Ôn tập môn Toán lớp 11 - Ôn tập chương vuông góc hình học không gian

ƠN TẬP CHƯƠNG VUƠNG GĨC HHKG (LỚP 11NC)
VẤN ĐỀ 1:VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để biểu diễn một véc tơ qua các véc tơ khác ,chứng minh một đẳng thức véc tơ,chứng minh hai véc tơ vuơng gĩc hay ba véc tơ đồng phẳng ,ta sử dụng các quy tắc :ba điểm,hình bình hành,trung tuyến,trung điểm,trọng tâm tam giác,trọng tâm tứ diện,đường chéo hình hộp.
 CÁC QUI TẮC CẦN NHỚ
	1) Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, M bất kỳ, ta có: 
 2) Qui tắc hiệu 2 vectơ: Cho ba điểm A, B, M bất kỳ, ta có: 
	3) Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: 
	4) Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta có: 
	5) Qui tắc trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, M tuỳ ý. 
	Ta có: 	;	 
	6) Qui tắc trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, M tuỳ ý. Ta có:
 7) Qui tắc trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, M tuỳ ý. Ta có:
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành tâm O.Chứng minh rằng:
 b)
Tìm điểm G sao cho 
Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD,G là trọng tâm tam giác BCD,I là trung điểm AG,M là điểm bất kỳ.Chứng minh rằng: . b)
 BÀI TẬP LÀM THÊM: 
 1/ Cho hình hộp ABCD. .Chứng minh rằng:
 a/ b/ c/ 
2/Cho hình bình hành ABCD .Gọi S là một điểm nằm ngịai mp chứa HBH CMR : 
3/ Cho tứ diện ABCD.Gọi M&Nlà trung điểm AB&CD.CMR: a/ ) b/ 
4/ Cho tứ diện ABCD.Hãy xác địnhhai đỉnh E&F sao cho:a/ ;b/
5/ Cho tứ diện ABCD.Gọi M&Nlà trung điểm AC&BD.Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là điểm bất kỳ .CMR: 
 a/ b/ 
6/ Cho lăng trụ ABC. cĩ ;.Hãy biểu thị các vecto qua các vecto
7/Cho tam giác ABC. Lấy S nằm ngồi mp(ABC). Trên đoạn SA lấy M sao cho và trên BC lấy N sao cho . CMR ba vecto đồng phẳng
VẤN ĐỀ 2. TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để tính gĩc giữa hai đường thẳng a,b chéo nhau trong khơng gian ta cĩ thể áp dụng một trong hai cách sau:
Tìm một gĩc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng a,b;đưa vào một tam giác,sử dụng các hệ thức trong tam giác (đặc biệt là định lý cosin)
Lấy các vec tơ cùng phương với a,b ,biểu diễn qua các vec tơ đã biết,tính rồi suy ra gĩc (a,b).
B.Ví dụ: 
VD 1:Cho tứ diện S.ABC cĩ SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a. Tính gĩc giữa 
a) 2 vectơ b) 2 đường thẳng AB và SC
VD 2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a ; cho SA=a và SA(ABCD) . Tìm gĩc tạo bởi đường thẳng SB & CD 	
VẤN ĐỀ 3.CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để chứng minh đường thẳng a vuơng gĩc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng một trong hai cách sau:
Chứng minh a vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
Chứng minh a//b ,b vuơng gĩc với (P).
Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD cĩ AB vuơng gĩc với BC và BD,tam giác BCD vuơng tại C.kẻ BE vuơng gĩc với AC,EF vuơng gĩc với AC (F thuộc AD).Chứng minh:
a)CD(ABC). b)BE(ACD). c)EF(ABC).
Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD cĩ AB,AC,AD vuơng gĩc từng đơi một.Gọi H là trực tâm tam giác BCD,chứng minh AH (BCD).
Ví dụ 3:Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD,SA (ABCD).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB,SC.Chứng minh: a)BD(SAC). b)MN(SAB). c) CD(SAD). 
VẤN ĐỀ 4:CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC VỚI NHAU
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để chứng minh đường thẳng a vuơng gĩc với đường thẳng b ta cĩ thể áp dụng một trong các cách sau:
Chứng minh gĩc giữa a và b bằng 900.
Chứng minh a vuơng gĩc với mặt phẳng chứa b.
Chứng minh a song song với c, c vuơng gĩc với b.
Sử dụng định lý ba đường vuơng gĩc.
Sử dụng định lý PITAGO đảo
B.VÍ DỤ:
VD1:Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA = SB = SC và . CMR: SABC, SBAC, SC AB
VD2. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang ABCD vuơng ở A và B, AD = 2AB = 2BC.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chĩp là những tam giác vuơng.
b) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh BISC và CISD.
VD3. Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA(ABC), AB = AC, I là trung điểm của BC, AHSI. Chứng minh:
 a) BCAH.	b) AHSB.	
VẤN ĐỀ 5. XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để xác định gĩc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P),ta xác định a/ là hình chiếu của a trên (P).
*Chọn điểm M trên a,tìm hình chiếu H của M trên (P).
*Tìm giao điểm N của a và (P).
*NH chính là a/.
Để tính gĩc MNH ta dùng hệ thức trong tam giác vuơng MHN
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chĩp S.ABCD,đáy là hình thang vuơng tại A&B ,SA vuơng gĩc với đáy,AD=2BC=2AB=2a,SA=.Tính gĩc giữa:
a)các cạnh bên của hình chĩp với mặt đáy (ABCD). b)SB,SC với mặt bên (SAD).
Ví dụ 2:Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ ,ABC là tam giác vuơng cân,AB=BC=a;B/A=B/B=B/C=a.Tính gĩc giữa B/B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (B/AC).
Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD cĩ AD vuơng gĩc với AB và BC,tam giác ABC vuơng cân tại đỉnh B,cạnh AB=a,AD=.Tính gĩc giữa:
 a)DB và (ABC). b)CD và (ABD). c)AC và (ABD).
VẤN ĐỀ 6:XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 
A.PHƯƠNG PHÁP:
Cách thường dùng để xác định gĩc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
*xác định giao tuyến của (P) và (Q).
*Trên (P) tìm AI,trên (Q) tìm BI.
* là gĩc cần tìm (cịn gọi là gĩc phẳng của nhị diện ((P),(Q)).
Cách chứng minh hai mặt phẳng (P),(Q) vuơng gĩc với nhau:
*Chứng minh gĩc giữa chúng bằng 900
*Chứng minh (P) chứa một đường thẳng vuơng gĩc với (Q).
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình tứ diện ABCD cĩ AD vuơng gĩc với AC và AB,ABC là tam giác đều cạnh a,AD .Tính gĩc giữa các cặp mặt phẳng: a)(BAD) và (CAD). b)(ABC) và (DBC). c)(ADC) và (BDC).
Ví dụ 2:Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi cạnh a,gĩc ABC=600,SA vuơng gĩc với đáy ,SA.Tính gĩc giữa các mặt phẳng:
a)(SBC) và (ABCD). b)(SBD) và (ABCD). c)(SBC) và (SCD).
VẤN ĐỀ 7: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUƠNG GĨC VỚI NHAU
A PHƯƠNG PHÁP : Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
 Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
	· Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ^ (Q). · Chứng minh 
B Ví dụ:
Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của DBCD, đường cao DK của DACD.
	a) Chứng minh: AB ^ (BCD) b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
	c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH ^ (ADC).
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ^ (ABCD).
	a) Chứng minh (SAC) ^ (SBD). b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
	c) Gọi BE, DF là hai đường cao của DSBD. CMR: (ACF) ^ (SBC), (AEF) ^ (SAC). HD:	b) 900.
VẤN ĐỀ 8. KHOẢNG CÁCH
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để tính khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng ,giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song ,giữa hai đường thẳng chéo nhau,trước hết ta phải xác định được các đoạn thẳng thỏa mãn tính chất của các loại khoảng cách.
a)Khoảng cách từ điểm M tới mp(P):
-Các định đoạn MH vuơng gĩc với (P) tại H.
-Đơi khi cĩ thể chuyển việc tính khoảng cách từ điểm M tới mp(P) sang việc tính khoảng cách từ một điểm N thuộc mp (Q) qua M và song song với (P),tới mp(P).
b)Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a.
xác định đoạn MH vuơng gĩc (P) với điểm M bất kỳ thuộc a.
c)Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1:Tìm ra đoạn vuơng gĩc chung của a và b (nếu đã cĩ sẳn)
Cách 2:Chọn mp(P) chứa b và song song với a (muốn vậy (P) phải chứa a/ //a)Khoảng cách giữa a và (P) chính là khoảng cách giữa a và b.
Cách 3:Chọn hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau lần lượt chứa b và a.
Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa a và b.
B,Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho tứ diện S.ABC cĩ SA vuơng gĩc với AB và AC,tam giác ABC vuơng ở B,SA=AC=a,gĩc BAC=600.Tính khoảng cách: a)Từ A tới (SBC). b)Từ B tới (SAC).
Ví dụ 2:Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD tâm O,cạnh a.SA vuơng gĩc với đáy ,SA=a.Tính khoảng cách giữa: a)SA và BC. b)SD và BC. c)SC và BD. 
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính 
 khoảng cách giữa hai đường thẳng: SC và BD.	
Ví dụ 4:Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
	a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui.
	b) Chứng minh SC ^ (BHK), HK ^ (SBC). c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
HD: c) Gọi E = AH Ç BC. Đường vuông góc chung của BC và SA là AE.
 BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1/ Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng tại A, gĩc =60 , SB=AB=a ;SB (ABC). Gọi H và K là hình chiếu vuơng gĩc của B lên SA & SC.
 a/ CM AC(SAB) b/CM SC (BHK) c/ CM BHK vuơng 
 d/Tính gĩc tạo bởi SA và (BHK) e/ Tính diện tích tam giác BHK
2/ Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a ; cho SA=a và SA(ABCD) . Gọi H&K là hình chiếu vuơng gĩc của A lên SB & SD 
 a/ CM BD (SAC) b/ CM SC(AHK) tại M 
 c/ Tìm gĩc tạo bởi đường thẳng SB & CD d / Tìm gĩc tạo bởi đường thẳng SA và ( AHK) 
 e/ Tìm diện tích thiết diện tạo bởi (AHK) và hình chopS.ABCD
3/ Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a, mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a.
Chứng minh: SA ^ (ABCD) và tính SA .b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng 
CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). 
 CMR: AK ^ (SBC), AL ^ (SCD).
 c) Tính diện tích tứ giác AKHL. HD:	a) a.	c) .
 d/ Tìm gĩc tạo bởi đường thẳng SB & CD e/ Tìm gĩc tạo bởi đường thẳng SC và ( ABCD) 
4/ Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B, cho SA=AB=BC= a ; AD= 2a ;
SA (ABCD). 
 a/ CM BC(SAB) b/CM SCCD c/ Tìm gĩc tạo bởi AD & SC d/ Tìm gĩc tạo bởi SC & (ABCD) 
 e/ Gọi (P) đi qua AD và vuơng gĩc gĩc SB tại M và cắt SC tại N . Tìm diện tích thiết diện tạo bởi mp(P) và hình 
 chĩp S.ABCD 
 5/ Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD = 600. SC =a, SC vuơng gĩc
 với mặt phẳng đáy .
a)Chứng minh (SBD) ^ (SAC) b)Tính gĩc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD)
c)Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD)
d)Tính khoảng cách giữa đường thẳng BD và đường thẳng SA.
 e)Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm C và vuơng gĩc với SA.Xác định thiết diện của hình chĩp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (P).Tính diện tích của thiết diện theo a.
6/ Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a, cạnh SA vuơng gĩc với đáy và SA = a.
Chứng minh (SAD) vuơng gĩc với (SDC) và (SAC) vuơng gĩc với (SCB).
Gọi là gĩc giữa hai mp(SBC) và (ABCD), tính tan.
Gọi () là mp qua SD và vuơng gĩc với (SAC). 
Hãy xác định () và thiết diện của hình chĩp S.ABCD với (). Tính diện tích của thiết diện.
 7/ Tứ diện SABC cĩ ABC là tam giác vuơng cân tạiB và AC = 2a, cạnh SA vuơng gĩc với mp(ABC) và SA= a.
Chứng minh mp(SAB) vuơng gĩc với mp(SBC). b)Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
 c)Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC). 
8/ Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ cạnh đáy = cạnh bên = a . Gọi I,J là trung điểm BC và BB’
a)Chứng minh rằng BC’ ^ (AIJ) b)Tính gĩc j giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC) c)Tính diện tích tam giác AIJ
9/ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy là hình thoi ABCD cạnh a, gĩc A = 60o , A’A = A’B = A’D = a
a)Tính chiều cao lăng trụ b)Chứng minh rằng hai mặt chéo của lăng trụ vuơng gĩc nhau
c)Tính gĩc j giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD)
d)Tính diện tích tam giác A’BD cà diện tích tồn phần của lăng trụ
10/ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a)Chứng minh rằng hai mặt chéo vuơng gĩc nhau b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’
c)Tính gĩc j giữa hai mặt phẳng (D’AC) và (ABCD) d)Tính diện tích tam giác D’AC
 MỘT SỐ BÀI TẬP ƠN TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ƠN KT 1TIẾT& THI HK II
Bài 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a ;tâm O;gĩc =60, SA (ABC), biết 
 SA = ;kẻ OHAB
	1) Chứng minh rằng BD(SAC) 2) Chứng minh rằng: OHSH
 3) Tính gĩc giữa SB; SC ;SD và mp (ABCD) . 4) ) Tính gĩc giữa SB và (SAC)
 5)Chứng minh rằng : (SBD)(SAC) ; (SOH)(SAB) ; 
 6) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) 7) Tính khoảng cách giữa SC và BD; 
 8) Tính khoảng cách : d( O;(SAB)) và d( B;(SAC))
Bài 2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a ;tâm O , SA (ABCD), SA = .Kẻ AHSB tại H và AKSD tại K
	1) Chứng minh rằng BC(SAB) ; AD(SAB); CD(SAD)
	2) Chứng minh rằng: SC BD . SC AH 3) Chứng minh rằng: SC(AHK)
 4) Tính gĩc giữa SB; SC ; SD và mp (ABCD) . 5) ) Tính gĩc giữa SC và mp (SAB) .;(SAD)
 6)Tính gĩc giữa SO và mp (ABCD) . 7)Chứng minh rằng :(SBC)(SAB) ; (SBD)(SAC)
 8) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) ; (SBD) và (ABCD) ;
 9) Tính khoảng cách giữa SD và BC; SCvà BD 10) Tính khoảng cách d( B;(SAC))
Bài 3: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, SA (ABC), biết SA = ;AB= a
.Kẻ AHSB tại H và AKSC tại K
	1) Chứng minh rằng CB(SAB) 2) Chứng minh rằng: Tam giác AHK là tam giác vuơng
 3) Chứng minh rằng: SC(AHK) 4) Tính gĩc giữa SB; SC và mp (ABC) .
 5) ) Tính gĩc giữa SC và mp (SAB) . 6)Chứng minh rằng : (SBC)(SAB) ; (SBC)(AHK) ; 
 7) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 8) Tính khoảng cách giữa SA và BC; 
 9) Tính khoảng cách d( C;(SAB)); d(A;(SBC))
Bài 4: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA (ABC), biết SA = ;Gọi I và J là trung điểm của AB&AC 1) Chứng minh rằng CI(SAB) 2) Chứng minh rằng: BJSC
 3) Tính gĩc giữa SB; SC và mp (ABC) . 4) ) Tính gĩc giữa SC và mp (SAB) và SB và (SAC)
 5)Chứng minh rằng : (SBJ)(SAC) ; (SIC)(SAB) ; 
 6) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 7) Tính khoảng cách giữa SA và BC; 
 8) Tính khoảng cách : d( C;(SAB)) và d( B;(SAC)); d(A;(SBC))
 Bài 5: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A&B, SA (ABCD), SA = a ; goi I 
là trung điểm AD ;biết AB=BC=a ;AD= 2a
	1) Chứng minh rằng CB(SAB) 2) Chứng minh rằng: ABCI là hình vuơng .Suy ra: CI SD . 
 3) Tính gĩc giữa SB; SC ; SD và mp (ABCD) . 4) ) Tính gĩc giữa SC và mp (SAB) .
 5)Tính gĩc giữa SC và mp (SAD) . 6)Chứng minh rằng :(SBC)(SAB) ; (SAD)(SIC)
 7) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 
 8) Tính khoảng cách giữa SA và BC; SBvà AD 9) Tính khoảng cách d( C;(SAD))
BÀI 6. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với đáy, SA = .
	1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chĩp là những tam giác vuơng.
	2) Chứng minh rằng: (SAC) (SBD) . 3) Tính gĩc giữa SC và mp (SAB) .
 4) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) 5) Tính khoảng cách giữa SD và BC
BÀI 7. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = , SD= và 
 SA (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
	a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chĩp là các tam giác vuơng.
	b) Tính gĩc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD). c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
BÀI 8. Cho tứ diện OABC cĩ OA, OB, OC, đơi một vuơng gĩc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC
 1) Chứng minh rằng: (OAI) (ABC). 2) Chứng minh rằng: BC (AOI).
	3) Tính gĩc giữa AB và mặt phẳng (AOI). 4) Tính gĩc giữa các đường thẳng AI và OB
BÀI 9. Cho hình chĩp S.ABC cĩ DABC vuơng tại A, gĩc = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuơng gĩc với đáy; SB = a. Hạ BH ^ SA (H Ỵ SA); BK ^ SC (K Ỵ SC).
	1) Chứng minh: SB ^ (ABC)	 2) Chứng minh: mp(BHK) ^ SC.
	3) Chứng minh: DBHK vuơng . 4) Tính cosin của gĩc tạo bởi SA và (BHK).
BÀI 10. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a, và SA = SB = SD = a.
	a) Chứng minh (SAC) vuơng gĩc với (ABCD). b) Chứng minh tam giác SAC vuơng.
	c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
BÀI 11. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, , đường cao SO = a. 
	a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC (SOK)
	b) Tính gĩc giữa SK và mp(ABCD). c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
BÀI 12. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA ^ (ABCD) và ABCD là hình thang vuơng tại A, B . AB = BC = a, .
	a) Chứng minh các mặt bên của hình chĩp là các tam giác vuơng.
	b) Tính gĩc giữa (SBC) và (ABCD). c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
BÀI 13. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA = a, SA vuơng gĩc với (ABCD). Gọi I, K là hình chiếu vuơng gĩc của A lên SB, SD.
	a) Chứng minh các mặt bên hình chĩp là các tam giác vuơng. b) Chứng minh: (SAC) vuơng gĩc (AIK).
	c) Tính gĩc giữa SC và (SAB). d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
BÀI 14. Cho tứ diện S.ABC cĩ DABC đều cạnh a, . Gọi I là trung điểm BC. 
a) Chứng minh: (SBC) vuơng gĩc (SAI). b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC). c) Tính gĩc giữa (SBC) và (ABC).
 BÀI 15. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ^ (ABC), SA = .
	a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ^ (SAM).
 b) Tính gĩc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC). c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
 BÀI 16. Chohìnhchĩptứgiác đều S.ABCDcĩ cạnhđáy bằng 2a, đường caoSO = . Gọi I là trung điểm SO.
	a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD). b) Tính gĩc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD).
	c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
BÀI 17. Cho hình vuơng ABCD và tam giác đều SAB cạnh bằng a, nằm trong hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB.
	a) Chứng minh tam giác SAD vuơng. b) Tính khoảng cách giữa SD và BC.
	c) Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID) ^ (SFC). Tính khoảng cách từ I đến (SFC).
BÀI 18. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ cạnh bên vuơng gĩc với đáy và đáy ABC là tam giác vuơng tại B 
 và BA= BC = a. Biết A=a .
 a)CM BC b)CM AB 
 c)Tìm gĩc tạo bởi và (ABC) d)Tìm gĩc tạo bởi AC và 
BÀI 19. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ cĩ ABC là tam giác đều cạnh a; AA’ vuơng gĩc với mp(ABC) và 
AA’ = . Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
 a)Chứng minh AB vuơng gĩc với mp (COO’). b/Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’.