Ôn tập môn Toán lớp 11 - Bài tập quan hệ vuông góc trong không gian

BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1. Cho hai tam giác cân có chung cạnh đáy và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng:
	b) 
Bài 2. Cho hình chóp có . Gọi lần lượt là trực tâm của các tam giác . Chứng minh rằng:
Ba đường thẳng đồng quy.
Bài 3. Cho tứ diện đều cạnh , gọi là trung điểm của . Tính cosin của góc giữa:
Hai đường thẳng và .
Các cạnh bên và mặt đáy.
Độ dài đoạn nối với hình chiếu của nó trên .
Bài 4. Cho tứ diện có .
Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện của tứ diện thì vuông góc với hai cạnh đó.
Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng và .
Bài 5. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , các cạnh bên bằng nhau và bằng . Gọi là tâm đa giác đáy.
Tính độ dài đoạn nối với hình chiếu của nó trên .
Chứng minh và .
Tính góc giữa và .
Bài 6. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tâm ; và . Gọi là trung điểm của và là trung điểm của .
Chưng minh .
Tính khoảng cách từ đến đường thẳng và khoảng cách từ đến đường thẳng .
Bài 7. Cho tứ diện có là tam giác vuông ở , cạnh vuông góc với mặt phẳng , , , . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
Tính độ dài đoạn .
Tìm hệ thức liên hệ giữa để là đoạn vuông góc chung của và .
Bài 8. Cho hai tia vuông góc nhau tại ; là hai điểm di động lần lượt thuộc sao cho ( là hằng số). Gọi là trung điểm của ; trên đường thẳng qua vuông góc với lấy điểm cố định.
Khi di động trên thì chạy trên đường nào ?
Xác định vị trí của để tam giác có diện tích lớn nhất.
Bài 9. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và , .
Tính khoảng cách từ đến và độ dài cạnh .
Chứng minh và .
Gọi là góc giữa và , tính .
Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên và cạnh đáy bằng . Gọi là tâm của tứ giác .
Tính độ dài đoạn thẳng .
Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng .
Tính độ dài đoạn và tính góc giữa hai mặt phẳng .
Bài 11. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , cạnh và có ; cạnh bên vuông góc với và .
Chứng minh .
Trong tam giác kẻ tại . Tính độ dài đoạn .
Chứng minh , từ đó suy ra .
Bài 12. Tứ diện có và là hai tam giác nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau. là tam giác đều cạnh , là tam giác vuông tại và .
Xác định hình chiếu của trên .
Tính độ dài đoạn .
Gọi là trung điểm của . Chứng minh . Tính khoảng cách từ đến .
Bài 13 (KD – 2007) . Cho hình chóp có đáy là hình thang, , , . Cạnh bên vuông góc với mặt đáy và .
Chưng minh tam giác vuông tại .
Tính .
Bài 14. Cho hình vuông và tam giác đều cạnh nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi là trung điểm của .
Chứng minh .
Tính góc giữa và .
Gọi là trung điểm của . Chứng minh .
Tính khoảng cách từ đến .
Bài 15. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và . Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với , cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng:
, .
, từ đó chứng minh .
 đi qua trọng tâm tam giác .
Bài 16. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và có các cạnh bên . Chứng minh:
.
Tam giác vuông tại .
Bài 17. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên .
Chứng minh rằng .
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Tính chu vi tam giác .
Bài 18. Cho hình vuông cạnh , tâm . Trên đường thẳng qua và vuông góc với lấy điểm sao cho . Mặt phẳng qua và vuông góc với lần lượt cắt tại .
Tính độ dài đoạn . Chứng minh là trung điểm của .
Chứng minh đồng quy và , từ đó suy ra cách xác định .
Tính diện tích tứ giác .