Ôn tập môn Toán lớp 10 - Ôn tập Mặt cầu

MẶT cÇu
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 .Phương trình maët caàu taâmI(a ; b ; c),baùn kính R 
 (1)
 (2)
 ()
Taâm I(a ; b ; c) vaø 	
2.Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu
	Cho 
	vaø a : Ax + By + Cz + D = 0 
	Goïi d = d(I,a) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mpa :
d > R : (S) Ç a = f
d = R : a tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, a: tieáp dieän)
 *Tìm tieáp ñieåm H (laø hchieáu cuûa taâm I treân mpa)
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mpa : ta coù 
Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø (a)
d < R : a caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt 
 *Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn:
+ baùn kính 
+ Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mpa)
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mpa : ta coù 
Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø (a)
3.Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu
 (1) vaø 
 (2)
 + Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t, 
	+ Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm. KÕt luËn vÒ vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng vµ mÆt cÇu.
MOÄT SOÁ DAÏNG TOAÙN VEÀ MAËT CAÀU
Daïng 1: Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu.
Phöông phaùp giaûi:
Caùch I: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng :
 (x – a )2 + ( y -b)2 + (z – c ) =R2 maët caàu coù taâm I (a;b;c) baùn kính R.
Caùch II: Ñoàng nhaát phöông trình ñaõ cho vôùi phöông trình : x2+y2 + z2 +2Ax + 2By + Cz + D = 0 tìm ñöôïc A,B,C,D neáu A2+B2+C2 -D ³ 0
 Phöông trình ñaõ cho laø phöông trình maët caàu taâm I(-A; -B; -C), baùn kính R=
Daïng 2: Xaùc ñònh vò trí töông ñoái cuûa mp () vôùi maët caàu C.
Phöông phaùp giaûi:
B1: Xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R cuûa maët caàu (C).
B2: Xaùc ñònh caùc vò trí töông ñoái nhôø:
Neáu d(I,() ) = R () tieáp xuùc (C).
Neáu d(I,() ) > R () vaø (C) khoâng coù ñieåm chung.
Neáu d(I,() ) < R () caét (C) baèng moät maët caàu.
phöông trình laø: 
Daïng 3: Xaùc ñònh taâm baùn kính maët caàu giao tuyeán cuûa moät maët phaêûng () vaø moät maët caàu C (I,R).
Phöông phaùp giaûi:
Laäp phöông trình ñöôøng thaúng D qua I vuoâng goùc vôùi Mp () . (laäp phöông trình tham soá.)
Taâm H cuûa maët caàu giao tuyeán laø giao ñieåm cuûa D vaø mp () Toaï ñoä H laø nghieäm cuûa heä. 
Baùn kính maët caàu giao tuyeán laø: r = 
Daïng 4: Xaùc ñònh tieáp ñieåm cuûa moät maët phaêûng () vaø moät maët caàu C (I,R).
Phöông phaùp giaûi:
Laäp phöông trình ñöôøng thaúng D qua I vuoâng goùc vôùi Mp () . (laäp phöông trình tham soá.)
Tieáp ñieåm H cuûa mp() vaø maët caàu C (I,R) laø giao ñieåm cuûa D vaø mp (). Toaï ñoä H laø nghieäm cuûa heä. 
Daïng 5: ViÕt ph­¬ng tr×nh maët phaúng tieáp diÖn cña maët caàu taïi A
Tieáp dieän (a) cuûa mc(S) taïi A : (a) qua A,
Daïng 6 : Laäp phöông trình maët caàu
Phöông phaùp chung: 
C1: Tìm taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu roài laäp phöông trình toång quaùt. Neáu taâm I (a; b; c), baùn kính R phöông trình maët caàu laø : 
 (x – a )2 + ( y -b)2 + (z - c)2 =R2 .
C2: Tìm A, B, C, D roài laäp phöông trình toång quaùt daïng khai trieån laø 
 x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D = 0.
Moät soá baøi toaùn cuï theåvÒ viÕt PT mÆt cÇu thöôøng gaëp:
Laäp phöông trình maët caàu taâm I, ñi qua M.
 Baùn kính chính laø khoaûng caùch töø taâm I tôùi ñieåm M
Laäp phöông trình maët caàu ñöôøng kính AB khi bieát toaï ñoä A vaø B.
 Taâm laø trung ñieåm I cuûa ñoaïn AB. Baùn kính R= AI= 
Laäp phöông trình maët caàu taâm I(a;b;c) tieáp xuùc vôùi moät maët phaúng () cho tröôùc.
 Baùn kính maët caàu laø R= d(I, () ).
Laäp phöông trình maët caàu taâm I(a;b;c) tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng D cho tröôùc.
 Baùn kính maët caàu laø R= d(I, D ).
Laäp phöông trình maët caàu ñi qua 4 ñieåm A, B, C,D ( Hay ngoaïi tieáp töù dieän ABCD).
C¸ch1: Theá toaï ñoä cuûa A, B, C, D laàn löôït vaøo phöông trình:
x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D = 0. Ta ñöôïc heä 4 phöông trình 4 aån soá giaûi heä naøy baèng caùch ruùt moät aån töø moät phöông trình theá vaøo caùc phöông trình coøn laïi. Roài giaûi heä 3 phöông trình 3 aån Þ caùc heä soá A , B, C, D phöông trình maët caàu. 
C¸ch 2: Goïi I(x;y;z) laø taâm hình caàu giaûi heä 
Þ toaï ñoä taâm I, baùn kính R= AI Þ phöông trình maët caàu.
Laäp phöông trình maët caàu ñi qua 3 ñieåm A, B, C vaø coù taâm naèm treân mp () .
 Phöông trình Maët caàu coù daïng:
 x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D = 0. Theá toaï ñoä cuûa A, B, C vaøo phöông trình maët caàu, theá taâm I(-A,-B,-C) vaøo phöông trình maët phaúng () . Giaûi heä 4 phöông trình 4 aån tìm A, B, C, D Þ phöông trình.
Laäp phöông trình maët caàu(S) taâm I caét d taïi 2 ñieåm A, B sao cho AB=l. Baùn kính cuûa maët caàu laø R= 
MOÄT SOÁ BAØI TAÄP LUYEÄN TAÄP
1. Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y, ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh cña mÆt cÇu, khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 
2. a/LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m I(2; 2; -3) b¸n kÝnh b»ng 3.
 b/LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua ®iÓm A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) vµ t©m .
	§S: 
3. LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua ®iÓm A(3; 1; -1) vµ t©m I(1; 2; -1).
4. Cho hai ®iÓm A(-5; -1; 2), B(3; -1; -4). ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®­êng kÝnh AB.
5. LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt:
a. T©m I(2; 1; -1), b¸n kÝnh b»ng 4.
b. §i qua ®iÓm A(2; 1; -3) vµ t©m I(3; -2; -1).
c. §i qua ®iÓm , vµ t©m .
d. Hai ®Çu ®­êng kÝnh lµ , .
6. LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua ®iÓm vµ t©m I n»m trªn mÆt ph¼ng (P): .
	§S: .	
7. Cho mÆt cÇu (S) cã ph­¬ng tr×nh: .
 a. X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu.
 b. Gäi A, B, C lÇn l­ît lµ giao ®iÓm (kh¸c gèc to¹ ®é) cña mÆt cÇu víi c¸c trôc Ox, Oy, Oz. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC).
 c. Gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ t©m mÆt cÇu (S) ®Õn mÆt ph¼ng (ABC). X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm H.	 §S: a. T©m I(1;2;2), R=3; b. 2x+y+z-4=0; c. H
8. Cho hä mÆt cong cã ph­¬ng tr×nh: 
 a. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó lµ mét hä mÆt cÇu.
 b. CMR t©m cña hä lu«n n»m trªn mét parabol (P) cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng Oxy khi m thay ®æi.
 §S: a. lu«n lµ ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu víi mäi m; b. T©m 
	§S: b. 4; c. 
 d. ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng c¸ch ®Òu vµ .
9. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt:
 a. T©m I (1; 2; 3) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P): 3x-4y-10=0.
 b. B¸n kÝnh b»ng 3 vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P): 2x+2y+z+3=0 t¹i ®iÓm M(-3; 1; 1).
 a.
 b..
10. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt:
a. T©m I (1; 2; -2) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P): 6x-3y+2z-11=0.
b. B¸n kÝnh b»ng 9 vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1; 1; -3).
c. T©m I (1; 4; -7) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P): 6x+6y-7z+42=0.
11. Cho (d): 
vµ hai mÆt ph¼ng , 
ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m I thuéc (d) vµ tiÕp xóc víi hai mÆt ph¼ng .
	§S: .
12. Cho ®­êng th¼ng (d) vµ hai mÆt ph¼ng biÕt:
(d): , , 
 a. Gäi A, B lµ giao ®iÓm cña (d) víi . TÝnh ®é dµi ®o¹n AB.
 b. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m I trªn ®­êng th¼ng (d) vµ tiÕp xóc víi hai mÆt ph¼ng vµ .
13. Cho ®­êng th¼ng (d) (d): vµ mÆt ph¼ng (P): . ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cã t©m n»m trªn ®­êng th¼ng (d), tiÕp xóc víi m¹t ph¼ng (P) vµ cã b¸n kÝnh b»ng 1.
	§S: 
14. Cho mÆt ph¼ng (P): .
 a. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cã t©m lµ gèc to¹ ®é, tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P).
 b. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm H cña mÆt ph¼ng (P) víi mÆt cÇu (S).
 c. T×m ®iÓm ®èi xøng cña gèc to¹ ®é O qua mÆt ph¼ng (P).
	 	 §S: a. , b. , c. .
15. LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cã t©m t¹i giao ®iÓm I cña mÆt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) sao cho mÆt ph¼ng (Q) c¾t khèi cÇu theo thiÕt diÖn lµ h×nh trßn cã diÖn tÝch , biÕt:
16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; ;1) và mặt phẳng (P): x+y+z-2=0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc (P).
(ĐH D04-05)	ĐS: 
17.1. Tính khoảng cách từ mặt phẳng (P): 2x+2y-2z+15=0 đến mặt cầu (Q): .
 2. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua tâm của (Q) và vuông góc với (P).
(ĐH An Giang A00-01)	 ĐS: 1. ; 2. 
18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm I(0; 1; 2), A(1; 2; 3), B(0; 1; 3).
 1. Viết phương trình của mặt cầu (S) tâm I qua điểm A.
 Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua điểm B có vectơ pháp tuyến là (1; 1; 1).
 2. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C).
 3. Tìm tâm và bán kính của (C).
 (ĐH Đà Lạt A, B01-02)
19. Cho đường thẳng (d) có phương trình và mặt phẳng (P): 2x-y-2z-2=0
 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), tâm cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
 2. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
 (ĐH Lâm Nghiệp 01-02)
20. Cho mặt cầu (S):và mặt phẳng (P): x-2y+3z-20=0.
 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S).
 2. Tìm khoảng cách từ điểm M(1; 2; 3) đến mặt phẳng (P).
 3. Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C), hãy tìm tâm và bán kính của (C).
 4. Gọi tâm hình cầu là I, tìm điểm J đối xứng với I qua mặt phẳng (P).
 (Viện ĐH Mở HN 01-02)
21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình: x-y-z+m=0 (m là tham số) và mặt cầu (S) có phương trình: .
 1. Hãy xác định tọa độ tam và bán kính của mặt cầu (S).
 2. Xét vị trí tương đối của (S) và (α) tùy theo giá trị của tham số m.
 3. Tìm tọa độ các giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm A(4; 6; 2), B(7; 0; -1) và viết phương trình của các mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm đó.
 (ĐH DL KTCN D01-02)
22. 1. Cho mặt phẳng (P1): 3x+4y-5z+a=0 (a là tham số). Tìm a để (P1) tiÕp xúc với mặt cầu (S): 
2. Lập phương trình mặt cầu có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mặt phẳng (P2): x-y+z-5=0.
(CĐ GTVT 01-02)
23. Trong không gian Oxyz,cho mặt cầu (S): .
 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại điểm M(1; 3; 4).
 2. Mặt phẳng tọa độ Oxy cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C). Xác định tâm và tính bán kính của (C).
 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết rằng tiếp tuyến này đi qua điểm N(4; 7). (CĐ SP Đồng Nai A01-02)
.
24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): x+z=2.
 1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến giữa (P) và (S).
 2. Viết phương trình của đường cong (C1) là hình chiếu vuông góc của (C) trên mặt phẳng tọa độ Oxyz.
 (ĐH Thủy Lợi A00-01) ĐS: 1. tâm (1; 0; 1), bán kính ; 2. (C1): {2x2-4x+y2=0; z=0}
25. Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): x+2y+2z+11=0.
 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S).
 2. Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
(ĐH Thủy Lợi cơ sở II 00-01)	ĐS: 1. Tâm (3; -2; 1), bán kính 3; 2. M(2; -4; -1)
26. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song (P1), (P2) có các phương trình tương ứng là: và điểm A(-1; 1; 1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi S là mặt cầu bất kì qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P1), (P2).
 1. Chứng tỏ rằng bán kính của hình cầu S là một hằng số và tính bán kính đó.
 2. Gọi I là tâm của hình cầu S. Chứng tỏ rằng I thuộc một đường tròn cố định. Xác định toạ độ của tâm và bán kính của đường tròn đó.
(ĐH QGHN & HV Ngân Hàng A01-02)
27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ sao cho A trùng với gốc O; B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm của hình vuông ADD’A’.
 1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm C, D’, M, N.
 2. Tính bán kính đường tròn giao của (S) với mặt cầu đi qua các điểm A’, B, C’, D.
 3. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (CMN).
(ĐH SPHN B, D00-01) ĐS: ; 2. ; 3. 
(CĐSP TP.HCM 01-02)	 ĐS: 2. 4; 3. (S) có tâm (2; 1; 2) và bán kính 2.
28. Cho mặt cầu (S): và ba điểm A(3; 1; 0), B(2; 2; 4), C(-1; 2; 1) nằm trên mặt cầu đó.
 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B, C.
 2. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S).
 3. Tìm tâm và bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 (DHDL Hải Phòng A00-01)
29. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz lấy các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a>0, b>0, c>0 và 
 1. Chứng minh rằng khi a, b, c thay đổi mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định đó.
 2. Tìm tâm, tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC và chứng minh rằng: