Ôn tập môn Toán lớp 10 - Một vài hệ phương trình thường gặp

Một Vài Hệ Phương Trình Thường Gặp
Phần I : HỆ PHƯƠNG TRèNH NH ẤT HAI ẨN
	Dạng toỏn thường gặp:
	1 - Hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn
	2 - Hệ phương trỡnh cú nghiệm thoả món điều kiện cho trước
	3 - Ứng dụng hệ phương trỡnh bậc nhất giải cỏc bài toỏn: 
	a) Hai phương trỡnh bậc hai cú nghiệm chung
	b) Xột vị trớ tương đối của hai đường thẳng
	c) Biện luận GTNN của biểu thức chứa hai ẩn
Dạng I: Giải và biện luận hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn
I - Phương phỏp:
Giải và biện luận hệ phương trỡnh: (I)
Ta thực hiện việc giải hệ phương trỡnh (I) bằng cỏch tớnh định thức cấp hai
 ; ; 
1- Nếu : 
	Hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất: 
2 - Nếu : Xột cỏc trường hợp
	* Nếu , thỡ hệ phương trỡnh vụ nghiệm.
	* Nếu , thỡ hệ phương trỡnh cú vụ số nghiệm.
Kết luận: 
	- Với , hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất: 
	- Với , thỡ hệ phương trỡnh cú vụ số nghiệm.
	- Với và hoặc thỡ hệ phương trỡnh vụ nghiệm.
II – Bài tập minh hoạ:
Vớ dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trỡnh
Giải:
	Ta cú 
TH1: Nếu 
	Hệ cú nghiệm duy nhất 
TH2: Nếu D = 0 6ab = 0 a = 0 hoặc b = 0
	* Với a = 0, suy ra Dx = Dy = b2
	- Khi b = 0 thỡ Dx = Dy = 0, hệ cú vụ số nghiệm.
	- Khi thỡ , hệ vụ nghiệm.
	* Với b = 0, suy ra Dx = 2a2 và Dy = -2a2
	- Khi a = 0 thỡ Dx = Dy = 0, hệ cú vụ số nghiệm.
	- Khi thỡ , hệ vụ nghiệm.
Kết luận:
 	- Với và , hệ cú nghiệm 
	- Với a = b = 0 , hệ cú vụ số nghiệm.
	- Với a = 0 và , hệ vụ nghiệm.
	- Với và b = 0, hệ vụ nghiệm.
* Nhận xột:
	Việc phõn tớch tham số trong bài toỏn giải và biện luận hệ pt bậc nhất cú thể được liờn kết vớớ việc sử dụng cỏc hằng đẳng thức lượng giỏc. 
Vớ dụ 2: Cho hệ phương trỡnh:
, với là tham số.
	a) Giải và biện luận hệ pt ?
	b) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa nghiệm x, y của hệ khụng phụ thuộc vào ?
Giải:
a) Ta cú:
	Xết cỏc trường hợp:
TH1: Nếu 
	Hệ cú nghiệm duy nhất 
TH2: Nếu D = 0 
 Với , hệ cú vụ số nghiệm.
	* Kết luận:
	- Với cú nghiệm duy nhất 
	- Với hệ cú vụ số nghiệm.
b)Từ cặp nghiệm (x, y) ta cú:
	 Đú là hệ thức liờn hệ giữa nghiệm x, y khụng phụ thuộc vào .
III – Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho hệ phương trỡnh: 
	a) Xtộ nghiệm của hệ với a = 0, a ?
	b) Giải và biện luận hệ phương trỡnh theo tham số a ?
Bài 2: Cho hệ phương trỡnh 
	a) Giải và biện luận hệ phương trỡnh theo tham số m ?
	b) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa cỏc nghiệm x, y khụng phụ thuộc tham số m ?
Bài 3: Cho hệ phương trỡnh:
	a) Giải và biện luận hệ phương trỡnh theo ?
	b) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa cỏc nghiệm x, y khụng phụ thuộc vào ?
Bài 4: Hóy xỏc địng tất cả cỏc giỏ trị của a, b sao cho nghiệm của bất phương trỡnh:
	Là đoạn [-2; 5].
Dạng II: Hệ phương trỡnh cú nghiệm thoả món điều kiện cho trước
I - Phương phỏp:
Cho hệ phương trỡnh: (I)
Tỡm nghiệm của hệ phương trỡnh thoả món điều kiện K ?
Phương phỏp:
Ta thực hiện việc giải hệ phương trỡnh (I) bằng cỏch tớnh định thức cấp hai
 ; ; 
Xột cỏc khả năng:
	a) - Với , hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất: 
	b)- Với , thỡ hệ phương trỡnh cú vụ số nghiệm.
	c)- Với và hoặc thỡ hệ phương trỡnh vụ nghiệm.
	Trong cỏc trường hợp a, c phải so sỏnh cỏc giỏ trị của nghiệm với điều kiện K nếu cú để tỡm được kết luận đỳng.
II – Vớ dụ minh hoạ:
Vớ dụ 1: Tỡm m nguyờn để hệ phương trỡnh 
	Cú nghiệm nguyờn ?
Giải:
	Ta cú : 
Xột cỏc trường hợp:
TH1: Nếu 
	Với ta cú , hệ vụ nghiệm.
TH2: Nếu , hệ cú nghiệm duy nhất
	Vậy để hệ cú nghiệm nguyờn khi và chỉ khi m nguyờn và 2m – 3 là ước của 6.
 	Mà cỏc ước của 6 là: 
	So sỏnh cỏc điều kiện ta cú 
	Với m = 0; 1; 2; 3 thỡ hệ cú nghiệm nguyờn.
Nhận xột:
	Điều kiện về nghiệm của hệ cú thể là cỏc điều kiện thụng thường như: Hệ cú nghiệm, hệ vụ nghiệm, hệ cú vụ số nghiệm, Tuy nhiờn trong cỏc bài toỏn liờn kết với hệ phương trỡnh của cỏc hàm số như hàm Lượng giỏc hoặc hàm Mũ, thỡ điều kiện sẽ được làm chặt hơn.
Vớ dụ 2: Cho hệ phương trỡnh:
	(I)
	a) Tỡm m để hệ phương trỡnh cú nghiệm ?
	b) Tỡm m để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm: 
	(II)
Giải:
a) Ta cú: 
	TH1 : Nếu , hệ luụn cú nghiệm duy nhất.
	TH2: Nếu 
	* Với , hệ cú vụ số nghiệm.
	* Với , hệ vụ nghiệm.
KL: Vậy với thỡ hệ pt luụn cú nghiệm.
b) Đặt ẩn phụ:
	(*)
Hệ (II) cú dạng: 
	(III)
Xột hệ phương trỡnh (III) ta cú: 
TH1: Nếu 
	* Với m = 1, hệ (III) cú dạng: , vụ nghiệm vỡ: 
	* Với m = -1, hệ (III) vụ nghiệm.
TH1 : Nếu , hệ (III) luụn cú nghiệm duy nhất:
	Nghiệm thoả món điều kiện (*) khi: 
KL: Vậy hệ (II) cú nghiệm khi 
Vớ dụ 3: Cho hệ phương trỡnh: 
 (I)
	a) Tỡm m để hệ cú nghiệm duy nhất ?
	b) Tỡm m nguyờn để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyờn ?
Giải:
Đặt: 
Hệ (I) trở thành: 	
Ta cú: 
a) Hệ cú nghiệm duy nhất: 
Vậy hệ cú nghiệm khi : 
b) Với m nguyờn ta cú m = - 2, khi đú hệ cú là:
Vậy với m = -2 thỡ hệ cú nghiệm nguyờn là (0;1).
III – Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho hệ phương trỡnh:
	a) Giải và biện luận hệ phương trỡnh theo m?
	b) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa cỏc nghiệm x, y khụng phụ thuộc m ?
	c) Khi hệ cú nghiệm duy nhất, tỡm m nguyờn để hệ cú nghiệm nguyờn ?
Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trỡnh theo tham số m:
	a) 	b) 
Bài 3: Giải sử hệ phương trỡnh :
Cú nghiệm. CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc ?
Bài 4: Tỡm m để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm: 
Bài 5: Giải và biện luận hệ phương trỡnh sau theo tham số m :
Dạng III: Ứng dụng của hệ phương trỡnh bậc nhất:
(1) Áp dụng 1: Xột hai phương trỡnh bậc hai cú nghiệm chung.
I - Bài toỏn tổng quỏt: Tỡm điều kiện để hai phương trỡnh sau cú nghiệm chung
Phương phỏp:
Bước 1: Xột hệ phương trỡnh tạo bởi hai phương trỡnh bậc hai:
	(I)
Bước 2: Đặt , ta được hệ:
	(I) trở thành: (II)
Bước 3: Để hai phương trỡnh cú nghiệm chung thỡ hệ (II) phải cú nghiệm thoả món , 
	ta cú điều kiện:
Bước 4: Thử lại.
II- Vớ dụ minh hoạ:
Vớ dụ 1: Với giỏi trị nào của m thỡ hai phương trỡnh sau cú nghiệm chung:
	Giải:
Cỏc phương trỡnh đó cho cú nghiệm chung khi và chỉ khi hệ sau cú nghiệm:
	 (I)
Đặt , ta được hệ:
	(I) trở thành: (II)
Ta cú: 
Vỡ , hệ cú nghiệm duy nhất: 
Hệ (I) cú nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) cú nghiệm thoả món , nờn ta phải cú:
Thử lại ta cú: Với m = -1 thỡ hai phương trỡnh cú nghiệm chung là x = 1. 
Vớ dụ 2: CMR nếu hai phương trỡnh
Cú nghiệm chung thỡ: 
	(*)
	Giải:
Cỏc phương trỡnh cú nghiệm chung khi và chỉ khi hệ pt sau cú nghiệm: 
Đặt , ta được hệ:
Ta cú: 
TH1: Nếu , hệ cú nghiệm duy nhất: 
 Do , nờn ta phải cú :
	Khi đú (*) đỳng.
TH2: Nếu .
	Hệ cú nghiệm 
	Khi đú (*) đỳng.
Vậy: Hai phương trỡnh cú nghiệm chung thỡ: (đpcm)
III – Bài tập đề nghị:
Bài 1: Với giỏ trị nào của m thỡ cỏc cặp phương trỡnh sau cú nghiệm chung:
	a) 
	b) 
Bài 2 (ĐH Thỏi Nguyờn 2000): Với giỏ trị nào của m thỡ cỏc cặp phương trỡnh sau cú nghiệm chung:
(2) Ứng dụng 2: Biện luận vị trớ tương đối của hai đường thẳng:
I - Bài toỏn tổng quỏt:
	Cho hai đường thẳng: d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0
	Biện luận theo cỏc giỏ trị của tham số vị trớ tương đối của hai đường thẳng ?
	Phương phỏp:
Bước 1: Xột hệ phương trỡnh tạo bởi d1 và d2:
	 	(I)
Bước 2: Dựa vào biờn luận số nghiệm của hệ (I) ta cú được vị trớ tương đối của hai đường thẳng:
	* Nếu hệ (I) vụ nghiệm 
	* Nếu hệ (I) cú nghiệm duy nhất 
	* Nếu hệ (I) vụ số nghiệm 
II – Vớ dụ minh hoạ:
Vớ dị 1: Cho hai đường thẳng d1 và d2 cú phương trỡnh:
	(d1): kx – y + k = 0 và (d2): 
	a) Với mỗi giỏ trị của k, hóy xỏc định giao điểm của d1 và d2 ?
	b) Tỡm quĩ tớch giao điểm đú khi k thay đổi ?
	Giải:
	a) Xột hệ phương trỡnh tạo bởi d1 và d2 là:
	Ta cú: D = 1 + k2, Dx = 1 – k2, Dy = 2k
	Vỡ .
 	Vậy với mọi giỏ trị của k thỡ d1 luụn cắt d2 tại điểm I.
	b) Từ toạ độ giao điểm I ta cú:
	Vậy: quĩ tớch giao điểm I của d1 và d2 thuộc đường trũn: x2 + y2 = 1.
III – Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho a2 + b2 > 0 và hai đường thẳng cú phương trỡnh:
	d1: (a – b)x + y = 1 và d2: (a2 – b2)x + ay = b
	a) Hóy xỏc định giao điểm của d1 và d2 ?
	b) Tỡm điều kiện của a, b để giao điểm đú thuộc trục hoành ?
Bài 2: Cho a2 + b2 > 0 và hai đường thẳng d1, d2 cú phương trỡnh:
	d1: ax + by = a + b và d2: bx + ay = a – b 
	a) Xỏc định giao điểm của d1 và d2 ?
	b) Tỡm quỹ tớch toạ độ giao điểm khi a, b thay đổi ?
(3) Áp dụng 3: Biện luận giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức hai ẩn:
I – Bài toỏn tổng quỏt:
	Hóy biện luận giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
	Phương phỏp:
Bước 1: Xột hai đường thẳng 
	Vậy giỏ trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trớ tương đối của d1 và d2.
Bước 2: Xột hệ phương trỡnh tạo bởi d1 và d2 cú dạng: 
	Xỏc định D, Dx, Dy.
Bước 3: Xột hai trường hợp:
TH1: Nếu thỡ hệ cú nghiệm duy nhất : 
	Khi đú d1 cắt d2 do đú minF = 0.
TH2: Nếu D = 0
	Đặt : t = a1x + b1y + c1, ta được:
	F = 2t2 + At + B 
	Khi đú minF = , đạt được khi t = hay a1x + b1y + c1 = 
Bước 4: Kết luận:
 	Với C, minF = 0 , đạt được khi 
	Với D = 0, minF = , đạt được khi x, y thuộc đường thẳng cú phương trỡnh: 
	 a1x + b1y + c1 = .
II – Vớ dụ minh hoạ: 
Vớ dụ 1: Hóy biện luận giỏ trị nhỏ nhất của :
	F = (x + y – 2)2 + (x + ay – 3)2, theo tham số a .
	Giải:
Xột hai đường thẳng:
	d1: x + y – 2 = 0 và d2: x + ay – 3 = 0
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trớ tương đối của d1 và d2.
Xột hệ phương trỡnh tạo bởi d1 và d2 cú dạng:
TH1: Nếu 
	Hệ cú nghiệm duy nhất: 
	Khi đú d1 cắt d2 do đú minF = 0.
TH2: Nếu 
	Với a = 1 thỡ Dy = 1 0, hệ vụ nghiệm.
	Khi đú d1 // d2 và ta được:
	 F = (x + y – 2)2 + (x + y – 3)2
	Đặt t = x + y – 2 , ta cú 
	F = 2t2 – 2t + 1
	Vậy minF, đạt được khi .
Kết luận: 
	- Với a 1, minF = 0, đạt được khi 
	- Với a = 1, minF, đạt được khi x, y thuộc đường thẳng cú phương trỡnh: 2x + 2y – 5 = 0.
III – Bài tập đề nghị:
Bài 1: (HVNH – 2001): Hóy biện luận GTNN của biểu thức 
	F = (x + my – 2)2 + [4x + 2(m – 2)y - 1]2, 	
	theo tham số m ?
Bài 2: Biện luận theo tham số a GTNN của cỏc biểu thức sau:
	a) F = (2x +y - 2)2 + (4x + ay – 1)2
	b) F = (x – 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2
HỆ PHƯƠNG TRèNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
	Dạng toỏn thường gặp
	1) Giải hệ phương trỡnh.
	2) Nghiệm của hệ phương trỡnh thoả món điều kiện cho trước.
	3) Một số hệ phương trỡnh quy về hệ phưong trỡnh bậc hai đối xứng loại I.
Dạng I: Hệ phương trỡnh đối xứng loại I 
I – Bài toỏn tổng quỏt:
	Hệ phương trỡnh bậc hai cú dạng:
	, với F1(x;y) = F1(y;x) và F2(x;y) = F2(y;x)
	Được gọi là hệ phương trỡnh đối xứng loại I.
	Phương phỏp :
 - Đặt 
- Biến đổi hệ phương trỡnh đó cho thành hệ phương trỡnh với hai ẩn S, P.
- Giải hệ phương trỡnh với hai ẩn S, P.
- Với mỗi cặp (S, P) tỡm được, tỡm nghiệm (x; y) từ hệ: 
 	Trong đú x, y là cỏc nghiệm của phương trỡnh X2 – SX + P = 0.
* Chỳ ý:
	Nếu (xo;yo) là nghiệm thỡ (yo;xo) cũng là nghiệm của hệ phương trỡnh.
II – Vớ dụ minh hoạ:
Vớ dụ 1: Giải hệ phương trỡnh:
 (I)
Giải:
Ta cú (I) (II)
Đặt , ta được hệ (II) trở thành:
* Với S = - 1 thỡ P = - 6 , ta cú hệ phương trỡnh: , x, y là cỏc nghiệm của hệ phương trỡnh
	X2 + X – 6 = 0. Suy ra X1 = -3; X2 = 2.
	Do đú hệ cú nghiệm: (-3 ; 2), (2; -3)
* Với S = 2 thỡ P = - 9 , ta cú hệ phương trỡnh: 
	Giải tương tự trờn ta được cỏc nghiệm: 
Kết luận: Hệ phương trỡnh cú bốn nghiệm:
	(-3 ; 2), (2; -3), 
III – Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải hệ phương trỡnh:
a) 	b) 	c) 
Dạng II: Nghiệm của hệ phương trỡnh thoả món điều kiện cho trước
Vớ dụ 1: Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm:
(I)
Giải:
Đặt , ta được hệ (I) trở thành: 
Để hệ (I) cú nghiệm thỡ hệ (II) phải cú nghiệm (S;P) thoả món điều kiện: S2 – 4P 
Phương trỡnh (2) cú nghiệm 
Khi mthỡ hệ (II) cú cỏc nghiệm:
Hệ (I) cú nghiệm khi S2 – 4P nờn: 
	*) Vỡ m nờn (3) vụ nghiệm .
	*) 
Kết luận: Với m = 3 thỡ hệ phương trỡnh (I) cú nghiệm.
Vớ dụ 2: Tỡm cỏc gỏi trị của m để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm duy nhất:
(I)
Giải
Nhận xột: 
	Hệ (I) là hệ đối xứng loại Inờn nếu (xo;yo) là một nghiệm của hệ thỡ (yo; xo) cũng là nghiệm.Do đú nếu hệ cú nghiệm duy nhất thỡ xo = yo. Khi đú từ hệ (I) ta cú :
Vậy nếu (xo; xo) là nghiệm của hệ thỡ : 
- Nếu xo = 1 thỡ m = 3
- Nếu xo = -1 thỡ m = -1
- Nếu 
	Tuy nhiờn nghiệm (xo; xo) chưa chắc đó là nghiệm duy nhất của hệ, vỡ vậy với mỗi giỏ trị m tỡm được cần kiểm tra tớnh duy nhất của nghiờm. Xột cỏc trường hợp:
* TH1: Với m = -1, hệ (I) trở thành: 
	Hệ cú cỏc nghiệm (-1; 2), (2; -1) , (-1 ; -1).
	Vậy giỏ trị m = - 1 khụng thoả món yờu cầu bài toỏn.
* TH2: Với m = 3, hệ (I) trở thành: 
	Hệ cú nghiệm duy nhất (1; 1).
TH3: Với , hệ (I) trở thành: 
	Hệ cú nghiệm duy nhất 
Kết luận: 
	Hệ (I) cú nghiệm duy nhất khi m = 3 , .
* Chỳ ý:
 Dựa vào tớnh chất của hệ đối xứng loại (I) ta cú phương phỏp điều kiện cần và đủ để giải bài toỏn tỡm điều kiện để hệ cú nghiệm duy nhất.
	Điều kiện cần : Là hệ cú nghiệm (xo; yo) thoả món:xo = yo.
	Điều kiện đủ là: Thử lại cỏc giỏ trị của tham số tỡm được từ điều kiện cần.
*) Bài tõp đề nghị dạng II
Bài 1: Cho hệ phương trỡnh: 
	a) Giải hệ phương trỡnh với m = 1 ?
	b) Xỏc định m để hệ phương trỡnh cú nghiệm ?
Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trỡnh sau theo tham số a :
Bài 3: Cho hệ phương trỡnh: 
	a) Giải hệ phương trỡnh với m = -3 ?
	b)Xỏc định m để hệ cú nghiệm duy nhất ?
Bài 3: Cho hệ phương trỡnh:
	a) Chứng tỏ rằng với mọi m thỡ hệ phương trỡnh luụn cú nghiệm ?
	b) Xỏc định m để hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất ?
Bài 4: Cho hệ phương trỡnh: 
	Gọi (x; y) là nghiệm của hệ. Xỏc định a để tớch x.y đạt giỏ trị nhỏ nhất ?
Bài 5: Cho hệ phương trỡnh:
	Tỡm m để hệ phương trỡnh cú ớt nhất một nghiệm (x; y) thoả món x > 0, y > 0 ?
Bài 6: Tỡm m để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm: 
Dạng III: Một số hệ phương trỡnh quy về hệ phưong trỡnh bậc hai đối xứng loại I
Vớ dụ 1: Giải hệ phương trỡnh: 
(I) 
Giải:
Nhận xột: 
	Nếu khai triển cỏc phương trỡnh trong hệ (I) ta được một hệ phương trỡnh bậc cao và việc tỡm nghiệm là khụng dễ. Từ việc phõn tớch hai phương trỡnh ta cú:
Do đú đặt ẩn phụ: , khi đú hệ (I) trở thành: (II)
Giải hệ (II) ta được: 
Hay : 
Hệ (III) cú nghiệm là: 
Hệ (IV) vụ nghiệm.
Kết luận:
	Hệ phương trỡnh (I) cú hai nghiệm là 
Vớ dụ 2: Giải hệ phương trỡnh: 
(I) 
Giải:
Điều kiện: 
Hệ đối xứng nghịch đảo nờn đặt ẩn phụ: , hệ (I) trở thành: 
(II)
Giải hệ (II) ta được u = 2; v = 2.
Do đú ta cú: , hệ này cú nghiệm duy nhất: (1 ; 1)
Kết luận :
	Hệ (I) cú nghiệm duy nhất (1 ; 1).
*) Bài tập đề nghị dạng III:
Bài 1: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:
	a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Bài 2: Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm:
---------------------------------------------------------------------
I/ Hệ phương trình đối xứng 
 1/ Định nghĩa 
Một hệ phương trình được gọi là đối xứng (hay gọi là đối xứng loại một) nếu như mỗi phương trình của hệ không thay đổi khi ta hoán vị tuỳ ý các ẩn cho nhau: 
Chẳng hạn hệ phương trình có hai ẩn 
là hệ đối xứng loại một nếu Ư(x,y)=Ư(y,x), và g(x, y)=g(y, x). 
2/ Cách giải 
a/ Xét hệ đối xứng loại một 
Trong đó Ư(x,y), là những đa thức đối xứng của hai ẩn x , y
 Đặt (*) 	Chú ý điều kiện s2³4p
Giải hệ phương trình theo s và p, thay vào (*) ị x, y
b/ Hệ phương trìng 
Trong đó Ư(x, y, z), g(x,y,z), h(x,y,z), là những đa thức đối xứng với các ẩn là x, y, z 
Đặt 
Giải hệ phương trình ẩn S, P, R với mỗi (S, P, R) ta tìm được ị x, y, z là ba nghiệm của phương trình : t3- St2+Pt2 - R = 0
Ví dụ: Cho hệ phương trình
	 m là tham số 
a) Giải hệ khi m = 12
b)Tìm m để hệ (I) có nghiệm 
Giải: 
Hệ (I) . 
Đặt 	x(x+1)=u ị x2+x- u = 0, D1= 1+4u; y(y+1)=v ị y2+y-v = 0 , 2= 1+4v
Hệ (I) Û 
a/ m=12
u, v là nghiệm của phương trình X2- 8X+12 = 0; X1=6; X2=2
Vậy ta được: 
* 
Giải tương tự ta được: 
	b) Hệ phương trình có nghiệm x Û $u,v thoả mãn 
	u³-; v³- 
Mà u, v là nghiệm của phương trình: X2- 8X+m=0 (*)
	Yêu cầu bài toán Û tìm m để (*) có 2 nghiệm thoả mãn ³-
	Vậy ĐK của m là:	 
	Ví dụ 2: Giả sử (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình
Chứng minh rằng: 	
Chứng minh: Theo giả thiết ta có 2 hằng đẳng thức :
ị 
Trường hợp 1: 
Hay: 
	Từ ĐK: S2³4p (hệ phương trình có nghiệm)
ị (2-x)2 ³ 4(x2-2x+1) Û 3x2-4xÊ0 Û 0Ê x Ê
Trường hợp 2: 
	Û 
Từ ĐK: S2³4p (hệ phương trình có nghiệm)
	ị (2-x)2³ 4(x2-2x+1) Û 3x2- 4xÊ0 Û -Ê x Ê 0
	Vậy trong mọi khả năng: 	-Ê x Ê
	Tương tự cho y,z ị điều phải chứng minh 
	Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 
	Giải: ĐK: x, y, z ạ0
	Ta có: 
ị x, y, z là ba nghiệm của phương trình t3 - 9t + 27=0 Û (t-3)3=0 Û t1=t2=t3=3
nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3, 3, 3)
	Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
	a) 
	b) 
	c) 
	Bài 2: Cho hệ phương trình 
 m là tham số
Giải hệ phương trình khi m=3
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Bài 3: Cho hệ phương trình 
 m là tham số
a) Giải hệ phương trình khi m=2
b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có ít nhất 1 nghiệm (x,y) thoả mãn x>0; y>0
Bài 4: Tìm các số nguyên x, y, x thoả mãn:
	 Tính x3, y3, z3 theo a, b, c.
Bài 5: Tìm các số nguyên x, y, x thoả mãn:
II/. Hệ phương trình đối xứng loại 2:
Ta xét các hệ phương trình 2 ẩn:
Định nghĩa: Hệ phương trình 2 ẩn
Được gọi là hệ phương trình đối xứng loại II nếu như khi ta đổi vai trò giữa x và y cho nhau thì phương trình này chuyển thành phương trình kia. 
Có nghĩa là: 	Ư(y,x)=g(x,y); g(y,x) =Ư(x,y) 
2) Cách giải: 
	+ Trừ theo vế của hệ (I) được phương trình hệ quả: Ư(x,y) -g(x,y) =0
	+ Chia Ư(x,y) –g(x,y) cho (x, y) được h(x,y) 
	Û Ư(x,y) –g(x,y)=(x- y)h(x,y)
	Û 
	Hệ (I) Û 	Giải ra được kết quả.
Nhận xét: 
a) 	(x-y) h(x,y) = (x-y).h(y,x)
 ị h(x,y) là đa thức đối xứng với x và y.
b) Hệ phương trình đối xứng loại II hai ẩn có nghiệm (a,b) thì hệ phương trình có nghiệm (b,a) 
ị hệ có nghiệm duy nhất Û b=a dạng nghiệm (a,a)
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình 
	 ở đó m là tham số.
Giải hệ phương trình đã cho khi m=-1
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Giải: 
a) Với m=-1 (I) Û Û 
	Û 
	 Û 
	b) Điều kiện cần: Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y, z) thì (theo nhận xét) ị x0=y0
	ị PT: 2x2-mx+m=0 có nghiệm duy nhất
 Û D=m2- 8m=0 Û m=0 ; m=8
	Điều kiện đủ: 
* Với m=0 ị hệ PT đã cho 
	Û 
	Hệ phương trình này có vô số nghiệm dạng ( loại)
* Với m=8 hệ phương trình sẽ trở thành: 
 hoặc 
Giải hệ (*)
Giải hệ (**) 
Hệ phương trình vô nghiệm 
	Tóm lại ( thoả mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất Û m=8
Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình:
Có nghiệm duy nhất
	Giải: 
Hoặc
	Giải (*) 
Hệ phương trình này luôn có một nghiệm x=0; y=0
Nên điều kiện cần là PT =0 Hoặc có nghiệm duy nhất x= 0 
hoặc vô nghiệm
Trường hợp 1: = 0 có nghiệm duy nhất x= 0
Thay x= 0 và m = 0 nhưng PT trở thành x2- 5x2 = 0 ị x=0 hoặc x=5 (loại)
Trường hợp 2: =0 PT vô nghiệm 
Û D=25- 4m 
Điều kiện đủ: Với m> xét 
Có Dx= (y-3)2- 4(y2-3y+m)
Hay Dx= -3y2+6y+9- 4m = -3(y-1)2-4(m-3)<0
"y mà m> ị Dx<0
ị PT vô nghiệm
Hay 	 vô nghiệm
ị Hệ (**) vô nghiệm
Kết luận: m> là thoả mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 3: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình 
Giải: Đặt 
	ị 	và 
Ta được hệ phương trình đối xứng loại hai với 2 ẩn u, v
(II) Û 
Xét 
Có PT: (1)
	D=1- 8(2- m) = 8m-15
	P= ; S = 
ị Nếu (1) có 2 nghiệm thì sẽ có 1 nghiệm âm
Cụ thể là:
Trường hợp 1: 2- m2 ta có u1, u2< 0 
ị không tồn tại x, y
Trường hợp 2: 2- m³ 0 Û m Ê 2 ta có u1 < 0 <u2
ở đó: 
Khi ấy ta có nghiệm v = u = u2 ị x = y =+1
*Xét 
Với ĐK: u³ 0; v³ 0 sẽ được điều kiện tương đương 0ÊuÊ
Xét PT: 4u2-2u-2m+5=0
	D’=1+4(2m-5) = 8m-19
Ư(u)= 4u2-2u-2m+5=0	
a.Ư(u) =4.Ư(0) =4(5-2m)
a.Ư() = 4. Ư() = 4.= 4(5-2m)
	Ta có bảng so sánh sau:
m
D
a.f(0) =a.f()
Kết luận
-Ơ
-
+
+
-
PTVN
0
0<u1<u2<
+
+
+
-
0<u1=u2<
0
0=u<=u2=
+
-
+
-
0<u1 << u2
+Ơ
Nhìn vào bảng biện luận trên ta được kết quả như sau:
	+Với: ta luôn được 0Êu1, u2Ê 
	Vậy: a) u = u1 ; v = u2 ị 
	b) u = u2 ; v = u1 ị 
	+Với: ta luôn có u1<0< <u2
Tóm lại: 1) 	Hệ vô nghiệm
	2) 	 Hệ có 1 nghiệm 
	3) 	 Hệ PT có 3 nghiệm
	Trong đó: 
	4) 	Hệ PT có 2 nghiệm
	Với u1, u2 như trên.
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải hệ phương trình:	 
Bài 2: Giải hệ phương trình:
Giải: (Gợi ý)
	ĐK: x³ 0; y³ 0. Khi trừ theo vế, cho ta PT hệ quả
Và ta xét hàm số Ư(t)= 
ị Ư(t) đồng biến ị x = y
Và giải hệ PT vô tỷ 
Bài 3: Giải phương trình :
 x3-3
Gợi ý: Đặt t = 3
Bài 4: CMR Với mọi giá trị âm của m thì hệ phương trình 
	có nghiệm duy nhất
	Gợi ý: Trừ theo vế, xét PT hệ quả theo PT đồ thị
	Bài 5: Cho hệ phương trình:
	(m là tham số)
Giải hệ đã cho với m = 1
CMR nếu m ạ 0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Một số VD Khác.
VD1 giải hệ phương trình (*)
 giải: 
(*)
VD2. giải hệ phương trình 
giải:
 (Vỡ(x+y/2)2+3y2+2>0)
VD3. giải hệ phương trình
giải:
VD4. giải hệ phương trình 
giải:
VD5. giải hệ phương trình 
VD6. giải hệ phương trình )
Giai:
VD7. giải phương trình 
Giai:
VD8. giải hệ phương trình (*)
(day la he doi xung loai 2 nhung giai theo Phuong phap thong thuong xe phuc tap ta se giai bang Phuong phap danh gia)
Bài tập áp dụng 
 10, giải hệ phương trình 
11, giải hệ phương trình 
pp quy ve hptdxl2: chu y 2 dang sau co the dua ve hdxl2
vd1 gpt 
Một số Hệ phương trình nhiều ẩn và cách giải
 Bài 1: Giải hệ phương trình:
Bài giải
 Bài 2: Giải hệ phương trình:
Bài giải
 Bài 3: Giải hệ phương trình:
Bài giải
 Bài 4: Giải hệ phương trình:
Bài giải
 Bài 5: Giải hệ phương trình:
Bài giải
 Bài 6: Giải hệ phương trình:
Bài giải
Bài 7: Giải hệ phương trình:
Bài giải
Bài 8: Giải hệ phương trình:
Bài giải
Bài 9: Giải hệ phương trình:
Bài giải
 Bài 10: Giải hệ phương trình:
Bài giải
Bài tập
III/. Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh.
1. Khái niệm: Một dạng hệ phương trình mở rộng của hệ phương trình đối xứng loại hai là hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh của các ẩn: x1, x2,, xn
Cũng như hệ phương trình đối xứng loại hai, đặc điểm chung của hệ này là: nếu (x1, x2,, xn) là một nghiệm thì hoán vị vòng quanh của nó cũng là nghiệm của hệ. Vì vậy việc giải hệ phương trình dạng :”Hoán vị vòng quanh” trong trường hợp tổng quát gặp không ít khó khăn. ở đây tôi nghiên cứu trường hợp hệ phương trình có duy nhất nghiệm:(x1= x2== xn)
2.Các tính chất cần sử dụng:
a)Tính chất 1: Nếu hai hàm số f, g cùng tăng trên tập hợp A và (x1, x2,, xn) là nghiệm của hệ phương trình (I) ở đó xiẻA " thì x1= x2== xn
Chứng minh: Do hệ phương trình không thay đổi qua phép hoán vị vòng quanh nên g/s 
ị x1Êx2 ị Ư(x1) Ê Ư(x2) ị g(x2) Ê g(x3)
ị x2Êx3 ị Ư(x2) Ê Ư(x3) ị g(x3) Ê g(x4)
ị x3Êx4 ị..
ị Ư(xn-1) Ê Ư(xn) ị g(xn) Ê g(x1) ị xn Ê x1
Vậy ị x1 Ê x2 Ê x3 Ê . Ê xn Ê x1 ị x1 = x2 = . = xn
Nhận xét: nếu f, g cùng giảm trên A ị tính chất ttrên vẫn đúng.
b/ Tính chất 2:
Giả sử hàm số f giảm trên tầp hợp A và (x1, x2, , xn) là nghiệm của hệ phương trình (I), ở đó xiẻA "i = khi ấy :
+/ Nếu u là số lẻ thì 	 x1 = x2 = . = xn
++/ Nếu n là số chẵn thì 	 x1 = x3 = . = xn-1
x2 = x4 = . = xn 
Chứng minh: Cũng nhận xét như trên 
Giả sử 	x1 = min 
+/ Trường hợp n là số lẻ:
 x1 Ê x2 ị Ư(x1) ³ Ư(x2) ị g(x2) ³ g(x3)
 	ị x2 ³ x3 ị Ư(x2) Ê Ư(x3) ị g(x3) Ê g(x4) 
ị x3Êx4 	.
 	ị Ư(xn-1) Ê Ư(xn) ị g(xn) Ê g(x1)
 ị xn Ê x1 ị Ư(xn) ³ Ư(x1) 
ị g(x1)³ g(x2) ị x1³x2
Vậy	 x1 = x2	 ị x1 = x2 = . = xn
++/ Trường hợp n là số chẵn:
	ị x1 Ê x3 ị Ư(x1) ³ Ư(x3) ị g(x2) ³ g(x4) ị x2 ³ x4
ị Ư(x2) Ê Ư(x4) ị g(x3) Ê g(x5) ị x3Êx5 
	ị .
	ị Ư(xn-2) Ê Ư(xn) ị g(xn-1) Ê g(x1) ị xn-1 Ê x1 
ị Ư(xn-1) ³ Ư(x1) ị g(xn) ³ g(x2) ị xn ³ x2
Vậy: 	(Điều phải chứng minh)
Nhận xét: Tính chất trên vẫn đúng khi Ư là hàm số giảm
Ví dụ: Giải hệ phương trình: 
Giải: xét các hàm số
 Ư(x) = 
Và g(t) = t trên R
Ta có:	g’(t) = 1 > 0 
Và: Ư’(t) 
Với mọi tẻR nên Ư(t) và g(t) đồng biến trên R 
áp dụng tính chất 1:
ị Nếu hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) thì x = y = z = t với t là nghiệm của phương trình: = 0 (*)
Dễ thấy phương trình (*) có ít nhất một nghiệm t =1.
Bây giờ ta có thể khẳng định phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm. 
Thật vậy xét hệ số h(t) = trên R
Ta có: h’(t) 
ị h’(t) > 0 	" ẻ R
Nên h(t) tăng trên R ị đồ thị cắt trục hoành tại không quá một điểm. Nghĩa là phương trình (*) có không quá một nghiệm 
Vậy ta được x = y = z = 1
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Giải : Ta thấy x ³ 0; y ³ 0; z ³ 0; t ³ 0.
Xét các hàm số: Ư(u) = (u-1)2; g(u) = zu (u³ 0)
Ta có: 	Ư’(u) = 2(u-1)
g’(u) = 1 > 0 	"uẻ R
*/ Nếu u>1 ị hai hàm số Ư(u) và g(u) đều tăng 
áp dụng tính chất (1) ị x = y = z = t = u
*/ Nếu 0Ê u Ê1 thì Ư(u) là hàm số giảm
	 g(u) là hàm số tăng
áp dụng tính chất (2) ị t = x; z = y khi ấy hệ trở thành 
	Trừ theo vế của hai phương trình này:
	ị x2-y2=0	hay x=y (vì x³0; y³0)
	Tóm lại: Trong các trường hợp ta đều có : x=y=z=t và đêug bằng u³0. Với u là nghiệm không âm của phương trình:
	 (u-1)=2u Û u2- 4u+1=0
	Û 
	Ta được hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
	Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
	Giải: Xét các hàm số : Ư(t)=t3-3t+2 và g(t)=2t trên R g’(t)=2.
	Hàm số Ư(t)= t3-3t+2 Ư’(t)= 3t2-3
Có khoảng biến thiên:
t
-Ơ
-1
1
+Ơ
Ư’(t)
+
0
-
0
+
Ư(t) 
4
0
Ta có thể giả thiết x1=min
Trường hợp 1: x1>1. Khi ấy xi>1 "i= 
Trên khoảng (1,+Ơ) cả hai hàm số Ư(t) và g(t) đều tăng nên x1=x2==x100=t.
Với t là nghiệm của PT	 t3-5t+2=0
(t-2)(t2+2t-1)=0
Phương trình này chỉ có nghiệm t=2>1
Cho nên x1=x2==x100=2.
Trường hợp 2: 0Ê xi Ê1
Ta có: Ư([0,1]) =g([0,1]) = [0,2]
Với x1ẻ[0,1] ị Ư(x1) Ư([0,1]) ị g(x2) ẻgƯ([0,1]) 
Vì g là hàm số đồng biến trên R ị x2ẻ[0,1]
Ư(x2) ẻ Ư([0,1]) ị g(x3) ẻg([0,1]) ị ịx100ẻ[0,1]
Trong trường hợp này xi ẻ[0,1] "i= 
Mặt khác trên [0,1] thì hàm f giảm và hàm g tăng.
áp dụng tính chất (2) ị x1=x3==x99
x2=x4==x100=2.
	Ta có hê phương trình 
	Hệ loại II.
	Trừ theo vế các phương trình ta được:
(x1-x2)( 
Û	 
x1=x2 ị 	
Û	
Û	(x1-2)( 
Û	x1=2 hoặc x2=-1+ hoặc x2=-1-
	Vì: x1ẻ[0,1] ị x1=-1- (loại)
	 x2= 2 (loại)
	Vậy x1=-1+=x2
	b) 	(cộng theo vế)
	Là hệ đối xứng loại (I)
	Đặt S = x1+x2
	P=x1x2 
	ị 
	Vì: S2 + S +2 = 0 vô nghiệm 
 hoặc	
	ị Trong trường hợp này có các khả năng sau:
	; 
	Trường hợp 3: x1<0 ị g(x1)<0 ị Ư(x100)<0 ị x100 <-2
	(Dựa vào bảng biến thiên)
	ị g(x100)<0 	(vì g là hàm đồng biến trên R)
	ị Ư(x99) 	<0 ị x99<-2 
ị g(x2)<0 	ị Ư(x1)<0 	ị x1<-2.
Vậy 	xi<-2 "i =
Mặt khác trên (-,-2) hàm số f, g đều tăng nên áp dụng tính chất (1)
	x1=x2==x100=t <-2.
Với t là nghiệm của PT 	t3-3t +2=2t
Û	 t3-5t +2=0
 	(t-2)(t2-2t-1)=0	 (*)
Rõ ràng (*) chỉ có 1 nghiệm t = 
	ị x1=x2==x100=
Kết luận: Từ kết quả của các trường hợp trên ị hệ P T có 5 nghiệm (x1,x3,,x99)
 	 x1=x2=x3==x100=2
2)	 x1=x2=x3==x100=-1+
3)	 
4) 	
5) 	x1=x2=x3==x100=-1+
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho n là số nguyên lớn hơn 1.
Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình :
 có nghiệm duy nhất
Bài 2: Cho n là số nguyên lớn hơn 1 và aạ0 . Chứng minh rằng:
	Bài 3: Giải hệ phương trình 
	Bài 4: Giải hệ phương trình
Bài 5: Giải hệ phương trình
	Bìa 6: CMR với mọi số thực a thì hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất.
IV/ Hệ đẳng cấp bậc hai
 	1/ Khái niệm:
Biểu thức F(x,y) được gọi là đẳng cấp bậc hai đối với x, y khi mọi số dương k thì ta có F(kx,ky)=k2F(x,y)
Hệ đẳng cấp bậc hai là hệ có dạng
Trong đó F và G là các biểu thức đẳng cấp bậc hai đối với x,y còn A,B làcác hằng số.
2) Phương pháp giải:
	+ Gải hệ với y=o
	+ Với yạ0 đặt x=ky và được một phương trình bậc hai theo k
Giải tìm k ị x,y.
3) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
Giải: Đây là hệ đẳng cấp bậc hai đối với x,y.
+ Với y=0 ị hệ (I) Û (loại)
+ Với yạ0
Tay vào hệ đã cho ta được
Û 
Û 
	Vì yạ0 ị k2-3k+1=(-1).
	Û 13k2 –39k+13=-k2+k-3
	Û 16k2 –40k+16=0
	Û 4k2 – 10k + 4= 0
	Û 2k2 – 5k + 2= 0
	D=52-4.2.2 = 9>0
	ị 
Với k=2 
ị 
ị 
	Với k= ị hệ PT : Û 
	Tóm lại hệ đã cho có 4 cặp nghiệm : (2,1); (-2,-1); (1,2); (-1,-2)
	Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
	(I)
Giải: ĐK xạ0; ạ0
	Hệ (I) Û 
	Û 
	Û 
	Với y=0 ị (1) Û (vô lý)
	ị yạ0 đặt x=ky
Û 
Û 
	Vì kạ0 	ị 	= 0
16k2- 29k- 6 = 0	
D=292 +4.6.16=1225 ị 
k1=
k2=
	Với k1=2 ị y2[4+2-1]=5 ị y2=1
	Mà x = 2y ị 
	Với k= ị Û (vô nghiệm )
	Vậy hệ đã cho có 2 cặp nghiệm hoặc 
	Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 
	Giải: * Với y=0
	Hệ (I) Û Vậy hệ có nghiệm (0,0)
	*Với: yạ0. Đặt x=ky
	Hệ (I) Û 
Û 
	Vì: yạ0 	
	Giải: (1) 	D’=16-12=4
	k1=; k2=
	Với k=2 ị 5.(2)2-7.2-6 = 0 
	Với k= ị 5. -7. -6 ạ 0 
	Vậy (1) và (2) bao giờ cũng $k=2 (thoả mãn)
	ị Hệ đã cho có vô số nghiệm thoả mãn dạng (2t,t), tẻR
Một số VD minh hoạ khác
Bài 1. (ĐHSP TPHCM 00-01).Giải hệ phương trình.
Bài giải.
Hướng dẫn : khử hệ số tự do ta được :
Ta thấy : x= 0, y= 0 không là nghiệm của hpt, chia hai vế cho y ta được : 
*Với thế vào pt ta được : 
*Với thế vào pt ta được : 
Kết luận hpt có 4 nghiệm.
Bài 2. (ĐHDL PHƯƠNG ĐÔNG-KA 00-01). Giải hệ phương trình.
Bài giải.
Giải tương tự ta thu được 4 nghiệm :
Bài 3. Giải hệ phương trình.
Bài giải.
Giải tương tự ta thu được 4 nghiệm :
Bài 4. Giải hệ phương trình.
Giải tương tự ta thu được 4 nghiệm :
Các hệ phương trình khác
Các bước giải : 
B1 : Đặt điều kiện có nghĩa cho hpt.
B2 : Tìm phương pháp giải.
B3 : Kết luận.
Ví dụ minh hoạ :
Bài 1. Giải hệ phương trình.
Bài giải.
Điều kiện : 
Lấy (1) + (2) ta được : 
Thay vào (1) ta được :
Thế vào (3) 
Bình phương hai vế, hệ pt có nghiệm duy nhất :
Bài 2.Giải hệ phương trình.
Bài giải.
Điều kiện : 
Ta có : 
Thay vào (1) ta được : 
Kết luận hpt có 2 nghiệm : 
Bài 3. Giải hệ phương trình.
Bài giải.
điều kiện : 
Ta có :
Thay vào (2) 
Kết luận hpt co nghiệm : 
Bài 4. Giải hệ phương trình.
Bài giải.
Ta có : 
*Với x= y thay vào (2) ta được :
*Với x+ y -1 = 0 thay vào (2) ta được :
Hệ pt có hai nghiệm : 
Bài 5. Giải hệ phương trình.
Bài giải.
điều kiện : 
Ta có : 
*Với x = 2y ta có : 
*Với y= 2x ta có : pt vô nghiệm
Kết luận hpt có nghiệm : (1; 1)
Bài 6. Giải hệ phương trình.
Bài giải.
Từ (2) suy ra x # 0, chia 2 vế cho ta được : 
Đặt ta được : 
Suy ra : 
Vậy hpt có hai nghiệm.
Bài tập đề nghị:
	Bài 1: Giải hệ phương trình
	Bài 2: Giải hệ phương trình 
Bài 3: Giải hệ phương trình 
	Bài 5: Giải và biện luận hệ phương trình 
	Bài 6: Xác định a để hệ sau có nghiệm duy nhất 
	Kết lu