Ôn tập môn Toán lớp 12 - Chủ đề : Hình học giải tích trong không gian

CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Bài 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc
O. Gọi i j k, ,   là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba
trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa
độ Oxyz.
Chú ý: 2 2 2 1i j k     và 0i j i k k j. . .        .
a) Định nghĩa:  u x y z u xi y j zk; ;        
b) Tính chất: Cho 1 2 3 1 2 3a a a a b b b b k R( ; ; ), ( ; ; ),  
 
 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b( ; ; )    

 1 2 3ka ka ka ka( ; ; )
 1 12 2
3 3
a b
a b a b
a b
    
 
 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1i j k( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )     
 a cùng phương 0b b( )   a kb k R( )  
1 1 31 22 2 1 2 3
1 2 33 3
0
a kb aa aa kb b b bb b ba kb
, ( , , )
       
 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b. . . .  
  1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b    
 
 2 2 2 21 2 3a a a a    2 2 21 2 2a a a a  
 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a b a b a ba ba b a b a a a b b b
.cos( , ) . .
  
   
  (với 0a b,   )
Tọa độ của vectơ2
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
a) Định nghĩa:M x y z OM x y z( ; ; ) ( ; ; )  (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao
độ)
Chú ý:  M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y = 0
 M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = 0
b) Tính chất: Cho A A A B B BA x y z B x y z( ; ; ), ( ; ; )
 B A B A B AAB x x y y z z( ; ; )   

 2 2 2B A B A B AAB x x y y z z( ) ( ) ( )     
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 2 2 2A B A B A B
x x y y z zM ; ;     
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
3 3 3
A B C A B C A B Cx x x y y y z z zG ; ;        
 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
4 4 4
A B C D A B C D A B C Cx x x x y y y y z z z zG ; ;           
a) Định nghĩa: Cho 1 2 3a a a a( , , )
 , 1 2 3b b b b( , , )
 .
   2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a a aa b a b a b a b a b a b a b a bb b b b b b, ; ; ; ;
           
  
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của
hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
  i j k j k i k i j, ; , ; ,                 a b a a b b[ , ] ; [ , ]      
  a b a b a b[ , ] . .sin ,      a b,  cùng phương 0a b[ , ]   
c) Ứng dụng của tích có hướng:
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b,  và c đồng phẳng  0a b c[ , ].   
 Diện tích hình bình hành ABCD: ABCDS AB AD,   
 
 Diện tích tam giác ABC: 12ABCS AB AC,    
 
 Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: ABCD A B C DV AB AD AA. ' ' ' ' [ , ]. '
  
 Thể tích tứ diện ABCD: 16ABCDV AB AC AD[ , ].
  
Tọa độ của điểm:3
Tích có hướng của hai vectơ:4
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường
thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác;
tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng
phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
  
0
0
0
a b a b
a và b cùng phương a b
a b c đồng phẳng a b c
.
,
, , , .
  
 
 
  
  
    
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
 Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R cĩ phương trình (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
 Phương trình : x2 + y2 + z2 – 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với a2+b2+c2-d > 0
là phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) , bán kính 2 2 2r a b c d    .
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Trong khơng gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng   luơn cĩ dạng:
0Ax By Cz D    trong đĩ 2 2 2 0A B C   .
Chú ý:
Nếu mặt phẳng   cĩ phương trình 0Ax By Cz D    thì   nhận  ; ;n A B C
làm vectơ pháp tuyến của nĩ.
Mặt phẳng qua điểm  0 0 0 0; ;M x y z và cĩ vectơ pháp tuyến  ; ;n A B C thì cĩ
phương trình tổng quát:      0 0 0 0A x x B y y C z z      .
Nếu   : 0Ax By Cz D     và    / /  thì phương trình mặt phẳng   cĩ dạng
  : ' 0Ax By Cz D     ( 'D D ) trong đĩ, ta cần xác định hằng số D’.
Hai vectơ a b,  không cùng phương nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên () thì
 n a b,   là một VTPT của (). ( BÍ QUYẾT TÌM VTPT)
Các trường hợp riêng
Các hệ số Phương trình mặt Tính chất mặt phẳng ()
M

n
 )
Phương trình tổng quát1
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
phẳng ()
D = 0 0Ax By Cz   () đi qua gốc toạ độ O
A = 0 0By Cz D   () // Ox hoặc ()  Ox
B = 0 0Ax Cz D   () // Oy hoặc ()  Oy
C = 0 0Ax By D   () // Oz hoặc ()  Oz
A = B = 0 0Cz D  () // (Oxy) hoặc ()  (Oxy)
A = C = 0 0By D  () // (Oxz) hoặc ()  (Oxz)
B = C = 0 0Ax D  () // (Oyz) hoặc ()  (Oyz)
Mặt phẳng (Oxy): z = 0 cĩ vectơ pháp tuyến là  0;0;1k
Mặt phẳng (Oxz): y= 0 cĩ vectơ pháp tuyến là  0;1;0j
Mặt phẳng (Oyz): x = 0 cĩ vectơ pháp tuyến là  1;0;0i
Chú ý:Nếu trong phương trình của () không chứa ẩn nào thì () song song
hoặc chứa trục tương ứng.
Nếu mặt phẳng ( ) cắt ba trục tọa độ Ox, Oy,Oz lần lượt tại
     ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c thì phương trình ( ) là: 1x y za b c   phương trình này
được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:
(): 1 1 1 1 0A x B y C z D   
(): 2 2 2 2 0A x B y C z D   
 (), () cắt nhau 1 1 1 2 2 2A B C A B C: : : :
 () // () 1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D  
 ()  () 1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D  
 ()  () . 0n n   
 
1 2 1 2 1 2 0A A B B C C  
Phương trình mặt phẳng theo đoạn
chắn.
2
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng3
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng4
)
)
n
n)
)
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
Cho điểm  ; ;M M MM x y z và mặt phẳng   : 0Ax By Cz D     . Khoảng cách từ M đến mặt
phẳng   là:    2 2 2, M M MAx By Cz Dd M A B C
    
Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và có
VTCP 1 2 3a a a a( ; ; ) :
1
2
3
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
( ) : ( )
       
 Nếu 1 2 3 0a a a  thì 0 0 01 2 3
( ) :    x x y y z zd a a a gọi là phương trình chính tắc
của d
Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số lần lượt là:
0 1
0 2
0 3
x x ta
d y y ta
z z ta
:
      
và 0 10 2
0 3
x x t a
d y y t a
z z t a
:
            
 đường thẳng d đi qua điểm 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và có VTCP 1 2 3a a a a( ; ; ) :
 đường thẳng d’ đi qua điểm 0 0 0 0' ( ' ; ' ; ' )M x y z và có VTCP 1 2 3' ( ' ; ' ; ' )a a a a :
Khi đĩ :
 d // d   
0 0
0
0
a a
a M M
,
,
     
 
 
 d  d    0 0 0a a a M M, ,    
   
 d, d cắt nhau     0 0
0
0
a a
a a M M
,
, .
     
   
 d, d chéo nhau    0 0 0a a M M, .   
 d  d  a a   0a a.   

Cho mặt phẳng (P): cĩ vectơ pháp tuyến  ; ;n A B C và đường thẳng  đi qua điểm
 0 0 0 0; ;M x y z và cĩ vectơ chỉ phương  1 2 3; ;a a a a
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng2
Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt
phẳng
3
Phương trình tham số & chính TẮC của đường thẳng1
d '
d
d
d
d
d '
d '
d '
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
  song song với ()  0
. 0n a
M 
   
 
 nằm trong ()  0
. 0n a
M 
   
 
 cắt () . 0n a  
 vuơng gĩc với () n  cùng phương a
Bài 5: GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
 Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a .
0M M ad M d a
,( , )
  
 

 Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.
– d(M,d) = MH.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
d1 đi qua điểm M1 và có VTCP 1a , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP 2a
1 2 1 2
1 2
1 2
a a M Md d d a a
, .( , ) ,
     
 
 
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng
cách giữa d1 với mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một
điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng () song song với nó
bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ().
5. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP 1 2a a,  .
Góc giữa d1, d2 là  thì 1 2
1 2
.cos . 
a a
a a
 
 
6. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP 1 2 3a a a a( ; ; ) và mặt phẳng () có VTPT n A B C( ; ; ) .
(P)
n
M
)( a
(P)
n
M )(a
(P)
n
M )(a
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
Khi đĩ, nếu gọi  là gĩc giữa  và   thì: 1 2 32 2 2 2 2 2
1 2 3
| . |sin | | . | | .
  
   
 Aa Ba Caa na n A B C a a a
 
 
7. Gĩc giữa hai mặt phẳng
Mặt phẳng   cĩ vectơ pháp tuyến  1 2 3; ;a a a a và mặt phẳng   cĩ vectơ pháp tuyến
 1 2 3; ;b b b b .Gọi  là gĩc giữa hai mặt phẳng   và   , ta cĩ
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.os = .
     
 
 a b a b a b a bc a b a a a b b b
B. CÁC BÀI TỐN TRỌNG TÂM
DẠNG TỐN 1: Phương trình mặt phẳng
Bài1:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)A B C  .Chứng
minh 3 điểm A,B,C khơng thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng ( )ABC .
Hướng dẫn
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
ÁP DỤNG: ( TN2011): Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
(0;0;3), ( 1; 2;1), ( 1;0;2)A B C   .Chứng minh 3 điểm A,B,C khơng thẳng hàng. Viết
phương trình mặt phẳng ( )ABC . Tính diện tích tam giác ABC.
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
Bài 2:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm (2;1;1)A và hai đường
thẳng 1 2 1: 1 3 2
x y zd     . Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm A
đồng thời vuơng gĩc với đường thẳng d
HƯỚNG DẪN
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
ÁP DỤNG: ( TN 2010) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
(1;0;0), (0;2;0), (0;0;3)A B C . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuơng gĩc với
đường thẳng BC.
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Bài 3:Trong khơng gian Oxyz , cho điểm ( 3;2; 3)A   và hai đường thẳng
1
1 2 3: 1 1 1
x y zd      và 2
3 1 5: 1 2 3
x y zd    
1) Chứng minh rằng 1d và 2d cắt nhau.
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1d và 2d . Tính khoảng cách từ A đến mp(P).
HƯỚNG DẪN
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Bài 4:Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1 2 3: 1 1 1
x y zd      và 2
1 6: 1 2 3
x y zd   
1) Chứng minh rằng 1d và 2d chéo nhau.
2) Viết phương trình mp(P) chứa 1d và song song với 2d . Tính khoảng cách giữa 1d và
2d
HƯỚNG DẪN
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
ÁP DỤNG: ( TN 2004) Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d và mặt phẳng (P)
lần lượt cĩ pt
1 10
: 1 ,( ) : 9 5 4 0
1 2
x t
d y t P x y z
z t
           
1) Tìm toạ độ điểm A giao điểm của đường thẳng d và mp(P). Viết phương trình mặt
phẳng (Q) đi qua điểm A, đồng thời vuơng gĩc với đường thẳng d.
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
2) Cho đường thẳng 1 2 2 3: 31 5 1
x y zd     . Chứng minh 1,d d chéo nhau. Viết phương
trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng 1d .
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Bài 5:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho điểm (1;3; 2)I  và đường thẳng
4 4 3: 1 2 1
x y z      . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I và chứa
đường thẳng  .
HƯỚNG DẪN
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Bài 6:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm (3;1; 1), (2; 1;4)A B  và mặt
phẳng( ) : 2 3 1 0P x y z    .Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa hai điểm A,B,
đồng thời vuơng gĩc với mp(P).
HƯỚNG DẪN
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Bài 7:
HƯỚNG DẪN:
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Bài 8:
HƯỚNG DẪN
CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Thầy Ninh Cơng Tuấn – Đăng kí học với Thầy qua số điện thoại 0983.363.284 – FB: cơng tuấn ninh
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
.................................................................