Một số đề ôn thi vào chuyên toán

Mét sè ®Ò «n thi vµo chuyªn to¸n 
	§Ò 1
Bµi 1: (8 ®iÓm)
Cho parabol .
ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (P), biÕt c¸c tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm .
Gäi d lµ ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm vµ cã hÖ sè gãc m. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®­êng th¼ng d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N, khi ®ã t×m quÜ tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN khi m thay ®æi.
T×m quÜ tÝch c¸c ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn cña parabol (P) vµ hai tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi nhau.
Bµi 2: (4®iÓm)
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
Bµi 3: (8 ®iÓm)
Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc nöa ®­êng trßn. ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC, vÏ c¸c h×nh vu«ng BCDE vµ ACFG. Gäi Ax, By lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña nöa ®­êng trßn.
Chøng minh r»ng khi C di chuyÓn trªn nöa ®­êng trßn ®· cho th× ®­êng th¼ng ED lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh vµ ®­êng th¼ng FG lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh kh¸c.
T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm E vµ G khi C di chuyÓn trªn nöa ®­êng trßn ®· cho.
T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm D vµ F khi C di chuyÓn trªn nöa ®­êng trßn ®· cho.
HÕt
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:
Bµi 1
ý
Néi dung
§iÓm
1.
8,0
1.1
(2,0 ®iÓm)
Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d1 ®i qua A(2; 1) cã d¹ng: y = ax + b vµ 1 = 2a + b, suy ra b = 1 - 2a, do ®ã d1: y = ax - 2a+1.
0,50
 Ph­¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d1 vµ (P) lµ:
0.50
§Ó d1 lµ tiÕp tuyÕn cña (P) th× cÇn vµ ®ñ lµ:
2,0
VËy tõ A(2; 1) cã hai tiÕp tuyÕn ®Õn (P) lµ: 
0,50
1.2
(4,0 ®iÓm)
Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d ®i qua A(2; 1) cã hÖ sè gãc m lµ:
0,50
Ph­¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (P) lµ:
0,50
§Ó d c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt th× cÇn vµ ®ñ lµ:
1,5
Víi ®iÒu kiÖn (*), d c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm M vµ N cã hoµnh ®é lµ x1 vµ x2 lµ 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2), nªn to¹ ®é trung ®iÓm I cña MN lµ:
1,0
VËy khi m thay ®æi, quÜ tÝch cña I lµ phÇn cña parabol , giíi h¹n bëi .
0,50
1.3
(2,0 ®iÓm)
Gäi lµ ®iÓm tõ ®ã cã thÓ vÏ 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc ®Õn (P). Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d' qua M0 vµ cã hÖ sè gãc k lµ: , ®­êng th¼ng nµy ®i qua M0 nªn , suy ra pt cña d': .
0,50
Ph­¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (P) lµ:
 (**)
0,50
§Ó tõ M0 cã thÓ kÎ 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc tíi (P) th× ph­¬ng tr×nh:
 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt vµ 
0,50
VËy quÜ tÝch c¸c ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ vÏ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc cña (P) lµ ®­êng th¼ng 
0,50
2.
(4,0 ®iÓm)
(1)
1,0
Gi¶i hÖ (1) ta ®­îc: 
1,0
Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch, tæng: vµ ta cã c¸c nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ:
2,0
3.
8,0 
3.1
Gäi K lµ giao ®iÓm cña Ax vµ GF, I lµ giao ®iÓm cña By vµ ED. Ta cã: 
 (gãc cã c¸c c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc)
,
Do ®ã:
mµ By cè ®Þnh, suy ra ®iÓm I cè ®Þnh.
+ T­¬ng tù, K ccè ®Þnh.
+ VËy khi C di chuyÓn trªn nöa ®­êng trßn (O) th× d­êng th¼ng ED ®i qua ®iÓm I cè ®Þnh vµ ®­êng th¼ng GF ®i qua ®iÓm K cè ®Þnh.
3,0
3.2
Suy ra quÜ tÝch cña I lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BI (bªn ph¶i By, ); quÜ tÝch cña K lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AK(bªn tr¸i Ax, ).
2,0
3.3
XÐt 2 tam gi¸c BEI vµ BDK, ta cã:
Do ®ã:
+ VËy: QuÜ tÝch cña D lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BK.
+ T­¬ng tù, quÜ tÝch cña F lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AI.
3,0
§Ò 2
Bµi 1: (7 ®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 	
Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ b lµ sè trung b×nh céng cña a vµ c th× ta cã:
Bµi 2: (6 ®iÓm)
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña .
T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:
Bµi 3: (7 ®iÓm)
Cho ®­êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R, hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. E lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung AD. Nèi EC c¾t OA t¹i M, nèi EB c¾t OD t¹i N. 
Chøng minh r»ng tÝch lµ mét h»ng sè. Suy ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng , khi ®ã cho biÕt vÞ trÝ cña ®iÓm E ?
Gäi GH lµ d©y cung cè ®Þnh cña ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R ®· cho vµ GH kh«ng ph¶i lµ ®­êng kÝnh. K lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn cung lín GH. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña K ®Ó chu vi cña tam gi¸c GHK lín nhÊt.
HÕt
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:
Bµi 
ý
Néi dung
§iÓm
1.
7,0
1.1
(2,0 ®iÓm)
 (1)
1,0
, nªn (tho¶ §K)
 lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1)
, nªn pt (2) 
do ®ã pt (2) cã v« sè nghiÖm y (), suy ra pt (1) cã v« sè nghiÖm x ( ).
1,0
, nªn pt (2), pt v« nghiÖm.
VËy tËp nghiÖm cña pt (1) lµ: 
1,0
1.2
(3,0 ®iÓm)
0,50
Ta cã: 
0,50
Theo gi¶ thiÕt: , nªn:
1,0
§¼ng thøc (*) ®­îc nghiÖm ®óng.
1,0
2.
6,0
2.1
(3,0 ®iÓm)
 (x¸c ®Þnh víi mäi ) 
0,5
 pt (**) cã nghiÖm 
 ®Ó pt (**) cã nghiÖm th×: 
1,0
1,0
VËy tËp gi¸ trÞ cña y lµ , do ®ã 
0,5
2.2
(3,0 ®iÓm)
 (***)
0,5
§Ó pt (***) cã nghiÖm nguyªn theo x, th×:
 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
1,0
Ta cã: Tæng lµ sè ch½n, nªn 
 cïng ch½n hoÆc cïng lÎ. Mµ 12 chØ cã thÓ b»ng tÝch 1.12 hoÆc 2.6 hoÆc 3.4, nªn chØ cã c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau:
0,5
Gi¶i c¸c hÖ pt trªn ta cã c¸c nghiÖm nguyªn cña pt (a): 
0,5
Thay c¸c gi¸ trÞ vµo pt (***) vµ gi¶i pt theo x cã c¸c nghiÖm nguyªn (x; y) lµ:
0,5
3.
7,0
(4 ®)
3.1
Ta cã: v×:
; chung. Suy ra:
Ta cã: v×:
, . Suy ra:
Tõ (1) vµ (2): 
1,0
Tõ (4) vµ (5): . Tõ (3) vµ (6): 
1,0
§Æt . Ta cã: x, y kh«ng ©m vµ: 
DÊu "=" xÈy ra khi: 
1,0
VËy: Tæng 
Û E lµ trung ®iÓm cña d©y cung .
1,0
3.2
(3,0 ®iÓm)
 cã c¹nh GH cè ®Þnh, nªn chu vi cña nã lín nhÊt khi tæng lín nhÊt.
Trªn tia ®èi cña tia KG lÊy ®iÓm N sao cho KN = KH. Khi ®ã, c©n t¹i K. Suy ra vµ 
mµ (gãc néi tiÕp ch¾n cung nhá cè ®Þnh), do ®ã kh«ng ®æi. VËy N ch¹y trªn cung trßn (O') tËp hîp c¸c ®iÓm nh×n ®o¹n GH d­íi gãc kh«ng ®æi.
1,5
GN lµ d©y cung cña cung trßn (O') nªn GN lín nhÊt khi GN lµ ®­êng kÝnh cña cung trßn, suy ra vu«ng t¹i H, do ®ã (v× lÇn l­ît phô víi hai gãc b»ng nhau). Khi ®ã, K lµ trung ®iÓm cña cung lín .
VËy: Chu vi cña lín nhÊt khi K lµ trung ®iÓm cña cung lín .
1,5
§Ò 3
Bµi 1: (8 ®iÓm)
Cho ph­¬ng tr×nh .
T×m c¸c gi¸ trÞ cña ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt.
T×m c¸c gi¸ trÞ cña ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ tho¶ m·n hÖ thøc .
Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm kh«ng ©m. T×m gi¸ trÞ cña ®Ó nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 2: (4®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (2)
Bµi 3: (8 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã ( lµ hai ®é dµi cho tr­íc), H×nh ch÷ nhËt MNPQ cã ®Ønh M trªn c¹nh AB, N trªn c¹nh AC, P vµ Q ë trªn c¹nh BC ®­îc gäi lµ h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp trong tam gi¸c ABC.
T×m vÞ trÝ cña M trªn c¹nh AB ®Ó h×nh ch÷ nhËt MNPQ cã diÖn tÝch lín nhÊt. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã.
Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC b»ng th­íc kÎ vµ com-pa. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh vu«ng ®ã. 
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:
Bµi 1
ý
Néi dung
§iÓm
1.
8,0
1.1
(2,0 ®iÓm)
§Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt, cÇn vµ ®ñ lµ:
0.5
1.5
1.2
(3,0 ®iÓm)
Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt (*)
0,50
0,50
0,5
0,5
Ta cã: 
 vµ 
0,5
VËy: Cã 2 gi¸ trÞ cña m tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n: 
0,5
1.3
(3,0 ®iÓm)
Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m khi vµ chØ khi:
0,50
Khi ®ã 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: 
0,50
Hai nghiÖm nµy kh«ng thÓ ®ång thêi b»ng 0, nªn nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh lµ . Suy ra: 
0,50
Theo bÊt ®¼ng thøc C«-si: 
0,50
Suy ra: .
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi: .
0,5
VËy nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 
0,5
2.
(4,0 ®iÓm)
 (2)
 (3)
0,5
1,0
Giải phương trình theo t, ta có:
 (lo¹i); 
. Suy ra nghiÖm cña (3) lµ .
1,0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
VËy: ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
1,0
0,5
3.
8,0 
3.1
+ §Æt .
Ta cã:
.
Suy ra diÖn tÝch cña MNPQ lµ:
2,0
+ Ta cã bÊt ®¼ng thøc: 
¸p dông, ta cã: . 
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi: .
Suy ra: .
VËy: khi hay M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC.
2,0
3.2
+ Gi¶ sö ®· dùng ®­îc h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC. Nèi BF, trªn ®o¹n BF lÊy ®iÓm F'.
 Dùng h×nh ch÷ nhËt:
 E'F'G'H' .
Ta cã: E'F'//EF vµ F'G'//FG, nªn:
. Do ®ã E'F'G'H' lµ h×nh vu«ng.
1,0
+ C¸ch dùng vµ chøng minh: Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E' tuú ý, dùng h×nh vu«ng E'F'G'H' (G', H' thuéc c¹nh BC). Dùng tia BF' c¾t AC t¹i F. Dùng h×nh ch÷ nhËt EFGH néi tiÕp tam gi¸c ABC. Chøng minh t­¬ng tù trªn, ta cã EF = FG, suy ra EFGH lµ h×nh vu«ng.
1,0
+ Ta cã: ; 
.
Suy ra: Tia BF' cè ®Þnh khi E' di ®éng trªn AB, c¾t AC t¹i mét ®iÓm F duy nhÊt.
Tr­êng hîp h×nh vu«ng E'F'G'H' cã ®Ønh F' ë trªn c¹nh AC; G' vµ H' ë trªn c¹nh BC, lý luËn t­¬ng tù ta còng cã tia CE' cè ®Þnh, c¾t AB t¹i E.
VËy bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh duy nhÊt.
1,0
+ §Æt . Ta cã ; 
EFGH lµ h×nh vu«ng, nªn 
Suy ra diÖn tÝch h×nh vu«ng EFGH lµ: 
1,0
§Ò 4
Bµi 1: (7 ®iÓm)
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 	
Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè tho¶ m·n c¸c bÊt ®¼ng thøc:
	Th× 
Bµi 2: (6 ®iÓm)
X¸c ®Þnh h×nh vu«ng cã ®é dµi c¹nh lµ sè nguyªn vµ diÖn tÝch còng lµ sè nguyªn gåm 4 ch÷ sè, trong ®ã c¸c ch÷ sè hµng ®¬n vÞ, hµng chôc vµ hµng tr¨m gièng nhau.
A, B, C lµ mét nhãm ba ng­êi th©n thuéc. Cha cña A thuéc nhãm ®ã, còng vËy con g¸i cña B vµ ng­êi song sinh cña C còng ë trong nhãm ®ã. BiÕt r»ng C vµ ng­êi song sinh cña C lµ hai ng­êi kh¸c giíi tÝnh vµ C kh«ng ph¶i lµ con cña B. Hái trong ba ng­êi A, B, C ai lµ ng­êi kh¸c giíi tÝnh víi hai ng­êi kia ?
Bµi 3: (7 ®iÓm)
Cho ®­êng trßn (O) t©m O, b¸n kÝnh R, hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. §­êng trßn (O1) néi tiÕp trong tam gi¸c ACD. §­êng trßn (O2) tiÕp xóc víi 2 c¹nh OB vµ OD cña tam gi¸c OBD vµ tiÕp xóc trong víi ®­êng trßn (O). §­êng trßn (O3) tiÕp xóc víi 2 c¹nh OB vµ OC cña tam gi¸c OBC vµ tiÕp xóc trong víi ®­êng trßn (O). §­êng trßn (O4) tiÕp xóc víi 2 tia CA vµ CD vµ tiÕp xóc ngoµi víi ®­êng trßn (O1). TÝnh b¸n kÝnh cña c¸c ®­êng trßn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R.
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:
Bµi 
ý
Néi dung
§iÓm
1.
7,0
1.1
(4,0 ®iÓm)
. §iÒu kiÖn ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ: (*)
0,5
Víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: 
1,0
(v× nªn ).
1,0
Thay vµo (a): 
v× .
So víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: .
VËy hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : 
1,5
1.2
(3,0 ®iÓm)
§iÒu kiÖn: 
0,50
Ta cã
0,50
Suy ra: 
Do ®ã: 
1,0
1,0
2.
6,0
2.1
(4,0 ®iÓm)
Theo gi¶ thiÕt diÖn tÝch cña h×nh vu«ng cã d¹ng 
0,5
, nªn k chØ gåm 2 ch÷ sè: 
.
1,0
NÕu y lÎ: . Khi ®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ sè ch½n, nªn ch÷ sè hµng chôc cña ph¶i lµ sè ch½n kh¸c víi 1; 5; 9, do ®ã S kh«ng thÓ lµ .
1,0
NÕu y ch½n: 
Víi y = 0: chØ cã thÓ lµ 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 kh«ng tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n.
Víi y = 2: . Khi ®ã x chØ cã thÓ lµ 6 th× ch÷ sè hµng chôc cña k2 míi lµ 4, suy ra .
Víi y = 4; 6: , khi ®ã 20xy cã ch÷ sè hµng chôc lµ sè ch½n, nªn ch÷ sè hµng chôc cña k2 ph¶i lµ sè lÎ, do ®ã kh«ng thÓ b»ng 4 hoÆc 6, nghÜa lµ .
Víi y = 8: y2 = 64; , khi ®ã x chØ cã thÓ lµ 3 hoÆc 8 th× ch÷ sè hµng chôc cña k2 míi b»ng 4, suy ra hoÆc (kh«ng tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n).
VËy: bµi to¸n cã mét lêi gi¶i duy nhÊt: H×nh vu«ng cÇn x¸c ®Þnh cã c¹nh vµ diÖn tÝch .
0,5 
0,5
0,5
2.2
(2,0 ®iÓm)
Theo gi¶ thiÕt, cha cña A cã thÓ lµ B hoÆc C:
NÕu B lµ cha cña A th× C kh«ng thÓ song sinh víi A, v× nÕu nh­ thÕ th× C lµ con cña B, tr¸i gi¶ thiÕt, do ®ã C vµ B lµ song sinh vµ kh¸c giíi tÝnh (gt), nªn C lµ ph¸i n÷. MÆt kh¸c, con g¸i cña B kh«ng thÓ lµ C nªn ph¶i lµ A, do ®ã A lµ ph¸i n÷. VËy B kh¸c giíi tÝnh víi hai ng­êi cßn l¹i lµ A vµ C (cïng lµ ph¸i n÷).
1,0
NÕu C lµ cha cña A th× C chØ cã thÓ lµ song sinh víi B, theo gi¶ thiÕt B ph¶i lµ ph¸i n÷. MÆt kh¸c, con g¸i cña B kh«ng thÓ lµ C (gt) nªn ph¶i lµ A, suy ra C vµ B lµ vî chång chø kh«ng ph¶i lµ song sinh, dÉn ®Õn m©u thuÉn.
0,5
VËy chØ cã duy nhÊt tr­êng hîp B lµ cha cña A vµ B kh¸c giíi tÝnh víi hai ng­êi cßn l¹i lµ A vµ C (cïng lµ ph¸i n÷).
0,5
3.
7,0
+ Gäi lµ ®é dµi b¸n kÝnh ®­êng trßn (O1). Ta cã:
1,0
+ §­êng trßn (O2) tiÕp xóc víi OB vµ OD nªn t©m O2 ë trªn tia ph©n gi¸c cña gãc , (O2) l¹i tiÕp xóc trong víi (O) nªn tiÕp ®iÓm T cña chóng ë trªn ®­êng th¼ng nèi 2 t©m O vµ O2, chÝnh lµ giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c gãc víi (O).
+ §­êng th¼ng qua T vu«ng gãc víi OT c¾t 2 tia OB vµ OD t¹i B' vµ D' lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (O2). Do ®ã (O2) lµ ®­êng trßn néi tiÕp .
+ cã ph©n gi¸c gãc O võa lµ ®­êng cao, nªn nã lµ tam gi¸c vu«ng c©n vµ , suy ra: .
+ VËy: B¸n kÝnh cña (O2) còng b»ng .
2,0
+ Hai h×nh qu¹t OBC vµ OBD ®èi xøng víi nhau qua AB nªn (O3) còng b»ng (O2), nªn b¸n kÝnh cña (O3) còng b»ng .
1,0
+ §­êng trßn (O4) cã hai tr­êng hîp:
a) Tr­êng hîp 1: (O4) ë bªn tr¸i (O1):
KÎ tiÕp chung cña (O4) vµ (O1) t¹i tiÕp ®iÓm K c¾t AC vµ AD t¹i E vµ F.
CO vµ CA lµ cßn lµ 2 tiÕp tuyÕn cña (O1), nªn chu vi cña b»ng 2CO, suy ra nöa chu vi cña nã lµ p = R.
Ta cã: 
.
Suy ra b¸n kÝnh cña ®­êng trßn (O4) lµ: 
2,0
b) Tr­êng hîp 2: (O'4) ë bªn ph¶i (O1):
Khi ®ã: K' lµ tiÕp ®iÓm cña 2 ®­êng trßn, tiÕp tuyÕn chung c¾t CA vµ CD t¹i E' vµ F', CD tiÕp xóc víi (O'4) t¹i H.
Suy ra: B¸n kÝnh cña ®­êng trßn (O'4) lµ:
2,0
§Ò 5
Câu 1: (1,5 điểm). So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng).
 và 
Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình sau: 
Câu 3: (1,5điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Câu 4: (2 điểm). Giải hệ phương trình:
 2x2 + 3y = 1
 3x2 - 2y = 2
Câu 5: (4 điểm). Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam. Cô giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành các tổ học tập:
Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ.
Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.
Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chín người.
Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?
Câu 6: (5điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:
Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.
Tứ giác CMPO là hình bình hành.
CM.CN = 2R2 
Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ? 
Câu 7: ( 3điểm). Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. C là điểm trên đường tròn (O, R). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào?
Câu 
Nội dung – yêu cầu
Điểm
1 (1,5đ)
Giả sử > 
 (BĐT đúng)
0,5
1,0
2
(3đ)
0,5
1,0
1,0
0,5
3
(1,5đ)
Ta có 
Vậy GTNN của A bằng 1 khi x = 0
0,5
0,5
0,5
4
(2đ)
. Đặt u = x2 0, ta có:
 2u + 3y = 1 
 3u - 2y = 2 
Do đó: 
Hệ PT có 2 nghiệm là: 
0,25
0,75
0,25
0,5
0,25
5
(4đ)
* Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,
 số bạn nam được chia vào tổ là y,
 x, y nguyên dương.
Theo đề ra ta có hệ: (1) 
 9 x + y 15 (2)
Từ (1) ta có: 3x – 4y = 0 => 
Đặt y = 3t, t > 0 và t z, ta có: x = 4t
Từ (2), ta có: 9 3t + 4t 15 hay 9 7t 15
 => 
Vì t z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6
Như vậy, mỗi tổ có 8 bạn nam, 6 bạn nữ.
Số tổ được chia là: tổ 
0,5
0,75
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
6
(5đ)
 C
a)
O
M
 A B 
 N
 E P D F
* Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP.
 * Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP.
* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP.
b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)
 (hai góc đồng vị)
 (hai góc đáy của tam giác cân ONC)
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)
Suy ra ; do đó, OP//MC.
Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.
c) 
Nên hay CM.CN = OC.CD = 2R2 
d) Vì MP = OC = R không đổi.
Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên.
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
7
(3đ)
D
C
B
A
O
* (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> AC vuông góc với BD 
 CD = CB (gt)
Tam giác ABC cân tại A 
AD = AB = 2R (không đổi)
AD = AB = 2R (không đổi) và A cố định. Do đó D chuyển động trên đường tròn (A; 2R).
0,5
0,5
0,5
 0,5
0,5
0,5
De 7
Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2
b) x2 + 7x + 10 
Bài 2 (4đ) Cho 
a) Rút gọn A. 
b) Tìm x nguyên để A nguyên.
Bài 3 (4đ). Giải phương trình
b) x2 – 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23
Bài 4 (6đ). Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G.
Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC.
∆ABC ~ ∆AEF
H cách đều các cạnh của tam giác DDEF
Bài 5 (1đ). Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1. Chứng minh rằng
Bài 6 (1đ). Giải bất phương trình 
HẾT
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Gợi ý đáp án
Điểm
Bài 1a)
 4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49
=(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7)
(1 đ)
(1đ)
Bài 1b)
x2+7x+10 =x2+5x+2x+10
=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)
(1đ)
(1đ)
Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là 
x ≠5và x ≠2
(0,5đ)
(2đ)
2b), với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.
(1,5đ)
Bài 3a) Ta xét các trường hợp sau
TH1: 
Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình.
TH2:
Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng đang xét vậy nó không là nghiệm của phương trình.
Kết luận phương trình có nghiệm x=3.
(1đ)
(1đ)
Bài 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 Ûx2-25=(2x+3)(x+5)
Û(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) Û(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0
Û(x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0 Û(x+5)(-x-8)=0 Û x-5=0 hoặc x+8 =0 Û x=-5 hoặc x=-8
(2đ)
Bài 4a) Ta có BG ^AB, CH ^AB, nên BG //CH,
 tương tự: BH ^AC, CG ^AC, nên BH//CG.tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối sông song nên nó là hình bình hành. Do đó hai đường chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy GH đi qua trung điểm M của BC.
(2đ)
4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE và ACF vuông. Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng. Từ đây suy ra 
Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2). Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ABC ~ ∆AEF.
(1,5đ)
4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra ∆BDF~∆DECÞ.
(1,5đ)
4d) Ta có 
Suy ra DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF. Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF.
(1đ)
Bài 5) Ta có
 x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y)
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy]= x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx 
= 
= dpcm
1đ
Bài 6) Điều kiện , bất phương trình 	
Hoặc biểu diễn trên trục số : 
1đ
Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng, hợp logic thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng.
HẾT
De 8
Bài 1: a) Giải phương trình: .
 b) Tìm x, y thoả mãn:.
Bài 2. Rút gọn .
Bài 3. Tìm GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:
.
.
Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối xứng nhau qua O. M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C. Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K. Gọi H là trung điểm của FG.
Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được.
Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
.................................................
ĐÁP ÁN
Bài 1: a) .
 (vì ).
b) 
Bài 2..
Bài 3. 
Vậy, Pmin=8 khi 
Vậy, Qmin=2006 khi 
Bài 4.
a) Ta có: 
mà nội tiếp được.
 b) Từ câu a suy ra 
 mà nội tiếp được
 . Vậy CE là tiếp tuyến của (O).
§Ò 10
Bài 1: (2 điểm) 
Rút gọn biểu thức
 với x > 0, y > 0
Bài 2: (4 điểm) 
a. Xác định m để phương trình sau vô nghiệm
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2.
Bài 3: (2 điểm)
Bốn người 1; 2; 3; 4 tham dự một hội nghị. Biết rằng :
a. Mỗi người chỉ biết hai trong bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt.
b. Người 1 biết tiếng Nga, không biết tiếng Pháp.
c. Người 2 biết tiếng Anh, không biết tiếng Pháp và phải phiên dịch cho người 1 và người 3.
d. Người 4 không biết tiếng Nga, không biết tiếng Việt nhưng nói chuyện trực tiếp được với người 1.
Hỏi mỗi người biết các thứ tiếng nào ?
Bài 4: (4 điểm) 
a. Cho a ³ b, x ³ y. Chứng minh (a + b) (x + y) £ 2(ax + by) (1)
b. Cho a + b ³ 2. Chứng minh a2006 + b2006 £ a2007 + b2007	(2)
Bài 5: (8 điểm) 
Cho đoạn thẳng AB = a .
a. Nêu cách dựng và dựng ABC sao cho và trực tâm H của ABC là trung điểm của đường cao BD. 	(2 điểm)
b. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC tại K. Chứng minh OKBC.	(2 điểm)
c. Chứng minh cân và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo a.	(2 điểm)
d. Tính diện tích tam giác ABC theo a.	(2 điểm)
De 11 
Câu 1/ (1đ) Cho x = .Chứng minh rằng x là một số nguyên . 
Câu 2/ (1,5đ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 . 
Chứng minh rằng : .
Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c có nghiệm dương x = m . Chứng minh rằng đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) cũng có nghiệm dương x = n và thỏa mãn m + .
Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình :
(m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham số) . 
Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn nhất . Xác định đường thẳng đó .
Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , trong đó A di động , E cố định ( với A ≠ E) . Qua E vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB .
a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A .
b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K ) .
c/ (1đ) Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH = AK . Khi A di động trên đường tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ?
 Đáp án và biểu điểm chấm Toán 9
Câu
Nội dung
Điểm
Câu1
(1đ)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 2
 (1,5đ)
 Từ đẳng thức với điều kiện do đề bài đã cho suy ra :
 (1)
 (2)
 (2) (3)
 Từ (3) 
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
Câu 3
(1,5đ)
Ta có : x = m là nghiệm của đa thức f(x)= ax2 + bx + c
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25
Câu 4
(2đ)
Nếu m =1 thì d(1) là đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O đến d(1) là 1
Nếu m =2 thì d(2) là đường thẳng x = 1 nên khoảng cách từ O đến d(2) là 1 
 (1)
Nếu m ≠1 và m≠ 2 thì d(m) cắt trục hoành tại Avà cắt trục tung tại BGọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có :
Từ (1) và (2) và do 1 < suy ra khoảng cách lớn nhất từ O đến d(m) là
 Khi đó đường thẳng d có công thức là x - y- 2 = 0 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 5
Câu a (1,5đ) 
Câu b (1,5đ)
Câu c
 (1đ)
Gọi G là trung điểm BC thì OGBC (đl) suy ra 
 GB = GC và GE = GD (đl) 
và OG là đường trung bình ADE nên OG=AE hay AE = 2OG 
Ta có EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG)2 
Suy ra EB2+EC2= 2(BG2 +EG2) 
Áp dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có :
OG2+GE2= r2 và OG2+GB2= R2 
Do đó EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG2+OG2)
 = 2R2 +2r2 ( không đổi)
Trường hợp đặc biệt :
Thì chứng minh trên vẫn đúng
Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm 
Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định , 
Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM của ABC đi qua chính là trọng tâm của ADE
Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tâm ADE và AH AK nên H trùng với G ( là trung điểm chung của hai đoạn thẳng DE và BC ) 
Mà vuông tại E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) )
 Vậy khi A di động trên đường tròn (O; r) thì H di động trên đường tròn đường kính OE 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
De 12
Bài 1: (3 điểm)
a. Cho n là một số nguyên dương. Hãy so sánh:
 và 
b. Tính:
Bài 2: (3 điểm) 
Chứng minh rằng:
 với và 
Bài 3: (4 điểm) 
Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Đường thẳng CN cắt (O) tại I. 
Chứng minh .