Sáng kiến kinh nghiệm - Hướng dẫn học sinh THPT giải bài toán xác suất - Năm học 2013-2014 - Đỗ Thị Hoài - Trường THPT Nguyễn Siêu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT.
	Người viết: Th.S Đỗ Thị Hoài
	Chức vụ: Phó hiệu trưởng
	Lĩnh vực: Toán học
	Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Siêu 
HƯNG YÊN – 3/2014
MỤC LỤC
Phần I
Đặt vấn đề
2
I. Lý do chọn đề tài
2
II. Giải quyết vấn đề
2
	1. Cơ sở lý luận của vấn đề
2
	2. Thực trạng của vấn đề
3
	3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề
3
Phần II
Nội dung 
5
I. Cơ sở lý thuyết
5
	1. Biến cố và xác suất của biến cố
5
	2. Các quy tắc tính xác suất
5
II. Các dạng bài tập minh họa
7
DẠNG 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến cố độc lập
7
DẠNG 2: Áp dụng các quy tắc tính xác suất
8
	1. Những bài toán biến đổi công thức xác suất và tính xác suất trực tiếp
8
	2. Những bài toán tính xác suất khi biết xác suất của biến cố liên quan
11
Bài tập tương tự
16
	3. Những bài toán tính xác suất khi phải xác định các biến cố và không gian mẫu.
16
Phần III
Hiệu quả, kết luận
27
I. Hiệu quả
27
II. Kết luận
32
	1. Kết luận
32
	2. Những kiến nghị
32
	3. Một số vấn đề còn bỏ ngỏ
33
Tài liệu tham khảo
34
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
	Từ khi xuất hiện xác suất đã khẳng định đó là một môn mới và có tính hấp dẫn cao được áp dụng phổ biến trong cuộc sống. Xác suất được ứng dụng rộng rãi trong nhiều nghành khoa học khác nhau như Toán học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật, y học, công nghệ thông tin và các nghành kinh tế. Trong trường phổ thông thì đòi hỏi học sinh phải biết giải bài toán xác suất và áp dụng được vào các môn học đặc biệt là môn sinh học, vật lý ...
	Đối với học sinh phổ thông chương trình sách giáo khoa đã đưa xác suất vào dạy ở lớp 11 nên việc làm quen, áp dụng và giải các bài toán về xác suất là học sinh rất bỡ ngỡ và thấy khó. Việc giải bài toán xác suất liên quan đến đại số tổ hợp và những bài toán liên quan đến công thức xác suất là học sinh chưa phân biệt được và hay bị nhầm lẫn.
	Trong những năm gần đây các bài toán xác suất là một trong các chủ đề có mặt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định ( đây là một trong các nội dung ở câu số 7 của đề thi ), chính vì thế nên tôi đã chú trọng vào việc dạy kỹ lý thuyết cho học sinh và phân dạng các loại toán xác suất từ dễ đến khó và có hệ thống móc nối giữa các kiến thức cũ và mới để học sinh có hứng thú học, say mê tìm hiểu và giải quyết được các dạng bài tập trong chương trình phổ thông.
II. GIẢI QUYẾT VÂN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận của vấn đề 
	Xuất phát từ những bài toán trên thực tế đã hình thành nên môn xác suất chính vì thế khi bắt đầu dạy lý thuyết cho học sinh tôi cũng dùng các ví dụ cụ thể và cho học sinh tự làm ví dụ và ghi kết quả sau đó hình thành định nghĩa và liên hệ với kiến thức trong tập hợp và trong đại số tổ hợp để dần dần hình thành công thức tính xác suất đơn giản.
	Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống cụ thể. Trên thực tế học sinh khó hiểu được các khái niệm và các định nghĩa, trong khi sách tham khảo về nội dung này cũng không có nhiều, khai thác kỹ hơn thì học sinh lại phải đọc thêm nhiều lý thuyết ngoài sách giáo khoa. Trên thực tế đó đòi hỏi giáo viên phải có những phương pháp dạy hợp lý và phát huy tính sáng tạo của học sinh.
	Với mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: 
 “ Nâng cao năng lực của học sinh THPT để giải bài toán xác suất ”.
2. Thực trạng của vấn đề.
	Xác suất là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứng dụng thực tế của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp dụng thành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt. Trong quá trình dạy phụ đạo và ôn luyện thi đại học tôi luôn quan tâm đến vấn đề này dạy cho học sinh hiểu bài không chỉ dạy lý thuyết mà phải có áp dụng đi cùng.
	Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc độc lập. Đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc để giải quyết các tình huống cụ thể.
 	Khi chọn đề tài này đã phần nào giúp học sinh tháo gỡ việc nhận thức học xác suất và có công cụ giải quyết được một số dạng bài tập mà từ trước đến nay học sinh cho là khó và đã áp dụng được vào các môn học liên quan.
3. Mục đích yêu cầu:
	- Giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm về xác suất, liên hệ và áp dụng được vào các dạng bài tập liên quan.
	- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi đồng nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhà trường và sở phát động.
4. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên quan khác, khai thác trên mạng 
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường PTTH Nguyễn Siêu.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 11 và một số lớp 12 ôn thi đại học sau đó khảo sát các lớp dạy.
PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
a. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:
	Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó không dự đoán trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.
	Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu Ω.
b. Xác suất các biến cố:
	Định nghĩa : Giả sử phép toán thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số ký hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:
trong đó và lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω 
	- Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử T) có xác suất bằng 1.
- Biến cố không thể (không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác xuất bằng 0.
2. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
2.1. Quy tắc cộng xác suất
a. Biến cố hợp
	Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Nếu “biến cố A hoặc biến cố B xảy ra”, kí hiệu là được gọi là hợp của hai biến A và B. Nếu kí hiệu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp mô tả A và B thì tập hợp mô tả biến cố và ΩA ΩB.
	Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , Ak cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ có ít nhất một trong các biến cố A1, A2, , Ak xảy ra, ký hiệu là , được gọi là hợp của k biến cố đó.
b. Biến cố xung khắc
	Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu.
ΩA ΩB = 
c. Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:
Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , Ak đôi một xung khắc thì ta có: 
d. Biến cố đối
Cho biến cố A thì biến cố “ Không xảy ra A”, ký hiệu là được gọi là biến cố đối của A.
Cho biến cố A xác suất của biến cố đối là: 	(3)
2.2. Quy tắc nhân xác suất
a. Biến cố giao
	Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, ký hiệu là A.B, được gọi là giao của hai biến cố A và B.
	Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB là ΩA ΩB .
	Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , Ak cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ tất cả k biến cố A1, A2, , Ak xảy ra “, ký hiệu là , được gọi là giao của k biến cố đó.
b. Biến cố độc lập
	Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia. 
c. Quy tắc nhân xác suất
	Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:
Một cách tổng quát : Cho k biến cố A1, A2, , Ak độc lập thì ta có: 	
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA
DẠNG 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến cố độc lập
 Đây là bước đầu tiên xác định giả thiết trong bài toán tính xác suất, nếu không phân biệt kỹ và hiểu kỹ thì học sinh (đặc biệt là học sinh trung bình, yếu) không giải quyết được bài tập, hoặc sẽ bị nhầm lẫn khi áp dụng quy tắc tính xác suất, do đó tôi nhấn mạnh cho học sinh phân biệt được các loại biến cố bằng cách nhận biết ở dạng đơn giản trước.
Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A1 trường THPT Nguyễn Siêu. Gọi A là biến cố “Bạn đó là học sinh giỏi Toán” và B là biến cố “ Bạn đó là học sinh giỏi Văn”.
A và B có phải là hai biến cố xung khắc hay không?
Biến cố là gì?
Hướng dẫn
a. A và B là hai biến cố không xung khắc vì một học sinh có thể vừa học giỏi Toán vừa học giỏi Văn.
b. Biến cố là “ Bạn đó là học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Văn”.
Bài 2: Gieo một con súc sắc hai lần liên tiếp. Gọi A là biến cố “ lần gieo thứ nhất được số chấm trên mặt con súc sắc là chẵn”, B là biến cố “ lần gieo thứ hai được số chấm trên mặt con súc sắc là lẻ”.
Hai biến cố A và B độc lập hay không ?
Giao của hai biến cố A và B là biến cố gì ?
Hướng dẫn
Hai biến cố A và B độc lập vì việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B
Giao của hai biến cố A và B là biến cố” lần gieo thứ nhất được số chẵn và lần thứ hai được số lẻ”
Nhận xét: Khi xác định các biến cố độc lập hay xung khắc thông thường học sinh hay dựa vào các khái niệm hoặc thực tế việc xảy ra của biến cố. Nhưng cũng có những bài toán xác đinh được điều đó phải dựa vào quy tắc tính xác suất, dưới đây là một ví dụ minh hoạ
Bài 3: Cho . Hỏi hai biến cố A và B có:
Xung khắc hay không?
Độc lập với nhau hay không?
Hướng dẫn
Vì nên A và B không xung khắc.
Vì 
Vậy A và B là hai biến cố độc lập.
Bài tập tương tự: Một chi tiết máy được lấy ngẫu nhiên.Chi tiết loại 1(chi tiết A);chi tiết loại 2(chi tiết B);chi tiết loại 3(chi tiết C). Hãy mô tả các biến cố sau đây: 
a. b. c. d.
DẠNG 2: Áp dụng các quy tắc tính xác suất 
1. Những bài toán biến đổi công thức xác suất và tính xác suất trực tiếp.
	Đối với học sinh THPT vì mới được học xác suất nên các em thường ít đọc sách tham khảo và có nhiều học sinh cho rằng đây là dạng bài tập khó. Trong khi áp dụng công thức thì hay bị nhầm nên thường bỏ không làm, thậm chí có học sinh không thuộc công thức để áp dụng, nên đòi hỏi giáo viên phải có biện pháp khắc phục tình trạng đó. Nhằm giúp học sinh phân biệt đựơc công thức áp dụng và cũng thành thạo khi áp dụng tôi đã chia nhỏ, lồng ghép khéo léo dạng này để học sinh hiểu rõ hơn, chủ động và thành thạo hơn khi áp dụng, tạo động lực để học sinh có hứng thú học những dạng tiếp theo.
Bài 1: Gieo một con xúc sắc, gọi A là biến cố gieo được mặt có số chấm là chẵn và B là biến cố gieo được mặt có số chấm là bội số của 2. 
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn
 Ta có A = { 2, 4, 6 } , B = { 3, 6 }. Do đó và AB = {6}
Nên 
Mà 
Vậy: . (ĐPCM)
Như vậy : Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì công thức sau còn đúng không?
Bài 2: Cho hai biến cố bất kỳ A và B. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn
	Ta có vì sự xảy ra của A là kết quả của sự xảy ra :của A và B hoặc là sự xảy ra của A và không xảy ra của B
	Mà và là hai biến cố xung khắc. 
	Vậy: 
Bài 3: Xét không gian mẫu E và hai biến cố xung khắc A và B biết . Tính 
Hướng dẫn
Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên 
Ta có: và 
Bài 4: Một công nhân phải theo dõi hoạt động của hai máy dệt A và B. Xác xuất để người công nhân phải can thiệp máy dệt A trong một giờ là và máy dệt B trong cùng thời gian trên là . Tính xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ.
Hướng dẫn
Xác suất để máy dệt A hỏng độc lập với xác suất để máy dệt B hỏng
Ta có P() = 1- P(A) = 1- = với là biến cố máy dệt A không hỏng
 và P() = 1- = với là biến cố máy dệt B không hỏng.
Vậy xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ là P()= ==0,69
Bài 5: Trong một nhà máy có 3 máy dệt. Trong một ngày, xác suất để máy thứ nhất bị sự cố là 0,05, xác suất để máy thứ hai bị sự cố là 0,1 và xác suất để máy thứ ba bị sự cố là 0,15. Tính xác suất để trong một ngày mà :
a. Chỉ có một máy bị sự cố
b. Chỉ có hai máy bị sự cố
c. Không có máy nào bị sự cố
Hướng dẫn
Cách 1 : Hướng dẫn học sinh làm trực tiếp
a. Xác suất để một và chỉ một máy bị sự cố là:
P1= 0,05 + 0,10 + 0,15 – 2(0,050,10+0,050,15 + 0,100,15) + 
+3(0,050,100,15) = 0,25
b. Xác suất để chỉ có hai máy bị sự cố là:
P2 = 0,050,10+0,050,15 + 0,100,15 - 3(0,050,100,15) = 0,025
c. Xác suất để không có máy nào bị sự cố là:
P3 = 0,950,900,85 = 0,727
Cách 2 : Hướng dẫn học sinh làm gián tiếp( Tức là sử dụng các biến cố đối)
2. Những bài toán tính xác suất khi biết xác suất của biến cố liên quan
	Để áp dụng công thức tính thì phải yêu cầu học sinh biết cách sử dụng khái niệm biến cố và phân biệt mối quan hệ của các biến cố trong bài toán. Khi chưa phân biệt đựơc thì việc tính toán sẽ khó khăn, học sinh không thể tiếp cận đến công thức được. Với suy nghĩ này tôi đã chọn cách dạy phân tích bài toán để bước đầu học sinh biết tìm ra các biến cố, tìm mối quan hệ của các biến cố và tính được xác suất của biến cố theo yêu cầu.
Bài 1: Một lớp học gồm 40 học sinh trong đó có : 15 học sinh giỏi toán, 10 học sinh giỏi Lý và 5 học sinh giỏi Toán lẫn Lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Hãy tính xác suất để học sinh đó giỏi toán hay giỏi lý.
Hướng dẫn
GV:	Yêu cầu học sinh chỉ ra các biến cố, mối quan hệ các biến cố là gì? 
Từ đó học sinh tự áp dụng công thức để tính.
A là biến cố học sinh giỏi toán
B là biến cố học sinh giỏi lý
Ta có: AB là biến cố học sinh giỏi toán và lý 
	A B là biến cố học sinh giỏi toán hay lý
Ta có: P(A)== ; P(B)== ; P(AB)==
Vậy P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = +-==
Bài 2: Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cỗ bài 52 lá, ghi nhận kết quả rồi trả lại lá bài trong cỗ bài và rút một lá bài khác. Tính xác suất để được lá bài là bích và lá bài là cơ.
Hướng dẫn
Gọi A là biến cố “chọn lá bài thứ nhất là bích”
B là biến cố “chọn được lá bài thứ hai là cơ”
Ta tìm P(AB)
Ta biết A và B là hai biến cố độc lập vì ta trả lại lá bài thứ nhất trước khi rút lá bài thứ hai. Do đó P(AB) = P(A).P(B)
Mà P(A) = và P(B) =. Vậy P(AB) = .
Bài 3: Trong một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là . Lớp học có đủ ánh sáng nếu ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tìm xác suất để lớp học có đủ ánh sáng
Hướng dẫn
	Gọi A, B, C tương ứng là các biến cố “ lớp có 6 bóng đèn sáng ”, “ lớp có 5 bóng đèn sáng ” và “  lớp có 4 bóng đèn sáng ”.
Mỗi bóng có xác suất sáng là . Theo quy tắc cộng và nhân xác suất, ta có:
P(A) =  ; P(B)= 
P(C) = .
Gọi X là biến cố lớp có đủ ánh sáng . Ta có : 
P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,8305
Bài 4: Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia là 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng bia một lần.
Hướng dẫn
A là biến cố người xạ thủ bắn trúng bia 
 là biến cố người xạ thủ không bắn trúng bia
Ta có P(A) = 0,4 và P() = 1- 0,4 =0,6
Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia lần 1 và không trúng hai lần sau là
P1 = 
Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 2, lần 1 và lần 3 không trúng là P2 = P1 
Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 3, lần 1 và lần 2 không trúng là = P1 
Vậy xác suất để trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng một lần là 
 P = 0,14 + 0,14 + 0,14 = 0,42
Bài 5 :Một vận động viên bắn súng, bắn ba viên đạn. Xác suất để trúng ba viên vòng 10 là 0,008 , xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên trúng dưới vòng 8 là 0,4. Biết rằng các lần bắn là độc lập với nhau. Tìm xác suất để viên đạn đạt ít nhất 28 điểm.
Hướng dẫn
Gọi A là biến cố “ 1 viên trúng vòng 10”. Khi đó từ giả thiết ta có :
0,008 = (P(A))3 => P(A) = 0,2. (1)
Gọi B là biến cố “ 1 viên trúng vòng 9”. C là biến cố “ 1 viên trúng vòng 8”, D là biến cố “ 1 viên trúng dưới vòng 8”. Theo giả thiết ta có :
	P(C) = 0,15 ; P(D) = 0,4 . (2)
Rõ ràng A, B, C, D là các biến cố đôi một xung khắc với nhau nên ta có :
	1= P(A B C D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra P(B) = 1- (0,2 +0,15 + 0,4) = 0,25 (4)
Gọi X là biến cố “vận động viên đạt ít nhất 28 điểm”.
Để đạt được ít nhất 28 điểm thì:
- Hoặc là 2 viên trúng vòng 10, một viên vòng 8. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất (0,2)2(0,15).
- Hoặc 2 viên trúng vòng 9 một viên trúng vòng 10. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất (0,2)(0,25).
- Hoặc 2 viên trúng vòng 10, một viên trúng vòng 9 . Điều này xảy ra với xác suất: 	 (0,2)2(0,25).
- Hoặc cả ba viên điều trúng vòng 10 với xác suất theo giả thiết là 0,008. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất của các biến cố xung khắc, ta có:
P(X) = (0,2)2(0,15) + (0,2)(0,25) + (0,2)2(0,25) +0,008	= 0,0935
Vậy vận động viên bắn súng đạt ít nhất 28 điểm với xác suất là 0,0935
Bài 6: Một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cánh phải và 2 động cơ ở cánh trái. Mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1. Còn mỗi động cơ bên cánh trái là 0,05, các động cơ hoạt động độc lập. Tìm xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trường hợp sau đây.
1. Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất 3 động cơ làm việc.
2. Máy bay chỉ bay được nếu mỗi cánh máy bay có ít nhất một động cơ làm việc.
Hướng dẫn
1. Xét trường hợp máy bay bay an toàn nếu có ít nhất hai động cơ làm việc.
	Gọi là biến cố “ máy bay thực hiện chuyến bay an toàn”, thì biến cố là máy bay bay không an toàn, theo quy tắc biến cố đối ta có:
P() = 1 – P()	(1)
Máy bay không an toàn nếu:
- Hoặc là cả 5 động cơ bị hỏng. Theo quy tắc nhân xác suất để điều này xảy ra với xác suất: (0,1)3(0,05)2.
- Hoặc chỉ có một động cơ ở cánh phải hoạt động còn lại mọi động cơ bị hỏng. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất : 
(0,95)(0,05)(0,1)3.
- Hoặc chỉ có một động cơ ở cánh trái hoạt động còn lại mọi động cơ bị hỏng. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất : 
(0,95)(0,05)(0,1)3
Theo quy tắc cộng xác suất ta có:
P() = (0,1)3(0,05)2 + (0,95)(0,05)2(0,1)2 + (0,95)(0,05)(0,1)3	
= 0,00016.	(2)
Thay (2) vào (1) ta có:
	P(A) = 1 – 0,00016 = 0, 99984.
2. Xét trường hợp máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu như ở mỗi cánh ít nhất có một động cơ hoạt động tốt. Gọi là biến cố “ máy bay thực hiện chuyến bay an toàn” , thì:
P() = 1 – P(). 	(3)
Máy bay bay không an toàn nếu: 
- Hoặc cả ba động cơ bên phải bị hỏng, điều này xảy ra với xác suất là(0,1)3.
- Hoặc cả 2 động cơ bên trái bị hỏng. Điều này xảy ra với xác suất là (0,005)2.
Theo quy tắc cộng ta có: P() = (0,1)3+(0,005)2= 0,00035	(4)
Thay (4) vào (3) ta có: P() = 1 – 0,00035 = 0,9965
Bài 7: Một bình đựng 5 bi trắng và 4 bi đỏ. Ta lần lượt lấy một bi 3 lần liên tiếp theo luật: nếu bi lấy được là đỏ thì trả lại bi này vào bình còn nếu lấy được bi trắng thì không trả lại bi này vào bình. Gọi Ek (1k3) là biến cố chỉ được bi trắng trong lần lấy thứ k 
	a. Tính xác suất của E1.
	b. Tính xác suất của E2 và E3. Suy ra xác suất lấy được chỉ một bi trắng trong 3 lần lấy.
Hướng dẫn
a. E1 là biến cố chỉ lấy được bi trắng trong lần lấy thứ nhất, do đó lần lấy thứ hai và lần lấy thứ 3 là bi đỏ
Vậy P(E1) = =
b. E2 là biến cố chỉ lấy được bi trắng trong lần lấy thứ hai, do đó lần lấy thứ nhất và lần lấy thứ 3 là bi đỏ
Vậy P(E2) = =
E3 là biến cố chỉ lấy được bi trắng lần thứ 3, do đó lần thứ nhất và lần thứ 3 là bi đỏ. Vậy P(E3) = =
Gọi F là biến cố chỉ lấy đựoc 1 bi trắng trong 3 lần lấy thì 
F= E1 E2 E3 vơí E1, E2, E3 là ba biến cố đôi một xung khắc
Vậy P(F) = P(E1) + P(E2) + P(E3) = + + =
Nhận xét : Qua các bài tập này ta thấy 
-Việc xác định xác suất của các biến cố ( tính trực tiếp) phức tạp nên sử dụng xác suất biến cố đối.
- Và xác định xác suất của các biến cố trong các trường hợp mà biến cố đó xảy ra là biến cố hợp và biến cố giao.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của :
a. Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
 (Đáp số: )
b. Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.” (Đáp số: )
Bài 2: Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lí khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác suất để: 
	1. Có 4 khách nam và 2 khách nữ.(Đáp số: )
	2. Có ít nhất 2 khách nữ.(Đáp số: )
Bài 3: Một đoàn tàu có 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa tàu. Tìm xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách lên tàu. (Đáp số: )
Bài 4: Một người bỏ ngẫu nhiên bốn lá thư vào bốn chiếc phong bì thư đã đề sẵn địa chỉ. Tìm xác xuất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng địa chỉ.	(Đáp số: )
3. Những bài toán tính xác suất khi phải xác định các biến cố và không gian mẫu.
	Khi phân tích công thức tính xác suất của biến cố thì đòi hỏi học sinh tìm được biến cố để xác định mối quan hệ của biến cố với các giả thiết ở bài toán và nhằm đến mục đích cuối của công thức đó là tìm được không gian mẫu và không gian các kết quả thuận lợi. Ở các dạng trên học sinh chỉ việc đọc kỹ và hiểu khái niệm là các em đã áp dụng công thức để tính, nhưng trên thực tế các bài toán xảy có rất nhiều giả thiết và các mối quan hệ ràng buộc của các biến cố nhiều hơn nên tôi đưa ra cho học sinh một lớp các bài toán tính xác suất nhưng chú trọng tới việc xác định biến cố, không gian mẫu, không gian các kết quả thuận lợi kết hợp với các bài toán tổ hợp. 
Bài 1: Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời, nhưng chỉ có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai sẽ bị trừ đi 1 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để :
	1. Học sinh được 13 điểm
	2. Học sinh đó bị điểm âm.
Hướng dẫn
1. Gọi x là số câu trả lời đúng, 12 – x là số câu trả lời sai.
	Để được 13 điểm ta cần có : 4x – (12 –x) = 13
	ó x=5.
	Bài toán trở thành : Tìm xác suất để học sinh trả lời 5 câu đúng. Xác suất để có câu trả lời đúng là (và sai là ). Theo quy tắc cộng và nhân xác suất để học sinh có được 13 điểm là : 
P = 
2. Anh ta bị điểm âm khi 
4x – (12 - x) < 0 ó x < ó x = 0, 1, 2( do x nguyên).
	Gọi A là biến cố “  trả lời sai toàn bộ ”, B là biến cố “ trả lời đúng 1 câu”, C là biến cố “ trả lời đúng 2 câu”. Lập luận như phần 1., ta có:
 P(A) =  ; P(B) = ; P(C) = 
	Gọi X là biến cố “ bị điểm âm”, thì X = A B C , trong đó A, B, C là các biến cố đôi một xung khắc. Theo quy tắc cộng xác suất ta có: 
P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,5583.
Bài 2: Một người bước 8 bước. Mỗi bước anh tiến lên phía trước 0,5 m hoặc lùi lại phía sau 0,5m với xác suất như nhau. Tìm xác xuất để.
1. Anh ta trở lại vạch xuất phát
2. Anh ta cách điểm xuất phát hơn 2m.
Hướng dẫn
	Để giải được bài toán này việc xác định các biến cố là quan trong, do đó học sinh phải xác định mối quan hệ của các giả thiết để tìm ra biến cố, và có những trường hợp nào xảy ra.
1. Anh ta quay lại điểm xuất phát nếu như trong 8 bước có 4 bước tiến, 4 bước lùi. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất, xác suất xảy ra trong trường hợp này là: 
P = = 
2. Gọi x là số bước tiến lên và 8 – x là số bước lùi lại. Khoảng cách giữa anh say rượu với điểm xuất phát là
 |x – (8 – x ) | = |2x – 8|
Từ đó theo giả thiết ta có : |2x – 8 | > 4 x = 0 ; 1 ; 7 ; 8
(do x là số nguyên)
Vì thế chúng ta áp dụng quy tắc cộng và nhân xác suất, thì xác suất trong trường hợp này là : 
P = 
Nhận xét :
	Qua các bài toán trên các em đã thấy rõ tính hiệu quả của phương pháp sử dụng  xác định được các biến cố và các định lý và phép tính xác suất  để tìm xác suất của một biến cố hợp.
Bài 3 : 1. Gieo đồng thời hai con xúc sắc. Tính xác suất để :
Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 9.
Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau là 2
2. Gieo đồng thời ba con xúc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên ba con là 10.
	Hướng dẫn
1. Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra. Vì có hai con xúc sắc, mỗi con có sáu khả năng xuất hiện nên := 6.6=36.
	a. Gọi A là biến cố” tổng các chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là 9”. Khả năng thuận lợi là: (3;6), (4:5), (6:3), (5:4) nên có = 4.
	Từ đó ta có = 
	b. Gọi B là biến cố ” tổng các chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc hơn kém nhau là 2”. Các khả năng thuận lợi là: (1;3), (2;4),(3;5),(4;6), (3;1), (4;2), (4;2), (6;4) nên có = 8
Từ đó ta có = 
2. Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra. Vì có ba con xúc sắc, mỗi con có sáu khả năng xuất hiện nên := 6.6.6=216
	Gọi C là biến cố ” tổng các chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc là 10”. Các khả năng thuận lợi của C là chính là các tổ hợp có tổng bằng 10 sau đây: (1;3;6), (1;4;5),(2;3;5),(2;2;6), (2;3;5), (3;3;4) và các hoán vị của các tổ hợp ấy.
Do vậy = 6+6+3+6+3=24.
	Để ý rằng (1;3;6), (1;4;5),(2;3;5),(2;3;5) thì mỗi tập có 6 hoán vị, còn (2;2;6), (3;3;4) thì mỗi tập có ba hoán vị. Vậy nên: = 
	Nhận xét: Với bài toán trên để xác định được số phần tử của không gian mẫu và không gian các kết quả thuận lợi thì chung ta phải dùng phương pháp liệt kê.
	Hạn chế của phương pháp này là không thể giả quyết được các bài toán mà các biến cố xảy ra nhiều trường hợp, và các bài toán cho số phần tử của không gian mẫu lớn. Chính vì thế ta sẽ tìm cách đưa về các dạng toán tìm số phần tử theo các định nghĩa của đại số tổ hợp.
Bài 4: Trong bình thứ nhất đựng 3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen. Trong bình thứ hai đựng 4 bi đỏ và 6 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi của bình thứ nhất và 1 viên bi của bình thứ hai. Gọi A là biến cố lấy được 3 viên bi đỏ, B là biến cố lấy được cả ba viên bi không cùng màu và C là biến cố lấy được bi đỏ từ bình thứ hai.
Tính xác suất của biến cố A.
Tính xác suất để lấy được ba viên bi cùng màu
Hướng dẫn
a. Lấy 2 bi từ bình thứ nhất đựng 10 viên bi (3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen), và 1 viên bi từ bình thứ hai đựng 10 viên bi ( 4 bi đỏ và 6 viên bi đen). Gọi A là biến cố lấy được 3 viên bi đỏ. Biến cố A chỉ xảy ra khi ta lấy được 2 bi đỏ từ bình thứ nhất và 1 bi đỏ từ bình thứ hai
Xác suất lấy 2 bi đỏ ở bình thứ nhất là: 
Xác suất lấy 1 bi đỏ ở bình thứ hai là: .
Vậy xác suất của biến cố A là: 
b. Gọi E là biến cố lấy được 3 bi cùng màu. Biến cố E xảy ra khi ta lấy được bi đỏ hay 3 bi đen.
Xác suất lấy được 2 bi đen tronng bình thứ nhất là: 
Xác suất lấy được 1 bi đen tronng bình thứ hai là: 
Do đó xác suất lấy được 3 bi đen là : 
Mà hai biến cố lấy được 3 bi đỏ và 3 bi đen là hai biến cố xung khắc. Vậy xác suất lấy được 3 bi cùng màu là 
Do B là biến cố được 3 bi không cùng màu chứng tỏ B là biến cố của biến cố E nên ta có:
	.
Bài 5: Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên một lần ba viên bi. Tính xác suất trong hai trường hợp sau:
a. Lấy được 3 viên cùng màu xanh.
b. Lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh.
Hướng dẫn
	Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách lấy ra 3 viên bi trong đó số 12 viên bi
 	Khi đó có = = 220.
Gọi A là biến cố “ lấy được ba viên bi màu xanh”. Do đó
	= = 10
Vậy = 
Gọi B là biến cố “ lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh”
Để lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh ta có hai cách:
Hoặc lấy ra cả 3 viên bi xanh.
Hoặc lấy ra 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ
Nên = + = 80
Vậy = 
Bài 6: Trong một trăm vé sổ số có 1 vé trúng 100000đồng, 5 vé trúng 50000 đồng và 10 vé trúng 10000 đồng. Một người mua ngẫu nhiên ba vé.
Tìm xác suất để người mua trúng thưởng 30000 đồng.
Tìm xác suất để người mua trúng thưởng 200000 đồng.
Hướng dẫn
Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách mua 3 vé trong 100 vé. Ta có:
= 
Gọi A là biến cố “Người mua trúng thưởng 30000 đồng”.
Để trúng thưởng 30000 đồng thì cả ba vé mua đều trúng thưởng và mỗi vé trúng thưởng là 10000 đồng. Do đó = . 
Khi đó =
Gọi B là biến cố ” Người mua trúng thưởng 200000 đồng”.
Để trúng thưởng 200000 đồng thì do chỉ có 1 vé mua trúng 100000 thưởng và 2 vé mỗi vé trúng thưởng là 50000 đồng. Nên = = 10.
Từ đó ta có: =.
Bài 7. Một nhóm gồm 5 người đàn ông, 4 người phụ nữ và 1 đứa bé xếp vào 1 bàn dài. Tính xác suất để:
a. Đứa bé ở giữa 2 người đàn ông. 
b. Mỗi nhóm ngồi cạnh nhau. 
c. 4 người phụ nữ ngồi xen kẽ giữa 5 người đàn ông. 
Hướng dẫn
Gọi Ω là tập hợp các cách xếp chỗ ngồi cho 10 người
a. Gọi A là biến cố “đứa bé ở giữa 2 người đàn ông” 
- Chọn vị trí đứa bé: 8 cách
- Chọn 2 người đàn ông ngồi 2 bên đứa bé: cách 
- Hoán vị 2 người đàn ông đó: 2! = 2 cách. 
- Chọn chỗ cho 7 người còn lại: 7! = 5040
 Có 80640 cách chọn, . Vây ta có: 
b. Gọi B là biến cố “mỗi nhóm ngồi cạnh nhau”
- Chọn vị trí cho 3 nhóm: 3! = 6 cách. 
- Hoán vị 5 người đàn ông: 5! =120 cách. 
- Hoán vị 4 người phụ nữ: 4! = 24 cách
Nên có cách xếp. 
c. Gọi C là biến cố “4 người phụ nữ ngồi xen kẽ 5 người đàn ông” 
- Chọn vị trí cho đứa bé: 2 cách 
- Hoán vị 5 người đàn ông: 5! = 120 cách 
- Hoán vị 4 người phụ nữ: 4! = 24 cách 
Nên có 5760 cách xếp, . Vậy 
Bài 8:	Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam làm đại diện. Nếu mà không có quả cam nào hỏng thì sọt cam được xếp loại 1; nếu mà có 1 hoặc 2 quả cam hỏng thì sọt cam được xếp loại 2, còn lại được xếp loại 3. Giả sử tỉ lệ cam hỏng là 3% . Hãy tính xác suất để:
1. Cam được xếp loại 1	.
2. Cam được xếp loại 2.
3. Cam được xếp loại 3.
Hướng dẫn
Tỉ lệ cam hỏng là 3%, tức là xác suất lấy ra cam hỏng là 0,03; còn xác suất lấy ra 1 quả cam tốt là 0,97.
1/ Giả thiết sọt cam lớn nhất có nghĩa là phép lấy các quả cam ra là các biến cố độc lập .
	Gọi A là biến cố “ sọt cam xếp loại 1”, theo quy tắc nhân, ta có:
P(A)=(0,97)20.
2/ Gọi B là biến cố “ sọt cam xếp loại 2”
Gọi B1 là biến cố  “ trong 20 quả cam lấy ra có 1 quả cam hỏng”
Gọi B2 là biến cố  “ trong 20 quả cam lấy ra có 2 quả cam hỏng”
Khi đó B= B1 B2, trong đó B