Ôn tập môn Toán lớp 10 - Khoảng cách và góc

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
1
Khoảng cách và góc 
Dạng 1. Khoảng cách 
A. Tóm tắt lý thuyết 
Khoảng cách  ;d M  từ điểm  0 0;M x y đến đường thẳng : 0ax by c    được tính bởi 
công thức 
   0 0
2 2
| |, ax by cd M
a b
 
 

. 
B. Các ví dụ 
Ví dụ 1. [SGK10NC] Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  trong mỗi trường hợp 
sau 
1)  13;14M và : 4 3 15 0x y    ; 
2)  5; 1M  và 
7 2
:
4 3
x t
y t
 
 
  
. 
Giải. 1) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có 
 
2 2
4.13 3.14 15
; 5
4 3
d M
 
  

. 
2) Từ phương trình tham số của  , khử tham số t , ta được: 
7 4:
2 3
x y 
 

 , hay : 3 2 13 0x y    . 
Suy ra  
 
2 2
3.5 2. 1 13
, 0
3 2
d M
  
  

. 
Ví dụ 2. [ĐHA06] Cho các đường thẳng 1 : 3 0d x y   , 2 : 4 0d x y   , 3 : 2 0d x y  . Tìm 
tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng 3d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 1d bằng 
hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng 2d . 
Giải. Điểm M thuộc đường thẳng 3d nên tọa độ có dạng  2 ;M a a . Ta có 
 1 2 2
2 3 3 1
,
21 1
a a a
d M d
  
 

,  
 
2 22
2 4 4
,
21 1
a a a
d M d
  
 
 
. 
Từ giả thiết ta có 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
2
   1 2, 2 ,d M d d M d  
3 1 4
2
2 2
a a 
   3 1 2 4a a   
 
   
   
3 1 2 4
3 1 2 4
a a
a a
  

   
  
11
1
a
a
 
 
  
 
 
22; 11
2;1
M
M
 


. 
Vậy  22; 11M   hoặc  2;1M . 
Ví dụ 3. [SGK10NC] Cho ba điểm  3;0A ,  5;4B  và  10;2P . Viết phương trình đường 
thẳng  đi qua P đồng thời cách đều A và B . 
Giải. Đường thẳng  đi qua P nên phương trình có dạng 
   : 10 2 0a x b y     ( 2 2 0a b  ), hay : 10 2 0ax by a b     . 
Ta có  
2 2 2 2
3 10 2 7 2
,
a a b a b
d A
a b a b
  
  
 
,  
2 2 2 2
5 4 10 2 15 2
,
a b a b a b
d B
a b a b
    
  
 
. 
   , ,d A d B    7 2 15 2a b a b    
7 2 15 2
7 2 15 2
a b a b
a b a b
  
    
  
2
0
b a
a

 
. 
Trường hợp 1. 2b a . Cho 1a  suy ra 2b  . Do đó : 2 14 0x y    . 
Trường hợp 2. 0a  , suy ra : 2 0by b   , hay : 2 0y   (chú ý rằng khi 0a  thì b phải 
khác 0 ). 
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC . Biết  2;0A  ,  4; 2B  , diện tích tam giác ABC bằng 10 và C 
nằm trên đường thẳng :d y x . 
Giải. Ta có  1 . ;
2ABC
S AB d C AB , suy ra   2 2.10, 10
40
ABCSd C AB
AB
   . 
Lại có 2:
6 2
x yAB  

, hay : 3 2 0AB x y   . Điểm C thuộc đường thẳng d nên tọa độ C có 
dạng  ;C a a . Suy ra  
2 2
3 2 2 2 1
,
101 3
a a a
d C AB
  
 

. 
So sánh hai biểu thức tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB ở trên, ta được 
2 2 1
10
10
a 
 , hay 2 1 5a   . 
Phương trình trên có các nghiệm là 2a  và 3a   . Vậy  2;2C hoặc  3; 3C   . 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
3
Ví dụ 5. [ĐHB02] Cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;0
2
I   
 
, : 2 2 0AB x y   và 
2AB AD . Tìm tọa độ các đỉnh A , B , C , D biết rằng A có hoành độ âm. 
Giải. Gọi H là trung điểm của AB . Vì 1
2
AH AB , 1
2
IH AD và 2AB AD nên 
 
 
1
2
22
2 52 2 , 2 2 5
21 2
AH IH d I AB

        
 
. 
Ta thấy tam giác AHI vuông tại H nên 
2 2 2 25
4
AI AH HI   . 
A thuộc đường thẳng AB nên tọa độ A có dạng 
 2 2;A a a , suy ra 
 
2
22 25 252 5 10
2 4
AI a a a a        
 
. 
H
I
C
BA
D 
So sánh hai công thức tính 2AI ở trên ta có 
2 25 255 10
4 4
a a    2 2 0a a   
0
2
a
a

 
  
 
 
2;0
2;2
A
A



. 
Vì A là điểm có hoành độ âm nên  2;0A  . 
B là điểm thuộc đường thẳng AB và 2 2BI AI nên  2;2B . 
C , D là các điểm đối xứng với A , B qua I nên  3;0C ,  1; 2D   . 
Vậy  2;0A  ,  2;2B ,  3;0C ,  1; 2D   . 
Ví dụ 6. Cho hai đường thẳng 1 1: 0ax by c    và 2 2: 0ax by c    . Chứng minh khoảng 
cách  1 2,d   giữa 1 , 2 là 
  1 21 2 2 2
| |, c cd
a b

  

. 
Giải. Lấy điểm  0 0;M x y thuộc đường thẳng 2 , ta có 0 0 2 0ax by c   . Khoảng cách giữa 
1 , 2 chính là khoảng cách từ M đến 1 nên 
  1 2,d     1,d M   0 0 12 2
| |ax by c
a b
 


   0 0 2 1 2
2 2
| |ax by c c c
a b
   

 1 2
2 2
| |c c
a b


 (ĐPCM). 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
4
Ví dụ 7. [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng ' song song và cách đường thẳng 
: 0ax by c    một khoảng bằng h cho trước. 
Giải. Đường thẳng ' song song với đường thẳng  nên phương trình ' có dạng 
' : ' 0ax by c    . 
Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đương thẳng ta có 
 ',d h    
2 2
| ' |c c h
a b



. 
Từ phương trình trên ta giải được 2 2'c c h a b   hoặc 2 2'c c h a b   . 
Vậy 2 2' : 0ax by c h a b      hoặc 2 2' : 0ax by c h a b      . 
C. Bài tập 
Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d trong các trường hợp sau 
1)  1;1M , : 2 0d x y   . 
2)  2;1M , 1 1:
1 1
x yd  

. 
3)  1;5M , 
2
:
4
x t
d
y t


 
. 
Đáp số. 1) 2 . 2) 
3 2
2
. 3) 1
5
. 
Bài 2. Cho điểm  0 0;M x y . Chứng minh công thức tính khoảng cách từ M đển các trục tọa độ 
  0,d M Ox y ,   0,d M Oy x . 
Hướng dẫn. Suy ra trực tiếp từ công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Chú ý 
rằng phương trình các trục tọa độ là : 0Ox y  và : 0Oy x  . 
Bài 3. Cho  2;5P và  5;1Q . Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng các từ Q 
tới đường thẳng đó bằng 3 . 
Đáp số. : 2 0d x   hoặc : 7 24 134 0d x y   . 
Bài 4. [CĐ09NC] Cho các đường thẳng 1 0:x 2y 3    và 2 0:x y 1    . Tìm toạ độ điểm 
M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 2 bằng 
1
2
. 
Đáp số.  1; 1M  hoặc 1 5;
3 3
M    
 
. 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
5
Bài 5. [ĐHB04] Cho hai điểm  ;A 1 1 ,  ;B 4 3 . Tìm điểm C thuộc đường thằng 
– – 0x 2y 1 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6 . 
Đáp số.  7;3C hoặc 43 27;
11 11
C    
 
. 
Bài 6. Biết diện tích tam giác ABC là 3
2
,  2; 3A  ,  3; 2B  và trọng tâm G của tam giác 
thuộc đường thẳng có phương trình : 3 8 0d x y   . Tìm tọa độ đỉnh C . 
Đáp số.  1; 1C  hoặc  2; 10C   . 
Bài 7. [ĐHB09NC] Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh  1;4A  và các đỉnh B , C thuộc 
đường thẳng 4 0x y   . Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC 
bằng 18 . 
Đáp số. 11 3;
2 2
B   
 
, 3 5;
2 2
C   
 
 hoặc 3 5;
2 2
B   
 
, 11 3;
2 2
C   
 
. 
Bài 8. [ĐHD10NC] Cho điểm  0;A 2 và  là đường thẳng đi qua O . Gọi H là hình chiếu 
vuông góc của A trên  . Viết phương trình đường thẳng  , biết khoảng cách từ H đến trục 
hoành bằng AH . 
Đáp số.  : 5 1 2 5 2 0x y     hoặc  : 5 1 2 5 2 0x y     . 
Bài 9. Cho : 3 2 4 0d x y   . Viết phương trình đường thẳng 'd trong các trường hợp sau 
1)  , ' 2d d d  . 2)  , ' 3d d d  . 
Đáp số. 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
6
Dạng 2. Đường phân giác 
A. Tóm tắt lý thuyết 
1. Phương trình đường phân giác 
Cho hai đường thẳng cắt nhau, có phương trình 
1 1 1 1: 0a x b y c    , 2 2 2 2: 0a x b y c    . 
Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng là 
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
0a x b y c a x b y c
a b a b
   
 
 
. 
2. Phân giác góc nhọn, góc tù 
Giả sử 1 và 1 là hai đường thẳng cắt nhau tại điểm I và không vuông góc với nhau, 1l và 2l 
là các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng. Khi đó, để phân biệt phân giác góc 
nhọn và phân giác góc tù tạo bởi hai đường thẳng, ta làm như sau. 
Lấy điểm M thuộc một trong hai đường thẳng sao cho 
M khác giao điểm của hai đường thẳng. Tính khoảng 
cách 1d , 2d từ M đến hai đường phân giác 1l , 2l . Khi đó, 
khoảng cách lớn hơn chính là khoảng cách ứng với phân 
giác góc tù. Cụ thể 
 1 2d d  1l là phân giác góc nhọn, 2l là phân 
giác góc tù. 
 1 2d d  1l là phân giác góc tù, 2l là phân giác 
góc nhọn. 
d2
d1
Δ2
Δ1
l2
l1
I
M
3. Phân giác trong, phân giác ngoài 
Cho tam giác ABC . Các phân giác của góc A là các phân giác của các góc tạo bởi các đường 
thẳng chứa các cạnh AB và AC . Phân giác trong là phân giác mà hai điểm B , C nằm về hai 
phía của phân giác, phân giác ngoại là phân giác mà hai điểm B , C nằm về một phía phía của 
phân giác. 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [SGKNC] Cho tam giác ABC với 7 ;3
4
A  
 
,  1;2B và  4;3C  . Viết phương trình 
đường phân giác trong góc A . 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
7
Giải. Ta có 
7
4
3
4
3:
1
x yAB  
 
 , hay : 4 3 2 0AB x y   ; : 3 0AC y   . Suy ra phương trình các 
đường phân giác góc A là 
4 3 2 3 0
5 1
4 3 2 3 0
5 1
x y y
x y y
    

    

 , hay 
 
 
1
2
4 2 13 0
4 8 17 0
x y l
x y l
  

  
. 
Ký hiệu  ;F x y là vế trái của phương trình tổng quát của đường 1l , ta có 
       . 5 . 17 85 0F B F C      , suy ta B và C nằm về cùng một phía 1d .Vậy phương trình 
đường phân giác trong góc A là 2 : 4 8 17 0d x y   . 
Ví dụ 2. Cho 1 : 3 7 0x y    và 1 : 2 6 0x y   . 
1) Chứng minh 1 và 2 cắt nhau và viết phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi 
1 và 2 . 
2) Xác định phân giác góc tù tạo bởi 1 và 2 . 
Giải. 1) Ta có 
3 1
16 0
2 6
D

   

 , suy ra 1 và 2 cắt nhau. Phương trình hai đường phân 
giác của các góc tạo bởi 1 và 2 là 
   2 22 2
3 7 2 6 0
3 1 2 6
x y x y  
 
   
 , hay 
 
 
1
2
4 4 7 0
2 2 7 0
x y l
x y l
  

  
. 
2) Ta thấy thay  0;7A là một điểm thuộc 1 . Ta có 
 
 
1 22
0 28 7 21,
4 24 4
d A l
 
 
 
,  2 2 2
0 14 7 21,
2 22 2
d A l
 
 

. 
Ta thấy    1 2, ,d A l d A l , suy ra 2d là phân giác góc tù tạo bởi 1 và 2 . 
Ví dụ 3. [SGKNC] Cho hai đường thẳng 1 : 2 3 0x y    , 2 : 3 2 0x y    . Viết phương 
trình đường thẳng  đi qua điểm  3;1P và cắt 1 , 2 lần lượt tại A và B một tam giác cân có 
đáy là AB . 
Giải. Ta thấy  thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi  vuông góc với một trong hai phân 
giác của các góc tạo bởi 1 và 2 . 
Phương trình hai phân giác của các góc tạo bởi 1 và 2 là 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
8
2 3 3 2 0
5 10
2 3 3 2 0
5 10
x y x y
x y x y
     

     
 , hay 
     
     
1
2
2 3 2 2 1 3 2 2 0
2 3 2 2 1 3 2 2 0
x y l
x y l
      

      
. 
1l  nên  nhận véc-tơ pháp tuyến  2 3;2 2 1n  

 làm véc-tơ chỉ phương, lại có 
 2 2 1; 2 3n u   
 
 nên u 

.  còn đi qua P nên 
     : 2 2 1 3 2 3 1 0x y       , hay    : 2 2 1 2 3 5 2 6 0x y       . 
Tương tự, trong trường hợp 2l  , ta có 
     : 2 2 1 3 2 3 1 0x y       , hay    : 2 2 1 2 3 5 2 6 0x y       . 
Vậy    : 2 2 1 2 3 5 2 6 0x y       hoặc    : 2 2 1 2 3 5 2 6 0x y       . 
C. Bài tập 
Bài 1. Viết phương trình hai đường phân giác của hai góc tạo bởi hai đường thẳng 1d và 2d 
trong các trường hợp sau 
1) 1 : 2 1 0d x y   , 2 : 3 3 0d x y   . 
2) 1
2
:
4
x t
d
y t


 
, 2 : 7 0d x y   . 
3) 1
3
:
4
x t
d
y t


 
, 2 : 3
x t
d
y t



. 
Đáp số. 1) 
   
   
1
2
: 2 1 2 2 3 2 3 0
: 2 1 2 2 3 2 3 0
x y
x y
      

      
. 2) 1
2
: 2 11 0
: 2 3 0
y
x
  
  
. 3) 1
2
: 2 6 0
: 2 6 0
x y
x y
   
   
. 
Bài 2. Viết phương trình các đường phân giác trong của tam giác ABC biết rằng các cạnh của 
nó nằm trên các đường thẳng có phương trình 3 4 0x y  , 4 3 0x y  và 5 12 101 0x y   . 
Bài 3. Cho  1;2A ,  3; 4B  và  1; 2C   . Hãy lập phương trình các đường phân giác trong và 
xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC . 
Bài 4. Cho 1 : 3 1 0x y    và 2
2
:
x t
y t
 
 

. Hãy lập phương trình phân giác góc nhọn tạo bởi 
1 và 2 . 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
9
Bài 5. Lập phương trình đường thẳng qua  2; 1P  sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường 
thẳng 1 : 2 5 0d x y   và 2 : 3 6 1 0d x y   tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 
1d và 2d . 
Đáp số. 
: 3 5 0
: 3 5 0
d x y
d x y
  
   
. 
Bài 6. [ĐHB10Chuẩn] Cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh  4;1C  , phân giác trong góc 
A có phương trình – 0x y 5  . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác 
ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. 
Đáp số. : 3 4 16 0BC x y   . 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
10
Dạng 3. Góc giữa hai đường thẳng 
A. Tóm tắt lý thuyết 
1. Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b được ký hiệu là  ,a b hoặc đơn giản hơn là 
 ,a b và số đo của nó được định nghĩa như sau: 
 Nếu a và b cắt nhau thì a và b chia mặt phẳng thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các 
góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b . 
 Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước số đo góc giữa hai đường thẳng a 
và b bằng 0 . 
2. Công thức tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng 
Giả sử đường thẳng 1 có véc-tơ pháp tuyến là 1n

, véc-tơ chỉ phương là 1u

. 
Giả sử đường thẳng 2 có véc-tơ pháp tuyến là 2n

, véc-tơ chỉ phương là 2u

. 
Ta có 
    1 21 2 1 2
1 2
cos , cos ,
n n
n n
n n

   

 
 
  , đặc biệt: 1 2    1 2 0n n 
 
. 
    1 21 2 1 2
1 2
cos , cos ,
u u
u u
u u

   

 
 
  , đặc biệt: 1 2    1 2 0u u 
 
. 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [SGKNC] Tìm góc giữa hai đường thẳng 1 , 2 trong các trường hợp sau 
1) 1
13
:
2 2
x t
y t
 
 
  
 và 2
5 2 '
:
7 '
x t
y t
 
 
 
; 
2) 1 : 5x  và 2 : 2 14 0x y    ; 
3) 1
4
:
4 3
x t
y t
 
 
  
 và 2 : 2 3 1 0x y    . 
Giải. 1) Ta thấy 1 nhận  1 1;2u

 làm véc-tơ chỉ phương, 2 nhận  2 2;1u 

 làm véc-tơ chỉ 
phương. Ta có 1 2 2 2 0u u    
 
, suy ra  1 2, 90    . 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
11
2) 1 vuông góc với trục hoành nên  1;0i

 làm véc-tơ pháp tuyến, 2 nhận  2;1n

 làm véc-tơ 
pháp tuyến. Do đó  1 2
1cos ,
5
i n
i n

   

 
  . Vậy góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 là góc có 
cô-sin bằng 1
5
. 
3) 1 nhận  1 1;3u 

 làm véc-tơ chỉ phương, lại có  1 1 3;1u n
 
. Suy ra 1 nhận  1 3;1n

 làm 
véc-tơ pháp tuyến. 2 nhận  2 2;3n

 làm véc-tơ pháp tuyến. Do đó 
    1 21 2 1 2
1 2
9 9 130cos , cos ,
13010 13
n n
n n
n n

     

 
 
  . 
Vậy góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 là góc có cô-sin bằng 
9 130
130
. 
Ví dụ 2. [SGKNC] Cho ba điểm  4; 1A  ,  3;2B  ,  1;6C . Tính góc BAC và góc giữa hai 
đường thẳng AB , AC . 
Giải. Ta có  7;3AB 

,  3;7AC 

Góc BAC chính là góc giữa hai véc-tơ AB

 và AC

. Do đó 
 42 21cos 0
58 29
AB AC
BAC
AB AC

   

 
  . 
Do đó BAC là góc nhọn có cô-sin bằng 21
29
. Góc giữa hai đường thẳng AB và AC cũng là góc 
BAC , suy ra   21cos ,
29
AB AC  . 
Ví dụ 3. Cho điểm  2; 3A  . Lập phương trình đường thẳng  qua A và tạo với đường thẳng 
' : 3 2 0x y    một góc 45 . 
Giải. Giả sử  ;n a b

 là một véc-tơ pháp tuyến của  . Ta thấy  ' 1;3n

 là một véc-tơ pháp tuyến 
của ' . Do đó,  tạo với ' góc 45 khi và chỉ khi 
'
cos 45
'
n n
n n




 
  , hay 
 2 2
3 1
210
a b
a b



. 
Phương trình trên tương đương với 2 22 3 2 0a ab b   . Từ phương trình này suy ra 0b  (vì 
nếu 0b  thì 0a  ). Do đó, chia hai vế của phương trình cho 2b ta được 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
12
2
2 3 2 0a a
b b
      
 
  
2
1
2
a
b
a
b
 

  

. 
Từ 2a
b
 , cho 1b  suy ra 2a  .  còn đi qua A nên 
   : 2 2 3 0x y     , hay : 2 1 0x y    . 
Từ 1
2
a
b
  , cho 1a  suy ra 2b   .  còn đi qua A nên 
   : 2 2 3 0x y     , hay : 2 8 0x y    . 
Ví dụ 4. Xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết rằng tam giác này cân tại A , AB , BC 
có phương trình lần lượt là 3 3y x  , 1x y  và AC qua 70;
3
M   
 
. 
Giải. AC qua 70;
3
M   
 
 nên phương trình AC có dạng 73: 0bAC ax by   . 
Đưa phương trình AB , BC về dạng tổng quát ta được : 3 3 0AB x y   , : 1 0BC x y   . 
Tam giác ABC cân tại A nên 
 ABC ACB   cos cosABC ACB  
2 2
3 1
2 10 2
a b
a b
 


 
2 2
2
52 2
2a ab b
a b
 


  2 23 10 3 0a ab b   . 
Thay 0b  vào phương trình cuối cùng ta được 0a  (loại). 
Nếu 0b  chia hai vế phương trình cho 2b và đặt at
b
 ta thu được phương trình 
2
3 10 3 0a a
b b
      
 
 
1
3
3
a
b
a
b
  

  

. 
 Từ 1
3
a
b
  cho 1a  suy ra 3b   . Do đó : 3 7 0AC x y    AC không song 
song với AB (thỏa mãn). Khi đó 
A AB AC   
3 3 0
:
3 7 0
x y
A
x y
  

  
   2;3A . 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
13
 Từ 3a
b
  cho 1b   suy ra 3a  . Do đó 73: 3 0AC x y    AC AB (loại) 
Vậy  2;3A . 
Ví dụ 5. Cho hình chữ nhật ABCD có : – 2 1 0AB x y   , : – 7 14 0BD x y   , AC đi qua 
 2;1M . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 
Giải. B AB BD   
– 2 1 0
:
– 7 14 0
x y
B
x y
 

 
   13215 5;B . 
AC đi qua M  phương trình AC có dạng:    : 2 1 0AC a x b y    
 : 2 0AC ax by a b    ( 2 2 0a b  ). 
Ta có:    , ;AC AB BD AB     cos , cos ;AC AB BD AB 
  
 2 2
2 1 14
5.505
a b
a b
 

 
  2 27 8 0a ab b    1 . 
 Thay 0b  vào  1 ta được 0a  (loại). 
 Nếu 0b  chia hai vế  1 cho 2b và đặt abt  ta thu được phương trình 
27 8 1 0t t    
1
7
1t
t
 
  
. 
+) 1t    1ab    a b  . 
Cho 1b    1a   : 1 0AC x y    AC không song song với BD (thỏa mãn). 
A AB AC   
– 2 1 0
:
1 0
x y
A
x y
 

  
   3;2A . 
I AC BD   
1 0
:
– 7 14 0
x y
I
x y
  

 
   7 52 2;I . 
2
2
C I A
C I A
x x x
y y y
 

 
   4;3C , 
2
2
D I B
D I B
x x x
y y y
 

 
   14 125 5;D . 
+) 17t    17ab    7b a  . 
Cho 1a   7b    : 7 5 0AC x y    AC BD , loại. 
Vậy  3;2A ,  13215 5;B ,  4;3C ,  14 125 5;D . 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
14
Ví dụ 6. [ĐHA12] Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên 
cạnh CD sao cho 2CN ND . Giả sử 11 1;
2 2
M   
 
 và đường thẳng AN có phương trình 
2 3 0x y   . Tìm tọa độ điểm A . 
Giải. Giả sử hình vuông có cạnh là a . Ta có 
2 2
2 2 2 2 5
4 4
a aAM AB BM a     , 
2 2
2 2 2 2 10
9 9
a aAN AD DN a     , 
2 2 2
2 2 2 4 25
4 9 36
a a aMN CM CN     . 
Suy ra 

2 2 2
2 2 2
5 10 25
24 9 36cos
2 . 25 102 .
2 3
a a a
AM AN MNMAN
AM AN a a
  
   .  1 
Vì A AN nên tọa độ A có dạng  ;2 3A a a  , suy ra 11 7; 2
2 2
AM a a   
 

. Đường thẳng AN 
nhận  1;2u

 làm véc-tơ chỉ phương. Ta có 
   22 2
11 72 2
2 52 2
cos cos ;
4 20 3411 75 2
2 2
a a
a
MAN u AM
a a
a a
        
           
     
 .  2 
Từ  1 và  2 suy ra 
2
2 5 2
24 20 34
a
a a


 
  
2
2
4 20 25 1
4 20 34 2
a a
a a
 

 
  2 5 4 0a a    
1
4
a
a

 
  
 
 
1; 1
4;5
A
A



. 
C. Bài tập 
Bài 1. Cho 1 1 1:d y k x b  và 2 2 2:d y k x b  . 
1) Chứng minh 1 2d d  1 2 1k k   . 
2) Trong trường hợp 1d và 2d không vuông góc. Chứng minh rằng 
  1 21 2
1 2
tan ,
1 .
k kd d
k k



. 
Bài 2. Tính góc giữa 1d và 2d trong các trường hợp sau: 
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 
15
1) 1
2
:
4
x t
d
y t


 
, 2
2
:
2
x u
d
y u



. 
2) 1
2
:
4
x t
d
y t


 
, 2 : 7 0d x y   . 
3) 1 : 2 1 0d x y   , 2 : 4 3 0d x y   . 
4) 1 : 2 0d mx y   , 2 : 1 0d x my m    . 
Bài 3. Viết phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau: 
1)  qua  1;1M và tạo với 
2
:
4
x t
d
y t


 
 một góc 30o . 
2)  qua  1;1M và tạo với : 2 0d x y   một góc 45o . 
D. Đáp số 
Bài 2 1)  1 2
3cos ,
10
d d  . 2)  1 2
1cos ,
10
d d  . 
 3)  1 2
9cos ,
85
d d  . 4)  1 2 2
2cos ,
1
md d
m


. 
Bài 3 1)  : 8 75 7 75 0x y      , hoặc  : 8 75 7 75 0x y      . 
2) : 1 0x   hoặc : 1 0y   .