A và B là xung khắc và biến cố “ kết quả nhận được ghi trên 2 tấm thẻ là một số chẵn”
Theo qui tắc cộng xác suất ta có : 
Bài học kinh nghiệm: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A chia thành nhiều nhóm ta có thể coi biến cố A là biến cố hợp của các biến cố A1 , .., An xung khắc tương ứng . Sau đó sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất của biến cố A
2. Hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc nhân xác suất trong các bài toán tính xác suất:
Bài 3:
 Xạ thủ An bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của An trong một lần bắn là . Xạ thủ Bình bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của Bình trong một lần bắn là . Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn
Hướng dẫn học sinh:
Gọi A1 là biến cố An bắn trượt lần bắn thứ nhất thì 
Gọi A2 là biến cố An bắn trượt lần bắn thứ hai thì 
 A1, A2 là hai biến cố độc lập 
 là biến cố An bắn trượt cả hai lần bắn
Tương tự: là biến cố Bình bắn trượt cả ba lần bắn 
A, B là độc lập. là biến cố cả An và Bình đều bắn trượt hay:
 là biến cố “Mục tiêu không trúng đạn”
Bài học kinh nghiệm: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau ta có thể coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A1 , .., An độc lập tương ứng . Sau đó sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của biến cố A
3. Hướng dẫn học sinh sử dụng biến cố đối trong các bài toán tính xác suất:
Bài 4: 
 Có 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp .
Hướng dẫn học sinh:
Không gian mẫu : n(W)= phần tử
Gọi A là biến cố 4 học sinh được chọn thuộc cả lớp A, lớp B, lớp C
 là biến cố :“ 4 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp” .
= 
Bài 5:
 Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C lần lượt chiếm 15%, 30%, 55% diện tích máy bay. Máy bay rơi khi có hoặc 1 viên trúng vào A, hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C. Tính xác suất để máy bay rơi nếu máy bay trúng 3 viên đạn.
Hướng dẫn học sinh:
Gọi A là biến cố máy bay không rơi khi máy bay trúng 3 viên đạn.
A chính là biến cố có 1 viên trúng B, 2 viên trúng C
là biến cố máy bay rơi khi máy bay trúng 3 viên đạn
 = 0,728
Bài học kinh nghiệm: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A chia thành quá nhiều nhóm khác nhau ta nên sử dụng biến có đối để lời giải đơn giản
Bài toán 3: SỬ DỤNG KẾT HỢP CÁC QUI TẮC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT
Cùng học sinh phân tích bài toán để đưa biến cố cần xem xét thành biến cố hợp của các biến cố con có cùng xác suất 
Bài 1:
 Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25. Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng hỏng. Tính xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng .
Hướng dẫn học sinh:
 Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất hỏng là 0,75
Gọi A1 là biến cố 4 bóng hỏng 2 bóng tối, A1 là biến cố hợp của biến cố con, 
Gọi A2 là biến cố 5 bóng hỏng 1 bóng tối, A2 là biến cố hợp của biến cố con,
Gọi A3 là biến cố 6 bóng hỏng 
 là biến cố lớp học đủ ánh sáng
 là biên cố lớp học không đủ ánh sáng
Bài 2: 
Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm
Hướng dẫn:
Gọi A1 là biến cố 1 viên trúng vòng 10, 2 viên trúng vòng 9, A1 là biến cố hợp của biến cố con, 
Gọi A2 là biến cố 2 viên trúng vòng 10, 1 viên trúng vòng 9, A2 là biến cố hợp của biến cố con, 
Gọi A3 là biến cố 2 viên trúng vòng 10, 1 viên trúng vòng 8, A3 là biến cố hợp của biến cố con, 
Gọi A4 là biến cố 3 viên trúng vòng 10, 
 là biến cố xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm
Yêu cầu học sinh giải các bài tập tương tự, giáo viên đưa ra thông tin phản hồi để học sinh so sánh:
Bài 3:
Tại một thành phố tỉ lệ người thích bóng đá là 65%. Chọn ngẫu nhiờn 12 người. Tính xác suất để có đúng 5 người thích bóng đá
Đáp số: 
Bài 4:
Gieo đồng thời 3 con súc sắc . Bạn thắng nếu có xuất hiện ít nhất 2 lần ra 6 chấm. Tính xác suất để trong 5 ván chơi bạn thắng ít nhất 3 ván
Đáp số: 
Bài 5
Bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu , mỗi câu có 5 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng . Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm. Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để anh ta bị điểm âm.
Đáp số: 
PHẦN III: THỰC NGHIỆM - GIẢI PHÁP
Khảo sát thực tế: 
 Trước khi thực hiện đề tài , năm học 2010- 2011 tôi đá khảo sát chất lượng của học sinh lớp11ở hai lớp 11B5, 11B6 Trường THPT Đức Hợp, có trình độ nhận thức và sĩ số là tương đương nhau,thông qua kiểm tra viết gồm ba bài toán xác suất:
Bài toán 1: Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng công thức xác suất cổ điển
Bài toán 2: Sử dụng các qui tắc tính xác suất để giải các bài toán tính xác suất
Bài toán 3: Sử dụng kết hợp các quy tắc xác suất giải các bài toán tính xác suất.
Kết quả số học sinh làm đạt được như sau:
Lớp
Sĩ số
Bài toán 1
Bài toán 2
Bài toán 3
11B5
48
43
90%
19
40%
7
15%
11B6
45
39
87%
5
11%
1
2%
 Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu, kỹ năng trình bày lời giải rất hạn chế. Sau khi khảo sát thấy được thực trạng như vậy đến năm học 2011- 2012 tôi áp dụng đề tài này với hai lớp 11A2, 11A3 năm học 2011- 2012 của nhà trường, với trình độ và sĩ số tương đương với hai lớp tôi đã dạy ở năm học 2010- 2011.
Các bước thực hiện đề tài:
 Bước 1: Hệ thống hóa các kiến thức các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, các quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất 
 Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình hướng dẫn học sinh phân tích và giải bài toán. Từ đó rút ra cho học sinh các bài học kinh nghiệm khi giải các bài toán tính xác suất.
 Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua một số bài tập bổ sung nâng cao và các đề thi. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bài toán.
Kết quả sau khi thực hiện đề tài: 
 Sau khi thực hiện đề tài ở lớp 11A2, 11A3 trường THPT Đức Hợp năm học 2011- 2012 Tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua kiểm tra viết gồm 3 bài toán xác suất tương đương với đợt khảo sát của năm học 2010- 2011:
Bài toán 1: Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng công thức xác suất cổ điển 
Bài toán 2: Sử dụng các qui tắc tính xác suất để giải các bài toán tính xác suất
Bài toán 3: Sử dụng kết hợp các quy tắc xác suất giải các bài toán tính xác suất.
Kết quả như sau:
Lớp
Sĩ số
Bài toán 1
Bài toán 2
Bài toán 3
11A2
46
46
100%
45
97%
44
96%
11A3
44
44
100%
44
100%
43
98%
Chất lượng bài giải và kĩ năng trình bày bài giải các dạng toán về tính xác suất này rất tốt.
 4. Giải pháp đề nghị :
Bài toán xác suất mới được đưa vào chương trình toán lớp 11 THPT , hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này. Để giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau tôi xin nêu một số giải pháp đề nghị sau:
Hệ thống hóa các khái niệm về phép thử, không gian mẫu, biến cố, tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố, các phương pháp tìm số khẩ năng thuận lợi của biến cố, công thức tính xác suất cổ điển bằng sơ đồ tư duy. Sau đó hướng dẫn học sinh tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng công thức xác suất cổ điển .
Hệ thống lại các qui tắc tính xác suất , hướng dẫn học sinh phân tích đề bài tiếp cân bài toán sử dụng các công thức này để tính xác suất trong một số bài toán điển hình, phân tích cho học sinh khi nào sử dụng qui tắc cộng khi nào sử dụng qui tắc nhân xác suất. Từ đó ruta ra cho học sinh nhận xét về cách sử dụng các qui tác này một cách linh hoạt và hợp lý trong từng bài toán cụ thể.
3. Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập tính xác suất nâng cao cho học sinh. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bài toán thông qua đó học sinh giải một cách sáng tạo và thích thú hơncacs bài toán tính xác suất trong chương trình THPT và làm nền tảng để học sinh học lên Đại học .
 Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi qua quá trình giảng dạy Bài toán tính xác suất lớp 11 THPT Đức Hợp. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các em học sinh để đề tài này được hoàn thiện hơn nữa. 
 Xin chân thành cảm ơn.
 Đức Hơp, tháng 5 năm 2012
Môc lôc
TT
Mục
Trang
1
PhÇn I: Më ®Çu
1
2
Lý do chän ®Ò tµi
1
3
Môc ®Ých yªu cÇu
2
4
§èi t­îng, ph¹m vi nghiªn cøu
2
5
NhiÖm vô nghiªn cøu
2
6
Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu
3
7
PhÇn II: Néi dung
4
8
Bµi to¸n 1: Sö dông ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn cña x¸c suÊt gi¶i c¸c bµi to¸n tÝnh x¸c suÊt
4
9
Bµi to¸n 2: sö dông qui t¾c tÝnh x¸c suÊt gi¶i c¸c bµi to¸n tÝnh x¸c suÊt
11
10
Bµi to¸n 3: Sö dông kÕt hîp c¸c qui t¾c tÝnh x¸c suÊt ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n tÝnh x¸c suÊt
16
11
PhÇn III: Thùc nghiÖm, gi¶i ph¸p
19
12
Kh¶o s¸t thùc tÕ
19
13
C¸c b­íc thùc hiÖn ®Ò tµi
19
14
KÕt qu¶ sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi
20
15
Gi¶i ph¸p ®Ò nghÞ 
21